难点五 新背景下的概率、统计问题，及统计案例测试卷
（一）选择题（12*5=60 分）
1．【辽宁省沈阳市 2019 届期末联考】已知一个样本，样本容量为 7，平均数为 11，方差为 2，现样本中又
加入一个新数据 11，此时样本容量为 8，平均数为푥，方差为푠2，则( )
A．푥 = 11,푠2 < 2 B．푥 = 11,푠2 > 2
C．푥 > 11,푠2 > 2 D．푥 > 11,푠2 < 2
【答案】A
【解析】 ∵ 某 7 个数的平均数为 11，方差为 2，现又加入一个新数据 11，此时这 8 个数的平均数为푥，方差
为푠2， ∴ 푥 = 7 × 11 + 11
8 = 11，푠2 = 7 × 2
8
7
4 < 2，故选：A．
2．（2020·全国高三专题练习）高考“ ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语 3 个科目成绩和高中学业
水平考试 个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，
在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物 个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随
机调查了 位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有 位，选择化学的学生共有 位，选择
物理也选择化学的学生共有 位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
选择物理的学生人数为 ，
即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为 ．
故选：
3．（2020·安徽高三月考 “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我
国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自 2013 年以来，“一
带一路”建设成果显著.下图是 2013-2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的
是（ ）
3 3+
3
6
100 40 30
10
0.1 0.2
0.3 0.4
40 30 10 20− + =
20 0.2100
=
BA．这五年，2013 年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2017 年进口增速最快
【答案】C
【解析】
【详解】
对于选项 A：观察五个灰色的条形图,可得 2013 年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013 年出口额
最少.故选项 A 正确;
对于选项 B:观察五组条形图可得,2013 年出口额比进口额稍低,但 2014 年—2017 年都是出口额高于进口额,
并且 2015 年和 2016 年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项 B 正确;
对于选项 C：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即 2013 年到 2014 年出口增速是上升的.故选项 C 错
误;
对于选项 D：从图中可知,蓝色的折线图 2017 年是最高的,即 2017 年进口增速最快.故选项 D 正确;
故选: C
4．（2020·山东高三月考）某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布
，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的 ，
则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为（ ）
A．150 B．200 C．300 D．400
【答案】C
2(105, )( 0)N σ σ > 1
5【解析】
∵ ， ，
所以 ，
所以此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 ．
故选 C．
5．【安徽省皖江名校 2019 届第四次联考】某单位为了解用电量푦（度）与气温푥(°퐶)之间的关系，随机统计
了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温푥(°퐶) 18 13 10 -1
用电量푦（度） 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程푦 = 푏푥 + 푎中푏 = ―2，预测当温度为 ― 5°퐶时，用电量的度数约为（ ）
A．64 B．66 C．68 D．70
【答案】D
【解析】由已知푥 = 10，푦 = 40，将其代入回归方程得40 = ―2 × 10 + 푎⇒푎 = 60，故回归方程为푦 = ―2푥 +60，
当푥 = ―5时，푦 = 70，选 D.
6．【广东省广州市 2019 届一模】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015
年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列
结论错误的是（ ）
A．年接待游客量逐年增加
B．各年的月接待游客量高峰期在 8 月
C．2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
( ) ( ) 190 120 5P X P X≤ = ≥ = ( ) 2 390 120 1 5 5P X≤ ≤ = − =
( ) 390 105 10P X≤ ≤ =
31000 30010
× =【答案】C
【解析】由已有中 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量
呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故 A 正确；每一年的接待量八月份的最大，故 B 正确；折线图
中没有具体数据，中位数无法计算，故 C 错误；各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动
性更小，变化比较平稳，故 D 正确.故选 C.
7．【陕西省 2019 届高三年级第三次联考】同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面向上的次
数为 ，则 的数学期望是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先计算依次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币，恰好出现 2 枚正面向上的概率，进而利用二项分
布求数学期望即可．
【解析】∵一次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币，恰好出现 2 枚正面向上的概率为 ，
∴ ，∴ ．故选 A．
8．【浙江省三校 2019 年 5 月第二次联考】已知甲口袋中有 个红球和 个白球，乙口袋中有 个红球和
个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出 的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用
可求得数学期望．
【解析】 的可能取值为 ， 表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故
； 表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白
球，故 ； 表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红
球，故 ，所以 ．故选 A．
9．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色
X X
1 2
3
2
5
2
1 1 1
2 2 4
× =
1~ (4, )4X B 1( ) 4 14E X = × =
3 2 2 3
ξ ( )E ξ =
14
5
13
5
7
3
8
3
ξ 1 1 2 2( ) i iE p p pξ ξ ξ ξ= + + + +
ξ 2,3,4 2ξ =
3 3 9( 2) 5 5 25P ξ = = × = 3ξ =
3 2 2 3 12( 3) 5 5 5 5 25P ξ = = × + × = 4ξ =
2 2 4( 4) 5 5 25P ξ = = × = 9 12 4 14( ) 2 3 425 25 25 5E ξ = × + × + × =后放回袋中，连续摸三次， 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对
立，则方差 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】每次取球时，取到红球的概率为 、黑球的概率为 ，所以取出红球的概率服从二项分布，即
,所以 ，故选 C.
