冲刺2020高考数学（文）之拿高分题目强化卷1（新课标版解析版）

1 / 9 冲刺 2020 高考数学之拿高分题目强化卷第一期【新课标版】 专题 04 3 月一模精选压轴卷（第 4 卷） 题号 题型 试题来源 考点阐述 1 选择题 10 2020 届福建省厦门市高三检测数学试题 双曲线的性质 2 选择题 11 2020 届福建省漳州市高三 3 月第二次高 考适应性测试数学试题 正四棱柱的性质、球的性质，余弦定理， 异面直线所成的角 3 选择题 12 辽宁省沈阳市 2020 高三联 合考试数学试题 函数的单调性、极值 4 填空题 15 2020 届福建省福清市高三下学期线上教 学质量检测数学试题 等差数列的性质、周期数列 5 填空题 16 2020 届陕西省西安市西北工业大学附中 第三次适应性考试高三数学试题 直线与圆的位置关系，基本不等式 6 第 19 题 2020 黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊 校高三数学试题 线面垂直、面面垂直的判定 7 第 20 题 2020 届福建省漳州市高三 3 月第二次高 考适应性测试数学试题 双曲线、圆的性质，直线与椭圆的位置关 系，定点问题 8 第 21 题 2020 届山东省临沂市高三数学试题 函数的单调性，不等式的证明 1.已知双曲线 的两条渐近线为 ，抛物线 的焦点为 与抛物 线交于点 （异于坐标原点）， 与抛物线的准线交于点 ，且 ，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ,m n 2 2 ( 0)y px p= > ,F m A n B AB AF= 2 3 3 3 5 5 3 5 2 / 9 【答案】D 【解析】渐近线 ，渐近线 由 结合抛物线的定义知，线段 垂直于抛物线的准线 则设 ，则 由于点 在渐近线 上，则 ，解得 即点 ，则 ，解得 所以 故选：D 2.若正四棱柱 的底面边长为 2，外接球的表面积为 ，四边形 ABCD 和 的外 接圆的圆心分别为 M，N，则直线 MN 与 所成的角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该四棱柱的外接球的半径为 R，高为 h， :m by xa = : bn y xa = − AB AF= AB 1 1( , )bA x xa 1( , )2 p bB xa − B : bn y xa = − 1 2 b b pxa a  = − × −   1 2 px = ,2 2 p bpA a      2 22 2 bp ppa   = ×   2 24b a= 2 2 2 2 2 2 4 5c a b a ae a a a + += = = = 1 1 1 1ABCD A B C D− 40π 1 1BCC B 1CD 7 9 − 1 3 − 1 3 7 9 3 / 9 由 ，得 ， 由 ，得 ， 所以 . 因为四边形 ABCD 和 的外接圆的圆心分别为 M，N，所以 M，N 分别为 BD 和 的中点， 所以 ，所以 为直线 MN 与 所成的角或其补角， 又 ，所以直线 MN 与 所成的角的余弦值为 ， 故选：D. 3.设函数 ， ，给定下列命题 不等式 的解集为 ； 函数 在 单调递增，在 单调递减； 若 时，总有 恒成立，则 ； 若函数 有两个极值点，则实数 ． 则正确的命题的个数为 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】f（x）=xlnx 的导数为 f′（x）=1+lnx， 24 40S Rπ π= = 10=R 2 2 21 2 2 102 = + + =R h 4 2h = 1 12, 4 2, 6, 3= = = = =CD CC C D DE EC 1 1BCC B 1BC 1/ /MN DC DEC∠ 1CD 9 9 4 7cos 2 3 3 9 + −∠ = =× ×DEC 1CD 7 9 ( ) lnf x x x= ( ) ( )'f xg x x = ① ( ) 0g x > 1 ,e  +∞   ② ( )g x ( )0,e ( ),e +∞ ③ 1 2 0x x> > ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 22 m x x f x f x− > − 1m ≥ ④ ( ) ( ) 2F x f x ax= − ( )0,1a∈ ( ) 4 / 9 则 ， , 对于① 即 解得 ，故正确； 对于② ，当 x 时 在 单调递增，故错误； 对于③ 可化为： 设 ，又 ∴ 在 上单调递减， ∴ 在 上恒成立， 即 ，又 在 单调递增，在 上单调递减， ， ∴ 故正确； 对于④若函数 有两个极值点，则 1+lnx-2ax 有两个零点， 即 1+lnx-2ax=0，2a= 又 在 单调递增，在 上单调递减， ， 时， 即 2a ，a ，故错误； 故选 B 4.