冲刺2020高考数学（文）之拿高分题目强化卷3（新课标版解析版）

1 / 10 冲刺 2020 高考数学之拿高分题目强化卷第一期【新课标版】 专题 06 3 月 一模精选压轴卷（第 6 卷） 题号 题型 试题来源 考点阐述 1 选择题 10 广西百色市 2020 高三摸底调研考试数学 试题 正弦定理、余弦定理 2 选择题 11 2020 届福建省漳州市高三 3 月第二次高 考适应性测试数学试题 抛物线的性质 3 选择题 12 2020 届、等“荆、 荆、襄、宜四地七校高三考试数学试题 函数的零点、极值点、单调性、最值 4 填空题 15 2020 届陕西省西安市西北工业大学附中 第三次适应性考试高三数学试题 正四棱柱的性质，球的性质 5 填空题 16 河南省创新发展联盟 2020 联考数学试题 双曲线的性质、共线向量 6 第 19 题 2020 届贵州省高考适应性 月考卷（一)数学试题 线面垂直的性质、线面角 7 第 20 题 2020 届河南省顶级名校高三上学期开学 摸底考试数学试题 直线与椭圆的位置关系、定值、动点的轨 迹 8 第 21 题 2020 黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊 校高三数学试题 函数的单调性，由不等式恒成立求参数的 取值范围 1.在△ABC 中，若 ，则△ABC 的面积 S 是( ) A． B． C． D． 1tan 150 13A C BC°= = =， ， 3 3 8 − 3 3 4 − 3 3 8 + 3 3 4 + 2 / 10 【答案】A 【解析】 是三角形内角， ，∴ ， 由正弦定理 得 ， 又 ，即 ， ， （ 舍去）， ∴ ． 故选：A． 2.如图，已知 的三个顶点均在抛物线 上，AB 经过抛物线的焦点 F，点 D 为 AC 中点.若点 D 的纵坐标等于线段 AC 的长度减去 1，则当 最大时，线段 AB 的长度为（ ） A．12 B．14 C．10 D．16 【答案】D 【解析】作出准线 ，分别作 垂直于准线.则 A 1tan 3A = 10sin 10A = sin sin a c A C = sin 1 sin150 10 sin 210 10 a Cc A × °= = = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 25 1 2 cos150 1 32 b b b b= + − ° = + + 2 33 02b b+ − = 3 3 2b − += 3 3 2b − −= 1 1 3 3 3 3sin 1 sin1502 2 3 8ABCS ab C∆ − −= = × × ° = ABC∆ 2 4x y= AFC∠ 1y = − 1 1 1, ,CC DD AA 3 / 10 . 因此 . 在 中， . 即 ， 当且仅当 时取等号. 所以 的最大值为 ，此时 为正三角形. 可得直线 AB 的倾斜角为 ， 所以直线 AB 方程为 ，代入 得 ， 所以 . ( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 = + = +DD CC AA CF AF ( )1 2 = +AC CF AF AFC∆ 2 2 2 cos 2 + −∠ = ⋅ AF CF ACAFC AF CF ( ) 2 2 2 1 2 2  + − +  = ⋅ AF CF CF AF AF CF 2 23 3 1 14 4 2cos 2 2 + − ⋅ ∠ = ≥⋅ AF CF CF AF AFC AF CF AF CF= AFC∠ 60 AFC∆ 60 3 1y x= + 2 4x y= 2 14 1 0y y− + = 211 14 4 163AB = + × − = 4 / 10 故选：D 3.已知函数 （ 是自然对数的底数）与 的图象上存在关于 轴对 称的点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，若函数 （ 是自然对数的底数）与 的图像 上存在关于 轴对称的点，则方程 在区间 上有解. ，即 ∴方程 在区间 上有解，设函数 （ ） 其导数 ，又 ∴ 在 有唯一的极值点 易知：当 时， ， 为减函数，当 时， ， 为增函数 ∴函数 有最小值 .