10.将二项式 展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】由 ，知当 时为有理项，则二项式 展开式中
有 4 项有理项，3 项无理项，所以基本事件总数为 ，无理项互为相邻有 ，所以所求概率
＝ ，故选 A．
11．已知函数 ，其中 ， ，则函数 在 上是
增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原命题等价于 在 恒成立
，符合上述不等式的有
所求概率 ,故选 D.
12．【河南省周口市 2019 届期末联考】如图，图中的大、小三角形分别为全等的等腰直角三角形，向图中
任意投掷一飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )
( ) ( )3 2 21 13f x x a x b x= − − + { }1,2,3,4a∈ { }1,2,3b∈ ( )f x R
1
4
1
2
2
3
3
4
( ) ( )2 2' 2 1 0f x x a x b= − − + ≥ R
2222 )1(04)1(4 baba ≤−⇒≤−−=∆⇒
⇒)3,4(),3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(),1,1( 4
3
43
9 =×=P
X
( )D X =
2
3
3
4
2
3
1
3
2(3, )3x B∼ 2 2 2( ) 3 (1 )3 3 3D x = × × − =
6)2(
x
x +
7
2
35
1
35
8
24
7
366 2
1 6 6
2( ) 2 rr r r r r
rT C x C x
x
−−
+ = = 0,2,4,6r = 6)2(
x
x +
7
7A 4 3
4 5A A
4 3
4 5
7
7
A AP A
=
7
2A．1
4 B．1
3 C．2
5 D．1
2
【答案】B
【解析】设小三角形的直角边长度为 1，则大三角形的直角边长为 2，则小三角形的面积和为 4 × 1
2
× 1 × 1 = 2，大三角形的面积和为 4 × 1
2 × 2 × 2 = 4，则飞镖落在阴影部分的概率为 2
2 + 4 = 1
3，故选：B
（二）填空题（4*5=20 分）
13. （2020·广东高三期末（理））某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙
研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.6，乙研究所独立研究并解决这个
问题的概率为 0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为______.
【答案】0.88
【解析】
设事件 为“这个技术难题最终能被解决”,
所以 ,
所以 ,
故答案为:0.88
14．（2020·广东高三月考（理））随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程
中容易出现碰伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为 0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购 2 箱
苹果恰有 1 箱在运输中出现碰伤的概率为_________.
【答案】0.42
【解析】
题目可转化为独立重复试验，即重复做 2 次试验，每次事件发生的概率为 0.7，
则恰有 1 次发生的概率为 .
15．【四川省绵阳市 2019 届 1 月联考】一个盒子装有 3 个红球和 2 个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从
盒子中一次性随机取出 3 个小球后，再将小球放回．重复 50 次这样的实验．记“取出的 3 个小球中有 2 个
A
( ) ( ) ( )1 0.6 1 0.7 0.12P A = − × − =
( ) ( )1 1 0.12 0.88P A P A= − = − =
( )1
2 0.7 1 0.7 0.42C × × − =红球，1 个蓝球”发生的次数为휉，则휉的方差是_____．
【答案】12
【解析】由题意知휉~B（n,p),其中 n=50，p=
퐶23퐶12
퐶35
= 6
10 = 3
5， ∴ D（휉）=50 × 3
5 × 2
5=12，故答案为 12.
16．（2020·湖北高三月考（理））为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县
新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应
模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，
以每份 10 元的价格销售到生鲜超市，每份 15 元的价格卖给顾客，如果当天前 8 小时卖不完，则超市通过
促销以每份 5 元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，
当天不再进货）.该生鲜超市统计了 100 天有机蔬菜在每天的前 8 小时内的销售量（单位：份），制成如下表
格（注： ，且 ）.若以 100 天记录的频率作为每日前 8 小时销售量发生的概率，该生鲜
超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大，则 x 的最
小值是________.
