备战2020高考高三二轮数学核心能力突破 解析几何中的定值、定点问题（测试卷解析版）

难点七 解析几何中的定值、定点和定线问题测试卷 （一）选择题（12*5=60 分） 1．已知双曲线 与不过原点 且不平行于坐标轴的直线 相交于 两点，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 （ ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【解析】设 ，则 ，根据点差法可得 ，所以直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， ，故选 A. 2．如图， 为椭圆 的长轴的左、右端点， 为坐标原点， 为椭圆上不同于 的三点，直线 ， 围成一个平行四边形 ，则 （ ） A．5 B． C.9 D．14 【答案】D 【解析】设 ， 斜率为 ，则 斜率为 ，且 ，所以 ，同理 ，因此 ，选 D. 2 2 12 xy − = O l ,M N MN P l 1k OP 2k 1 2k k = 1 2 1 2 − ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0 0, , , ,M x y N x y P x y 2 2 2 21 2 1 21, 12 2 x xy y− = − = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x xy y y y − +− + = l ( ) 01 2 1 2 1 1 2 1 2 02 2 xy y x xk x x y y y − += = =− + OP 0 2 0 yk x = 0 0 1 2 0 0 1 2 2 x yk k y x = × = 1 2A A， 2 2 19 5 x y+ = O S Q T， ， 1 2A A， 1 2QA QA OS， ， OT OPQR 2 2OS OT+ = 3 5+ 1 1 2 2 (x,y) ( , ) (x ,y )Q T x y S， ， 1 2QA QA， 1 2,k k ,OT OS 1 2,k k 2 1 2 2 5 3 3 9 9 y y yk k x x x = ⋅ = = −+ − − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 45(1 ) 5 9 kOT x y x k x k += + = + = + 2 2 2 2 2 45(1 ) 5 9 kOS k += + 2 2OS OT+ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2545(1 )45(1 ) 45(1 ) 45(1 ) 81 45(1 ) 81 25 126 70+ + + 14255 9 5 9 5 9 5 9 5 9 5 95 9 k k k k k k k k k k k k k k ++ + + + + += = = =+ + + + + ++3．【湖北省 “荆、荆、襄、宜四地七校”2019 届期末】设퐹1( ― 푐,0),퐹2(푐,0)是双曲线퐶:푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0) 的左右焦点，点푃是퐶右支上异于顶点的任意一点，푃푄是∠퐹1푃퐹2的角平分线，过点퐹1作푃푄的垂线，垂足为 푄，푂为坐标原点，则|푂푄|的长为（ ） A．定值푎 B．定值푏 C．定值푐 D．不确定，随푃点位置变化而变化 【答案】A 【解析】依题意如图，延长 F1Q，交 PF2 于点 T，∵푃푄是∠F1PF2 的角分线．TF1 是푃푄的垂线，∴푃푄是 TF1 的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P 为双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1 上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形 F1F2T 中，QO 是中位线，∴|OQ|＝a． 故选：A． 4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线的离心率为 ，若双曲线上一点 使 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线 的左、右焦点分别为 ，可得 ，在 中，由正弦定理 得 ，又 结合这两个条件得 ，由余弦定理 可得 ,故选 B． 5．