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， .数列 的首项为 3，且 ，则 ( ) ( ) 1 lnxf xg x x x += =′ ( ) 2' lnxg x x = − ( ) 0g x > 1 lnx 0x + ＞ ， 1x e > ( ) 2' lnxg x x = − ( )0,1∈ ( ) ( )' 0g x g x＞ ， ( )0,1 ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 22 m x x f x f x− > − ( ) ( )2 2 2 2 1 12 2 m mf x x f x x− > − ( ) 2φ fx 2 mx x= − 1 2 0x x> > ( )φ x ( )0 ∞+， ( )φ' 1 lnx mx 0x = + − ≤ ( )0 ∞+， 1 lnxm x +≥ ( ) 1 lnxg x x += ( )0,1 ( )1 ∞+， ( )1 1g = m 1≥ ( ) ( ) 2F x f x ax= − ( )'F x = 1 lnx x + ( ) 1 lnxg x x += ( )0,1 ( )1 ∞+， ( )1 1g = x ∞→ + ( ) 0g x → ， ( )0,1∈ 10, 2  ∈   { }na nS 1 3 10a a+ = 9 72S = { }nb 1 3n nb b + = − 5 / 9 ________. 【答案】 【解析】由题,因为 ,所以 ,即 , 所以 , 又 ,且 ,则 , ,所以数列 是周期为 的数列, 则 , 所以 , 故答案为: 5.若直线 被圆 截得的弦长为 4，则 的最小值为 ________． 【答案】 【解析】圆 可化为 ，所以圆心为 ，半径为 ，由于 直线与圆相交所得弦长为 ，则直线过圆心，即 . ，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 . 故答案为： 6.如图，在三棱锥 中，底面 是等腰直角三角形， ， 分别为棱 的中点，且 ， ， ． 210 020a b = 13− 1 3 2 1 9 5 1 2 2 2 10 9 9 36 72 a a a a d S a a d + = = + =  = = + = 1 4 1 a d =  = ( )4 1 3na n n= + − = + 10 13a = 1 3b = 1 3n nb b + = − 2 1b = − 3 3b = { }nb 2 2020 2 1b b= = − 202010 13a b = − 13− 2 0( 0, 0)ax by a b− + = > > 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + = 2 1 a b + 4 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + = ( ) ( )2 2 21 2 2x y+ + − = ( )1,2− 2 4 2 2 0, 2 2a b a b− − + = + = ( )2 1 1 2 1 22 a ba b a b  + = × + × +   1 4 1 44 4 2 42 2 b a b a a b a b   = + + ≥ + × =        2 24 , 4 , 2 1b a a b a ba b = = = = 2 1 a b + 4 4 P ABC− ABC∆ 8AB BC= = D E F， ， PC AC AB， ， PA AC⊥ 6PA = 5DF = 6 / 9 （1）求证： ； （2）求证： ． 【解析】证明：（1） 分别为 的中点， ， 分别为 的中点， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7.已知椭圆与双曲线 有相同的焦点坐标，且点 在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； PA ABC⊥ 平面 PAB DEF⊥平面 平面 D E 、 PC AC、 1/ / 32DE PA DE PA∴ =， ＝ E F 、 AC AB、 1 42EF BC∴ = = 2 2 2DE EF DF DE EF PA EF∴ + ∴ ⊥ ∴ ⊥＝ ， ， PA AC EF AC E⊥ ∩ ， ＝ PA ABC∴ ⊥ 平面 PA ABC⊥ 平面 / /DE PA DE ABC∴ ⊥ 平面 AB ABC⊂ 平面 DE AB⊥∴ / /EF BC AB BC⊥ ， EF AB∴ ⊥ DE EF E∩ ＝ AB DEF∴ ⊥ 平面 AB PAB⊂ 平面 PAB DEF∴ ⊥平面 平面 2 2 12 x y− = 13, 2      7 / 9 （2）设 A、B 分别是椭圆的左、右顶点，动点 M 满足 ，垂足为 B，连接 AM 交椭圆于点 P （异于 A），则是否存在定点 T，使得以线段 