前 8 小时内销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 x 16 16 15 13 y
【答案】25
【解析】
解：若该超市一天购进 17 份这种有机蔬菜， 表示当天的利润（单位：元），那么 的分布列为
65 75 85
的数学期望 ，
若该超市一天购进 18 份这种有机蔬菜， 表示当天的利润（单位：元），那么 的分布列为
60 70 80 90
的数学期望 ，
*,x y N∈ 30x y+ =
1Y 1Y
1Y
P 10
100 100
x 90
100
x−
1Y ( )1
1065 75100 100
xE Y = × + × 90 8300 1085 100 100
x x− −+ × =
2Y 2Y
2Y
P 10
100 100
x 16
100
74
100
x−
2Y ( )2
1060 70100 100
xE Y = × + × 16 7480 +90100 100
x−+ × × 8540 20
100
x−=∵购进 17 份比购进 18 份的利润的期望值大，
∴ ，且 ，
解得 ，又 ，
∴ 的最小值为 25，
故答案为：25．
(三)解答题（4*10=40 分）
17（2020·四川高三月考（理））为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机
抽取了 100 户家庭进行问卷调查.经调查发现，这些家庭的月收入在 3000 元到 10000 元之间，根据统计数据
作出如图所示的频率分布直方图：
（1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入 （单位：百元）近似地服从正态分布 ，其中 近
似为样本平均数.若 落在区间 的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系
该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区 家庭月收入为 4100 元，
试判断 家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；
（2）将样本的频率视为总体的概率.
①从该社区所有家庭中随机抽取 户家庭，若这 户家庭月收入均低于 8000 元的概率不小于 50%，求 的
最大值；
②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡
的活动，赠送方式为：家庭月收入低于 的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于 的获赠一次随机购
物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：
8300 10 8540 20
100 100
x x− −> 30x <
24 30x< < *x∈N
x
Z ( ,196)N µ µ
Z ( 2 , 2 )µ σ µ σ− +
A
A
n n n
µ µ赠送购物卡金额（单位：元） 100 200 300
概率
则 家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）
【解析】
解：（1）该社区居民的家庭月收入平均值为：
（百元）
又因为该社区居民的家庭月收入 （单位：百元）近似地服从正态分布
所以 ，故
该社区 家庭月收入为 4100 元 百元 ，故 家庭不属于“收入较低家庭”.
（2）①将样本的频率视为总体的概率，由频率分布直方图可知，抽取一户家庭其月收入低于 8000 元的概
率为
随机抽取 户家庭月收入均低于 8000 元的概率为 ，由题意知 ，解得
②由（1）知 百元 元，故 家庭月收入低于 ，可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物
卡金额为随机变量 ，则 的取值分别为 200，300，400，500，600
，
，
则 家庭预期获得的购物卡金额为 元.
18. （2020·山东高三月考）某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量
（单位： ）和与它“相近”的株数 具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 ），
并分别记录了相近株数为 0，1，2，3，4 时每株产量的相关数据如下：
0 1 2 3 4
15 12 11 9 8
（1）求出该种水果每株的产量 关于它“相近”株数 的回归方程；
（2）有一种植户准备种植该种水果 500 株，且每株与它“相近”的株数都为 ，计划收获后能全部
1
2
1
3
1
6
A
35 0.02 45 0.15 55 0.15 65 0.2 75 0.28 85 0.16 95 0.04 67.1µ = × + × + × + × + × + × + × =
Z ( ,196)N µ
14σ = -2 =67.1-28=39.1µ σ
A 41= 9.12 3µ σ => − A
(0.002 0.015 0.015 0.02 0.028) 10 0.8+ + + + × =
n 0.8n 0.8 0.5n ≥ 3n ≤
67.1µ = 6710= A µ
ξ ξ
1 1
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5( 200) , ( 300) , ( 400)2 2 4 2 3 3 2 6 3 3 1P P C P Cξ ξ ξ= = × = = = × × = = = × × + × =
1
2
1 1 1 1 1 1( 500) , ( 600)3 6 9 6 6 36P C Pξ ξ= = × × = = = × =
A 1 1 5 1 1( ) 200 300 400 500 600 3334 3 18 9 36E ξ = × + × + × + × + × =
y
kg x 1m
x
y
y x
*( )m m N∈售出，价格为 10 元 ，如果收入（收入=产量×价格）不低于 25000 元，则 的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每
个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为 ，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该
水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，
.
（1）由题意得： ，
，
∴
，
，
所以 ，
，
所以 .