又 ，比较得 ∴函数 有最大值 ∴函数 在区间 上的值域为 ，若方程 在区间 上有 2( ) 1f x x a= − + + 1 ,x e ee ≤ ≤ ( ) 2lng x x= x a 20, 3e −  21, 3e −  21, 2e −  2, 2e e −  2( ) 1f x x a= − + + 1 ,x e ee ≤ ≤ ( ) 2lng x x= x 2 1 2lnx a x− + + = − 1 ,ee      2 1 2lnx a x− + + = − 21 2lna x x+ = − 21 2lna x x+ = − 1 ,ee      2( ) 2lnh x x x= − 1 ,x ee  ∈   ( )22 12( ) 2 x h x x x x −′ = − = 1 ,x ee  ∈   ( ) 0h x′ = 1x = 1 ,1x e  ∈   ( ) 0h x′ ≤ ( )h x [1,e]x∈ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x 2( ) 2lnh x x x= − (1) 1h = 2 21 1 2, ( ) 2h h e ee e    = + = −       (1 )heh e  > 1F 2F 1l 2l 1F 1l l 1l P 2l Q 12PQ F P=  3 O ( )1 ,0F c− 1l by xa = − 2l by xa = l ( )ay x cb = + ( )ay x cb by xa  = +  = − 2ax c aby c  = −  = 6 / 10 则 故 ， .因为 ，所以 所以 ， ，则 . 因为 ，所以 ， 所以 ，整理得 ，则 解得 . 6.如图，多面体 中，四边形 是 为钝角的平行四边形，四边形 为直角梯形， 且 . （1）求证： ； （2）若点 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【解析】（1）在 中， ，所以 又因为 ，所以 平面 ，因为 所以 平面 ，所以 ， 在平行四边形 中，且 ，所以平行四边形 为菱形 2 ,a abP c c  −   1PF b= OP a= 12PQ F P=  12PQ PF= 2PQ b= 2 24OQ a b= + 2 2 2 2 1 2 2 4 9cos 2 4 c a b bQOF c a b + + −∠ = + 2tan bQOF a ∠ = 2cos aQOF c ∠ = 2 2 2 2 2 2 4 9 0 2 4 c a b b a cc a b + + − + = + 4 2 2 44 3 0c a c a− + = 4 24 3 0e e− + = 3e = ABCDEF ABCD ADC∠ AFED / / ,AF DE AF AD⊥ 2, 4, 2 2, 2, 2AF DE BF AB BC= = = = = AC BE⊥ F DCE 3 EC BDE ABF 2, 2 2AF AB BF= = = AB AF⊥ AF AD⊥ AF ⊥ ABCD //AF DE DE ⊥ ABCD DE AC⊥ ABCD 2AB BC= = ABCD 7 / 10 于是 所以 平面 ，而 平面 ，所以 . （2）因为 平面 且垂足为 ，所以 为直线 与平面 所成角. 因为 平面 ， 平面 ，所 ， 所以 到平面 的距离为 到平面 的距离. 所以 平面 平面 所以平面 平面 且交线为 过 作 ，则 ，所以 所以 ，所以 在 中， ， 所以 .所以直线 与平面 所成角的正弦值 . 7.过原点 O 作两条相互垂直的射线，分别交椭圆 C： （ ）于 P、Q 两点. （1）证明： 为定值； ,AC BD BD DE D⊥ ∩ = AC ⊥ BDE BE ⊂ BDE AC BE⊥ AC ⊥ BDE O CEO∠ EC BDE / / ,AF DE AF ∉ CDE DE ∈ CDE / /AF CDE F DCE A DCE ,ED AD ED AB⊥ ⊥ ED ⊥ ,ABCD ED ∈ ECD ABCD ⊥ ECD CD A AH CD⊥ AH ECD⊥ 3, 2AH AD= = 3ADH π∠ = 1, 33 2BDC OC CD π∠ = = = DEC 2 2 2 5EC DC DE= + = 15sin 10 OCOEC EC ∠ = = EC BDE 15 10 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 1 1 OP OQ + 8 / 10 （2）若椭圆 C： （ ）的长轴长为 4，离心率为 ，过原点 O 作直线 的垂线， 垂足为 D，求点 D 的轨迹方程. 