MP 为直径的圆恒过直线 BP 与 MT 的交点 Q，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线 的焦点坐标为 ， 所以设所求的椭圆的方程为 （ ）， 则 ，解得 ， 所以椭圆的标准方程是 . （2）设直线 AP 的方程是 （ ）， 将其与 联立，消去 y 得 ，设 ， 则 ， 所以 ，所以 ， 易知 ， 设存在点 ，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 BP、MT 的交点 MB AB⊥ 2 2 12 x y− = ( )3,0± 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 2 2 3 3 1 14 a b a b  = + + = 2 24, 1a b= = 2 2 14 x y+ = ( )2y k x= + 0k ≠ 2 2 14 x y+ = ( )2 2 2 24 1 16 16 4 0k x k x k+ + + − = ( )1 1,P x y 2 1 2 16 42 4 1 −− ⋅ = + kx k 2 1 12 2 2 8 4,4 1 4 1 −= =+ + k kx yk k 2 2 2 2 8 4,4 1 4 1  −  + +  k kP k k ( )2,4M k ( )0 0,T x y 8 / 9 ，对于任意 成立， 即 ，对于任意 成立， ， 所以存在 符合题意. 8.已知函数 ，函数 （ ）. （1）讨论 的单调性； （2）证明：当 时， . （3）证明：当 时， . 【解析】（1）解： 的定义域为 ， ， 当 ， 时， ，则 在 上单调递增； 当 ， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在 上单调递减， 在 上单调递增； 当 ， 时， ，则 在 上单调递减； 当 ， 时，令 ，得 ，令 ，得 ，则 在 上单调递增， 在 上单调递减； 0 2 0 4 4 12 16 −⇔ ⊥ ⇔ ⋅ = −− − k y kQ MT BP x k 0k ≠ ( )0 04 1 0− + =k x y 0k ≠ 0 01, 0= =x y ( )1,0T ( ) ( )2ln 1 sin 1f x x x= + + + ( ) 1 lng x ax b x= − − , , 0a b ab∈ ≠R ( )g x 0x ≥ ( ) 3 1f x x≤ + 1x > − ( ) ( )2 sin2 2 e xf x x x< + + ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ag x x b x ′ = − 0a > 0b < ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0, ∞+ 0a > 0b > ( ) 0g x′ > bx a > ( ) 0g x′ < 0 bx a < < ( )g x 0, b a      ,b a  +∞   0a < 0b > ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0, ∞+ 0a < 0b < ( ) 0g x′ > 0 bx a < < ( ) 0g x′ < bx a > ( )g x 0, b a      ,b a  +∞   9 / 9 （2）证明：设函数 ，则 . 因为 ，所以 ， ， 则 ，从而 在 上单调递减， 所以 ，即 . （3）证明：当 时， . 由（1）知， ，所以 ， 即 . 当 时， ， ， 则 ， 即 ， 又 ， 所以 ， 即 . ( ) ( ) ( )3 1h x f x x= − + ( ) 2 cos 31x xh x ′ = + −+ 0x ≥ ( ]2 0,21x ∈+ [ ]cos 1,1x∈ − ( ) 0h x′ ≤ ( )h x [ )0,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )3 1 0 0h x f x x h= − + ≤ = ( ) 3 1f x x≤ + 1a b= = ( ) 1 lng x x x= − − ( ) ( )min 1 0g x g= = ( ) 1 ln 0g x x x= − − ≥ 1 lnx x≥ + 1x > − ( )21 0x + > ( )2 sin1 e 0xx + > ( ) ( )2 2sin sin1 e 1 ln 1 ex xx x + +≥ +   ( ) ( )2 sin1 e 2ln 1 sin 1xx x x+ + + +≥ ( ) ( )22 sin sin2 2 e 1 ex xx x x+ + > + ( ) ( )2 sin2 2 e 2ln 1 sin 1xx x x x+ + > + + + ( ) ( )2 sin2 2 e xf x x x< + +