若 ， 满足 ，则直线 过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2 2 13 yx − = 1 2,F F e P 2 1 1 2 sin sin PF F ePF F ∠ =∠ 2 2 1F P F F   3 2 3− 2− 2 2 13 yx − = 1 2,F F 2 1 =2 4F F c = 1 2PF F 12 3 1 2 2 sin 2sin PFPF F ePF F PF ∠ = = =∠ 1 2 2,PF PF− = 1 24, 2PF PF= = 2 1 2 2 1 2 1 1cos , 4 2 24 4F F F P F F F P= ⇒ = × × =     m n 2 1 0m n+ − = 3 0mx y n+ + = 1 1,2 6      1 1,2 6  −   1 1,6 2  −   1 1,6 2  −  【解析】 ， ,当 时, ， ,故直线过定点 .故选 B. 6．已知 是双曲线 上任意一点，过点 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，则 的值是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】设 则 ，即 ，由双曲线 的渐近线方程为 ， 则由 ，解得交点 ，由 解得交点 ， ，则 ，故选 A. 7．以抛物线 上的任意一点为圆心作圆与直线 相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐 标是 A. B. （2，0） C. （4，0） D. 【答案】B 【解析】∵抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2，∴由题可知动圆的圆心在 y2=8x 上，且恒与抛物线的准线相 切，由定义可知，动圆恒过抛物线的焦点（2，0），故选 B． 8．【浙江省 2018 届第三次统练】已知圆 ： ，点 为直线 上一动点， 过点 向圆 引两条切线 ， 为切点，则直线 经过定点（ ） A. B. C. D ． 2 1 0, 2 1m n m n+ − = ∴ + = 3 0, ( ) 3 0mx y n mx n y+ + = ∴ + + = 1 2x = 1 1 2 2m n+ = 1 13 ,2 6y y∴ = − ∴ = − 1 1( , )2 6 − P 13 2 2 =− yx P BA, PBPA⋅ 8 3− 16 3 8 3− ( )P ,m n 2 2 13 m n− = 2 23 3m n− = 2 2 13 x y− = 3 3y x= ± ( ) 3 3 3 y x y n x m  =  − = − − 3 3 3,4 4 m n m nA  + +    ( ) 3 3 3 y x y n x m  =  − = − − 3 3 3,4 4 m n n mB  − −    3 3 3 3 3 3, ,4 4 4 4 n m m n m n n mPA PB    − − − − − −= =           ， 2 23 3 3 3 3 3 2 6 6 3 4 4 4 4 16 16 8 n m m n m n n m m nPA PB − − − − − − −= × × × = − = − = −   2 8y x= 2 0x + = ( )0,2 ( )0,4 C 2 2 4x y+ = P 2 9 0x y+ − = P C ,PA PB ,A B AB 4 8,9 9      2 4,9 9      ( )2,0 ( )9,0【答案】A 【解析】设 ，过点 向圆 引两条切线 ， 为切点，则 ， 是以 为直径的圆 与圆 的公共弦，求得圆 的方程为 ①，又知圆 的方程为 ②，②-①可得公共 弦 所在直线的方程为 ，令 可得 ，所以直线 经过 定点 ，故选 A. 9．已知直线 与双曲线 交于 ， 两点， 为双曲线上不同于 ， 的点，当直线 ， 的斜率 ， 存在时， ． 【答案】 【解析】联立 得 ,设 因为 为双曲线上不同于 的点,设 且满足 , , , ,故填 . 10．【江苏省如皋市 2018 届教学质调（三）】在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 ，在圆 内存在一定点 ，过 的直线 被圆 ，圆 截得的弦分别为 ， ，且 ，则定点 的坐标为_______. 【答案】 1 2y x= 2 2 19 4 x y− = A B P A B PA PB PAk PBk PA PBk k⋅ = 9 4      =− = 149 2 1 22 yx xy 7 7121144 7 2 ±=⇒= xx BA ,7 76,7 712       ,7 76,7 712       −− P BA, ( )yxP , 149 22 =− yx 7 712 7 76 − − = x y kPA 7 712 7 76 + + = x y kPB = − −−⋅ = − − = + + ⋅ − − =⋅∴ 7 144 7 3649 4 7 144 7 36 7 712 7 76 7 712 7 76 2 2 2 2 x x x y x y x y kk