【解析】（1）当 ， 分别在坐标轴上时，显然有 ； 当 ， 不在坐标轴上时，设直线 ， 联立方程 ，整理得 ， 解得 ， ， 所以 ， 用 代替上式中的 ，可得 ， 所以 （定值）. （2）设垂足 ， 由椭圆 C： （ ）的长轴长为 4，离心率为 ， 可得椭圆 C 的方程为 ， 由（1）的证明可知 ，即 ， 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2 PQ OP OQ 2 2 2 2 1 1 1 1 a bOP OQ + = + OP OQ :OP y kx= 2 2 2 2 1 y kx x y a b = + = ( )2 2 2 2 2 2k a b x a b+ = 2 2 2 2 2 2 a bx k a b = + 2 2 2 2 2 2 2 k a by k a b = + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k a b k a bOP += + 1 k − k ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a k b k a bOQ += + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 k a b a k b k a b k a bOP OQ + ++ = + + + 2 2 2 2 2 2 1 1a b a b a b += = + ( , )D x y 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2 2 2 14 3 x y+ = 2 2 1 1 1 1 7 4 3 12OP OQ + = + = 2 2 2 2 7 12 OP OQ OP OQ + = ⋅ 9 / 10 即 ，即 ，即 ， 所以点 D 的轨迹方程为 . 8.已知函数 ． （1）若函数 在定义域上是单调递增函数，求 的取值范围； （2）若 恒成立，求 的值． 【解析】（1）函数 在定义域上是单调递增函数，可知导函数 在 恒成立， 即 在 恒成立， 可得 方法一：令 在 恒成立， ①当对称轴 ，即 时， 在 单调递增， ，即 恒成立； ②当对称轴 ，结合二次函数的性质要使在 恒成立， ， 即 ，解得 综上可得 的取值范围是 ； 方法二：令 在 恒成立， 可得 ( ) 2 2 7 12 PQ OP OQ = ⋅ ( )2 2 12 7 PQ OD PQ ⋅ = 2 12 7OD = 2 2 12 7x y+ = ( ) ln ( )1 2 a af x x a Rx = + + ∈+ ( )f x a ( ) ( 1)2 af x x≤ + a ( )f x ( ) 0f x′ ≥ ( )0, ∞+ 2 1 0( 1) a x x − ≥+ ( )0, ∞+ 2 2 2 1 ( 1) 0( 1) ( 1) a x ax x x x x + −− = ≥+ + ( )2 2( ) ( 1) 2 1 0g x x ax x a x−= + = + − + ≥ ( )0, ∞+ 2 02 ax −= ≤ 2a ≤ ( )g x ( )0, ∞+ min( ) (0) 1g x g= = ( ) 0>g x 2 02 ax −= ＞ ( )0, ∞+ 0∆ ≤ 2(2 ) 4 0a− − ≤ 0 4a≤ ≤ a ( ]4−∞， ( )2 2( ) ( 1) 2 1 0g x x ax x a x−= + = + − + ≥ ( )0, ∞+ ( )2 1 2x a x+ ≥ − 10 / 10 即 在 恒成立， ， ， 即 ， 故 的取值范围是 ； （2）由题意 恒成立， 即 在 恒成立， 令 ， 不难发现 ，即 那么 时， 取得最大值，也是极大值， 可知 是导函数的一个解． 即 ， 解得 经检验，当 时， 在 递增，在 递减，从而 成立，符合题意， 故得 ． 12a xx − ≤ + ( )0, ∞+  1 2xx + ≥ 2 2a∴ − ≤ 4a ≤ a ( ]4−∞， ln ( 1)1 2 2 a a ax xx + + ≤ ++ ln 01 2 a ax xx + − ≤+ ( )0, ∞+ ( ) ln 1 2 a ag x x xx = + −+ ( ) ( )2 1 21 a ag x x x ′ = − − + ( )1 0g = ( ) ( )1g x g≤ 1x = ( )g x 1x = ( )1 0g′ = 4 3a = 4 3a = ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1g x g≤ 4 3a =