（2）设每株的产量为 ，
根据题意： ，
解得 ，
/kg m
1m
y a bx= + 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bx= −
( )1 0 1 2 3 4 25x = + + + + =
( )1 15 12 11 9 8 115y = + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5
1
( ) 2 4 1 1 0 0 1 2 2 3i i
i
x x y y
=
− − = − × + − × + × + × − + × −∑
17= −
( ) ( )5 2 22 2 2 2
1
( ) 2 1 0 1 2 10i
i
x x
=
− = − + − + + + =∑
( )5
1
5 2
1
( ) 17ˆ
10( )
i ii
ii
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
17 7211 210 5
ˆˆa y bx = − = − − × =
72 17
5 1
ˆ
0y x= −
y kg
10 500 25000y× ≥
5y ≥令 ，
解得 ，
所以每株“相近”的株数 的最大值为 5.
（3）由回归方程得：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
由题意得：
，
，
，
，
所以 的分布列为：
11
所以 ，
所以一株产量的期望为 .
19. （2020·山东高三期末）有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：
甲公司 乙公司
职位 A B C D 职位 A B C D
72 17 55 10 x− ≥
94 9517 17x ≤ =
m
1x = ˆ 127
10y =
2x = ˆ 11y =
3x = ˆ 93
10y =
4x = ˆ 38
5y =
127
8
ˆ 1
10 1P y = =
( ) 511 1
ˆ
8P y = =
93 7
1
ˆ
10 8P y = =
3ˆ 8 5
5 18P y = =
ˆy
ˆy 127
10
93
10
38
5
P 1
18
5
18
7
18
5
18
( ) 127 1 5 93 7 38 5 4271110 18 18 10 18 5 18 45
ˆE y = × + × + × + × =
427
45月薪/元 6000 7000 8000 9000 月薪/元 5000 7000 9000 11000
获得相
应职位
概率
0.4 0.3 0.2 0.1
获得相
应职位
概率
0.4 0.3 0.2 0.1
（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;
（2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：
选择意愿
人员结构
40 岁以上（含 40 岁）男性 40 岁以上（含 40 岁）女性 40 岁以下男性 40 岁以下女性
选择甲公司 110 120 140 80
选择乙公司 150 90 200 110
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的 K2 的观测值为 k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关
系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联
性更大？
附：퐾2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)
푃(퐾2 ≥ 푘) 0.050 0.025 0.010 0.005
푘 3.841 5.024 6.635 7.879
（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X，Y，
则 E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，
E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1＝7000，
D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1＝10002，
D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1＝20002，
则 E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；
或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；
（2）因为 k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，
得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 2×2 列联表如下：
选择甲公司 选择乙公司 总计
男 250 350 600
女 200 200 400
总计 450 550 1000
计算 K2＝1000 × (250 × 200 ― 350 × 200)2
600 × 400 × 450 × 550 = 2000
297 ≈6.734，
且 K2＝6.734＞6.635，
对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 0.01，
由 0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．
20. （2020·河北高三期末（理））某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要
求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验 960 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部
门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 960 次.方案②：按 个人
一组进行随机分组，把从每组 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结
果呈阴性，这 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 次）；否则，若呈阳性，则需对这
个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组 个人的血总共需要化验 次.假设此次普查中每个人的血样
化验呈阳性的概率为 ，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组 个人中每个人的血化验次数为 ，求 的分布列；
（2）设 .试比较方案②中， 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情
况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 ,则 .
所以 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 ,呈阳性反应的概率为 .
依题意可知 所以 X 的分布列为：
（2）方案②中.
k
k
k 1
k k
k 1k +
p
k X X
0.1p = k
q 1q p= −
k kq 1 kq−
1 11X k k
= +， ，
X 1
k
11 k
+
P kq 1 kq−结合（1）知每个人的平均化验次数为：
.
所以当 时, ,此时 960 人需要化验的总次数为 662 次,
时, ,此时 960 人需要化验的总次数为 580 次,
时, ,此时 960 人需要化验的次数总为 570 次,
即 时化验次数最多, 时次数居中, 时化验次数最少.
而采用方案①则需化验 960 次,
故在这三种分组情况下,相比方案①,当 时化验次数最多可以平均减少 960-570=390 次.
( ) 1 1 1(1 ) (1 ) 1k k kE X q q qk k k
= ⋅ + + ⋅ − = − +
2k = ( ) 21 0.9 1=0.692E X = − +
3k = ( ) 31 0.9 1 0.60433E X = − + ≈
4k = ( ) 41 0.9 1=0.59394E X = − +
2k = 3k = 4k =
4k =
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