PBPA 9 4 9 4 ( )9 2 ,P m m− P C ,PA PB ,A B ,OA PA OB PB⊥ ⊥ AB OP D C D ( )22 2 29 29 2 2 2 4 m mm mx y − +−   − + − =       C 2 2 4x y+ = AB ( ) ( )2 4 9 0m x y x− + − = 2 0{ 4 9 0 x y x − = − = 4 9{ 8 9 x y = = AB 4 8,9 9      xOy 2 2 1 : 9O x y+ = ( )22 2 : 6 16O x y+ − = 2O M M l 1O 2O AB CD 3 4 AB CD = M 180 7     ，【解析】 总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是 点 在两圆心连线上， 因为圆心连线方程为 ，可设 ，设直线 的方程为 ，因为 ，所以 ，解得 或 （此时点 在圆 外，舍去），故答案为 . 11．【 2018 届 12 月月考】已知点 和圆 ： ， 是圆 的直径， 和 是线段 的三等分点， （异于 ， ）是圆 上的动点， 于 ， （ ），直线 与 交于 ，则当 __________时， 为定值． 【答案】 【解析】题意可得 ，设 ，则点 ，故 的方程为 ， 的方程为 ，联立方程组可得 ， 把 代入化简可得 ，故点 在以 为长轴的椭圆上，当 为此椭圆的焦点 时， 为定值 ，此时 ，由 可得 ，求得 ，故填 . 12．（2020·高三期末）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M， 直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点. （Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 ，所以 ；  3 4 AB CD = 6 3 ,8 4 = ∴ M 0x = ( )00,M y l 0y kx y= + 3 4 AB CD = 2 0 2 2 0 2 9 91 16616 1 y k y k  − +  =  −− +  0 18 7y = 0 18y = − M 2O 180 7     ， ( )3 0A − ， O 2 2 9x y+ = AB O M N AB P A B O PD AB⊥ D PE EDλ=  0λ > PA BE C λ = CM CN+ 1 8 ( ) ( )3 0), 1,0 , 1,0B M N−（ ， ( )0 0,P x y 0 0 1,1E x yλ    +  PA ( )0 0 33 yy xx = ⋅ ++ BE ( )0 0 1 1 33 y y xx λ+= −− ( )( ) ( )2 2 20 2 0 9 1 9 yy x xλ = − + − 2 2 0 09y x= − 2 2 9 19 1 y x λ+ =+ C AB M N、 CM CN+ 2 6a = 93, 1, 1a c b λ= = = + 2 2 2a b c− = 99 11 λ− =+ 1 8 λ = 1 8 λ = 2 2 2 2: 1x yC a b + = (1,0) (0,1)A : ( 1)l y kx t t= + ≠ ± (1,0) 12 25因为椭圆经过点 ,所以 ，所以 ，故椭圆的方程为 . （Ⅱ）设 联立 得 ， ， ， . 直线 ，令 得 ，即 ； 同理可得 . 因为 ,所以 ； ，解之得 ，所以直线方程为 ，所以直线 恒过定点 . 13．【江西省南昌市 2019 届第六次考】如图,已知抛物线 C 顶点在坐标原点，焦点 F 在 Y 轴的非负半轴上， 点푀( ― 2,1)是抛物线上的一点. （1）求抛物线 C 的标准方程 （2）若点 P,Q 在抛物线 C 上,且抛物线 C 在点 P,Q 处的切线交于点 S,记直线 MP,MQ 的斜率分别为 k1，k2, 且满足푘2 ― 푘1 = 1,当 P,Q 在 C 上运动时，△PQS 的面积是否为定值？若是，求出△PQS 的面积；若不是，请 说明理由. 【解析】（1）设抛物线的方程为푥2 = 2푝푦将 M（-2，1）点坐标代入方程中，解得푥2 = 4푦 (0,1)A 1b = 2 2 2 2a b c= + = 2 2 12 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 12 ( 1) x y y kx t t  + =  = + ≠ 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 20, ,1 2 1 2 kt tx x x xk k −∆ > + = − =+ + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2 ty y k x x t k + = + + = + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 1 2 t ky y k x x kt x x t k −= + + + = + 1 1 1: 1 yAP y xx −− = 0y = 1 1 1 xx y −= − 1 1 1 xOM y −= − 2 2 1 xON y −= − 2OM ON = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 1 ( ) 1 x x x x y y y y y y − − = =− − − + + 2 2 1 12 1 t t t − =− + 0t = y kx= l (0,0)（2）设푃(푥1, 푥1 2 4 ),푄(푥2, 푥2 2 4 )，设直线 PQ 的方程为푦 = 푘푥 + 푏,代入抛物线方程푥2 = 4푦，得到푥2 ― 4푘푥 ― 4푏 = 0， 则푥1 + 푥2 = 4푘,푥1푥2 = ―4푏，结合푘2 ― 푘1 = 1，而푀( ―2,1)，则푘2 = 푥2 2 4 ― 1 푥2 + 2 = 푥2 ― 2 4 ,푘1 = 푥1 2 4 ― 1 푥1 + 2 = 푥1 ― 2 4 ，代入， 得到푥2 ― 푥1 = 4所以(푥1 ― 푥2)2 = (푥1 + 푥2)2 ― 4푥1푥2 = 16푘2 +16푏 = 16，解得푘2 + 푏 = 1，过 P 点的切线斜率 为푥1 2 ，过 Q 切线斜率为푥2 2 ，则 PS 的方程为푦 = 푥1 2 푥 ― 푥1 2 4 ，QS 的方程为푦 = 푥2 2 푥 ― 푥2 2 4 ，联解这两个方程，得到 S 的坐标为(2푘, ― 푏)，故点 S 的直线 PQ 的距离为푑 = |2푘2 + 2푏| 1 + 푘2 = 2 1 + 푘2，而 PQ 的长度为 1 + 푘2|푥1 ― 푥2| = 1 + 푘2 ⋅ 4，故面积为푆 = 1 2 ⋅ 푑 ⋅ 푃푄 = 1 2 ⋅ 2 1 + 푘2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 푘2 = 4，故为定值。 14. （2020·福建省高三开学考试）已知 为坐标原点，椭圆 ： 的焦 距为 ，直线 截圆 ： 与椭圆 所得的弦长之比为 ，椭圆 与 轴正半轴的交 点分别为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设点 （ 且 ）为椭圆 上一点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 ， 分别交 轴于点 ， .试判断 是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由. 【解析】 （1）依题意： ， ，直线 与圆 相交弦长为直径 . 又∵ ，∴弦长为 ， ∴有 .又 ，∴求得 ， . ∴椭圆 的标准方程： . （2）由（1）可知，点 的坐标为 ， 直线 的方程为 ，令 ，得 .因为点 关于 轴的对称点为 ，所以 O E ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 3 y x= O 2 2 2x y a+ = E 10 2 E y A E ( )0 0,B x y 0 0y ≠ 0 1y ≠ ± E B x C AB AC x M N OM ON⋅ 2 2 3c = 3c = y x= 2 2 2x y a+ = 2a 2 2 2 2 22 2 2 2 1x y a bxa b a by x  + = ⇒ = + = 1 2 2 2 2 22 abx x a b − = + 2 2 2 2 2 10 522 2 a a b ab a b = ⇒ + = + 2 2 3a b= + 2 4a = 2 1b = E 2 2 14 x y+ = A ( )0,1 AB 0 0 1 1yy xx −= + 0y = 0 0 ,01 xM y    −  B x C. 所以直线 的方程为 ，令 ，得 . ∵ . 又∵点 在椭圆 上，所以 ，即 . ∴ 是否为定值，求得定值为 4. 15．（2020·全国高三专题练习）已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 为该椭圆的一 条垂直于 轴的动弦，直线 与 轴交于点 ，直线 与直线 的交点为 . （1）证明：点 恒在椭圆 上. （2）设直线 与椭圆 只有一个公共点 ，直线 与直线 相交于点 ，在平面内是否存在定点 ，使 得 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由. （1）证明：由题意知 ，设 ，则 . 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 联立可得 ， ，即 的坐标为 . 因为 ， 所以 点恒在椭圆 上. （2）解：当直线 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线 的方程为 ，由对称性可知，若平面 内存在定点 ，使得 恒成立，则 一定在 轴上，故设 ， 由 可得 . ( )0 0,C x y− AC 0 0 1 1yy xx += − + 0y = 0 0 ,01 xN y    +  2 0 0 0 2 0 0 01 1 1 x x xOM ON y y y ⋅ = ⋅ =− + − ( )0 0,B x y 2 2 14 x y+ = 2 20 0 14 x y+ = 2 0 2 0 41 x y =− OM ON⋅ 1 2,F F 2 2 : 14 3 x yC + = MN x : 4m x = x A 2MF AN B B C n C P n m Q T 2PTQ π∠ = 2 (1,0), (4,0)F A ( , ), ( , )M s t N s t− 2 2 14 3 s t+ = 2MF ( 1)1 ty xs = −− AN ( 4)4 ty xs −= −− 5 8 2 5B sx s −= − 3 2 5B ty s = − B 5 8 3,2 5 2 5 s t s s −  − −  2 2 2 2 2 2 2 2 (5 8) 12 (5 8) 36 9 14 3 4(2 5) 4(2 5) B Bx y s t s s s s − + − + −+ = = =− − B C n n y kx b= + T 2PTQ π∠ = T x ( )0 ,0T x 2 2 , 1,4 3 y kx b x y = + + = ( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =因为直线 与椭圆 只有一个公共点， 所以 ， 所以 . 又因为 ，所以 ， 即 . 所以 对于任意的满足 的 恒成立， 所以 解得 . 故在平面内存在定点 ，使得 恒成立. 16．已知椭圆 过点 两点． (Ⅰ)求椭圆 的方程及离心率； (Ⅱ)设 为第三象限内一点且在椭圆 上，椭圆 与 y 轴正半轴交于 B 点，直线 与 轴交于点 ，直 线 与 轴交于点 ，求证：四边形 的面积为定值． 【解析】（Ⅰ）由题意得： . 所以椭圆 的方程为： . 又∵ ∴离 心率 . (Ⅱ)设 （ ， ），则 ．又∵ ， ，∴直线 的方程为 ．令 ，得 ，从而 ．直线 的方程为 ．令 ，得 ，从而 ． ∴四边形 的面积 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 15(2 0 C 2 4A ，）， （ ， ） C P C C PA y M PB x N ABNM 2, 1a b= = C 2 2 14 x y+ = 2 2 3c a b= − = 3 2 ce a = = ( )0 0,x yΡ 0 0x < 0 0y < 2 2 0 04 4x y+ = ( )2,0Α ( )0,1Β ΡΑ ( )0 0 22 yy xx = −− 0x = 0 0 2 2 yy xΜ = − − 0 0 21 1 2 yy xΜΒΜ = − = + − ΡΒ 0 0 1 1yy xx −= + 0y = 0 0 1 xx yΝ = − − 0 0 2 2 1 xx yΝΑΝ = − = + − ΑΒΝΜ 1 2S = ΑΝ ⋅ ΒΜ 0 0 0 0 21 2 12 1 2 x y y x   = + +  − −   ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 8 4 2 2 2 x y x y x y x y x y + + − − += − − + n C ( )( ) ( )2 2 2 2 2 264 4 4 3 4 12 48 4 3 0k b k b k b∆ = − + − = − + = 4 3,P P P kx y kx bb b = − = + = (4,4 ), 2Q k b PTQ π+ ∠ = ( )0 0 4 3, 4 ,4 0kTP TQ x x k bb b  ⋅ = − − ⋅ − + =     ( )0 0 4 3(4 )4 0k k bx xb b + + − + =   ( )2 0 0 04 3 4 4 0kx x xb − + + − = 2 24 3 0k b− + = ,k b 0 2 0 0 4 4 0, 4 3 0, x x x − =  − + = 0 1x = (1,0)T 2PTQ π∠ = ．∴四边形 的面积为定值． 17. （2020·江西高三期末）已知椭圆 ， 为椭圆 的右焦点， 为椭 圆上一点， 的离心率 （1）求椭圆 的标准方程； （2）斜率为 的直线 过点 交椭圆 于 两点，线段 的中垂线交 轴于点 ，试探究 是 否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由. （1） 解得 ∴椭圆方程为 （2）当 时， 当 时，直线 方程为 ，假设 两点坐标分别为 ，把直线 代入椭 圆方程 中得： ，显然 恒成立 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 4 2 2 x y x y x y x y − − += − − + 2= ΑΒΝΜ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F C 61, 2D       C 2 2e = C k l F C ,M N MN x P | | | | PF MN 2 2 2 2 2 1 3 12 2 2 a b ce a c a b  + =   = =  = −  2 2 2 a b c =  =  = 2 2 14 2 x y+ = 0k = | | 2| | 2 4,| | | | 2,| | 4 PFMN a PF OF c MN = = = = = = 0k ≠ l ( )2y k x= − ,M N ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y l 2 22 4x y+ = ( )2 2 2 22 1 4 2 4 4 0k x k x k+ − + − = 0>则线段 中点坐标为 ， 线段 的中垂线方程为 ，即 令 ，则 ， ∴ 综上所述， （定值） 18．【天津市七校 2019 届期末】已知椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（푎 > 푏 > 0）的左右焦点分别为퐹1,퐹2，左右顶点分别为 퐴,퐵，过右焦点퐹2且垂直于长轴的直线交椭圆于퐺,퐻两点，|퐺퐻| = 3，훥퐹1퐺퐻的周长为8.过퐴点作直线푙交椭圆 于第一象限的푀点，直线푀퐹2交椭圆于另一点푁，直线푁퐵与直线푙交于点푃； （1）求椭圆的标准方程； （2）若훥퐴푀푁的面积为18 2 7 ，求直线푀푁的方程； （3）证明：点푃在定直线上. 【解析】（1）|퐺퐻| = 2푏2 푎 = 3,4푎 = 8，解得：푎 = 2,푏 = 3； 所以椭圆方程为：푥2 4 + 푦2 3 = 1. （2）设푀(푥1,푦1),푁(푥2,푦2)，①当直线 MN 斜率푘存在时：设 MN 方程为푦 = 푘(푥 ― 1)，联立得：(4푘2 + 3)푥2 ― 8푘2푥 +4푘2 ― 12 = 0，훥 = 144(푘2 +1) > 0，푥1 + 푥2 = 8푘2 4푘2 + 3,푥1푥2 = 4푘2 ― 12 4푘2 + 3 ； ∴ |푀푁| = 12(푘2 + 1) 4푘2 + 3 ； 퐴( ―2,0) 2 2 1 2 1 22 2 4 2 4 4,2 1 2 1 k kx x x xk k −+ = =+ + ( ) ( )2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 | | 1 1 4 2 1 k MN k x x k x x x x k + = + − = + + − = + MN 2 2 2 2 2 2,2 1 2 1 k k k k  −  + +  MN 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 k ky xk k k  + = − − + +  2 1 2 2 1 ky xk k = − + + 0y = 2 2 2 2 1P kx k = + ( )22 2 2 2 12| | 2 2 1 2 1 kkPF k k + = − =+ + | | 2 | | 4 PF MN = | | 2 | | 4 PF MN =到MN直线푘푥 ― 푦 ― 푘 = 0的距离为푑 = 3|푘| 푘2 + 1， ∴ 푆 = 18 ⋅ |푘| ⋅ 푘2 + 1 4푘2 + 3 = 18 2 7 ⇒17푘4 + 푘2 ― 18 = 0⇒푘 =± 1； 当 푘 = ―1时，MN 直线方程过퐹2(1,0)直线MN 与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以MN 方程为푥 ― 푦 ― 1 = 0. ②当直线 MN 斜率푘不存在时，푆 = 1 2 ⋅ 2푏2 푎 ⋅ (푎 + 푐) = 9 2 ≠ 18 2 7 （舍）. 综上：直线 MN 方程为：푥 ― 푦 ― 1 = 0 （ 3 ） 设 퐴푀： 푦 = 푘1(푥 +2)(푘1 > 0)， 与 椭 圆 联 立 ： (4푘1 2 + 3)푥2 +16푘1 2푥 +16푘1 2 ― 12 = 0， ∵ {푥퐴푥푀 = 16푘1 2 ― 12 4푘1 2 + 3 푥퐴 = ―2 ∴ 푥푀 = 6 ― 8푘21 4푘21 + 3,푦푀 = 12푘1 4푘21 + 3，同理设퐵푁：푦 = 푘2(푥 ― 2)(푘2 > 0)，可得푥푁 = 8푘22 ― 6 4푘22 + 3,푦푁 = ―12푘2 4푘22 + 3 ， 所以푀푁的方程为：푦 ― 푦푀 푥 ― 푥푀 = 푦푁 ― 푦푀 푥푁 ― 푥푀 以及푀푁方程过퐹2(1,0)，将퐹2,푀,푁坐标代入可得：(4푘1푘2 +3) ⋅ (푘2 ― 3푘1 ) = 0， ∵ 푘1푘2 > 0 ∴ 푘2 = 3푘1. 又因为퐴푀与퐵푁交于 P 点，即{푦푝 = 푘1(푥푝 + 2) 푦푝 = 푘2(푥푝 ― 2) ，푥푝 = 2(푘1 + 푘2) 푘2 ― 푘1 ，将 ∴ 푘2 = 3푘1 代入得푥푃 = 4，所以点 P 在定直线푥 = 4上 MN 方程为푥 ― 푦 ― 1 = 0 19．（2020·江西高三期末）已知椭圆 过点 ，且离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点 是椭圆上的点， 是椭圆上位于直线 两侧的动点，当 运动时，满足 ，试问直线 的斜率是否为定值？请说明理由. 【详解】 （1）根据题意， ，解得 ， ∴椭圆 的方程为 ； （2）∵ ，则直线 与直线 的斜率之和为 0， 令 ， ， 令直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ， 则 的方程为 ， 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 31, 2P     1 2 C 31, 2Q −   ,A B PQ ,A B APQ BPQ∠ = ∠ AB 2 2 2 2 2 1 2 1 9 14 ce a a b a b c  = =  + =  = +  2 3 1 a b c =  =  = C 2 2 14 3 x y+ = APQ BPQ∠ = ∠ PA PB ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA k PB k− APl 3( 1) 2y k x= − +则 ，同理： ， 则 ， ， 又∵ ， ， 则 ∴ （定值） 20．【山东省枣庄市 2019 届期末】已知椭圆퐶：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（푎 > 푏 > 0）的左、右焦点分别为퐹1,퐹2，过点퐹2 的直线푙交퐶于퐴，퐵两点， △ 퐴퐵퐹1的周长为20， 퐶的离心率푒 = 4 5. （Ⅰ）求퐶的方程； （Ⅱ）设点퐷 (41 8 ，0)，过点퐴作푦轴的垂线푙′，试判断直线푙′与直线퐵퐷的交点是否恒在一条定直线上？若是， 求该定直线的方程；否则，说明理由. 【解析】（I）由椭圆的定义， △ 퐴퐵퐹1的周长为20，即 4a=20，解得 a=5，又椭圆퐶的离心率푒 = 푐 푎 = 4 5，解得 c=4，所以푏2 = 푎2 ― 푐2 = 9 ，所以椭圆方程푥2 25 + 푦2 9 = 1； （II）显然过点퐹2(4,0)的直线 l 不垂直 y 轴，设 l：x=my+4，퐴(푥1,푦1),퐵(푥2,푦2) ，联立{푥 = 푚푦 + 4 푥2 25 + 푦2 9 = 1 ，得(9푚2 +25)푦2 +72푚푦 ― 81 = 0 ，韦达定理：푦1 + 푦2 = ― 72푚 9푚2 + 25,푦1 ⋅ 푦2 = ― 81 9푚2 + 25 ，直线푙′的方程为푦 = 푦1 直线 BD 的方程为：푦 = 푦2 푥2 ― 41 8 (푥 ― 41 8 ) ，解得푥 = 41 8 + 푦1(푥2 ― 41 8 ) 푦2 ，又点퐵(푥2,푦2)在直线 l 上，所以푥2 = 푚푦2 +4 再 带 入 解 得 푥 = 41 8 + 푚푦1푦2 ― 9 8푦1 푦2 ， 又 푦1 + 푦2 = ― 72푚 9푚2 + 25,푦1 ⋅ 푦2 = ― 81 9푚2 + 25， 代 入 解 得 푥 = 41 8 + ( ) ( )2 2 2 2 2 2 3( 1) 2 4 3 8 12 4 12 3 0 14 3 y k x k x k k x k k x y  = − + ⇒ + − − + − − =  + = 2 1 2 8 121 4 3 k kx k −+ = + 2 2 2 8 121 4 3 k kx k ++ = + 2 1 2 2 8 6 4 3 kx x k −+ = + 1 2 2 24 4 3 kx x k −− = + ( )1 1 31 2y k x= − + ( )2 2 31 2y k x= − − + ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 3 31 12 2 AB k x k xy yk x x x x  − + − − − + −  = =− − ( )1 2 1 2 2k x x k x x + −= − 2 2 2 8 6 2 12 14 3 24 24 2 4 3 AB kk kkk k k −⋅ − −+= = =− − +― 81푚 9푚2 + 25 + 9 8(푦2 + 72푚 9푚2 + 25 ) 푦2 = 25 4 (与 m 无关)，故直线푙′与直线 BD 的交点恒落在直线푥 = 25 4 上.