填空题限时强化训练测试三
1. 【晋冀鲁豫名校 2019 届期末联考】已知数列{푎푛}的前푛项和为푆푛, 푎1 = 푎, 푎푛+1 = 푆푛 + 3푛,若푎푛+1 ≥ 푎푛对∀푛
∈ 푁∗成立,则实数푎的取值范围是______________.
【答案】[ ― 9, + ∞)
【解析】据题意,得:푆푛+1 ― 푆푛 = 푆푛 + 3푛, ∴ 푆푛+1 = 2푆푛 + 3푛, ∴ 푆푛+1 ― 3푛+1 = 2(푆푛 ― 3푛).又푆1 ― 31 = 푎 ―
3, ∴ 푆푛 ― 3푛 = (푎 ― 3) ⋅ 2푛―1.当푛 = 1时,푎1 = 푎;当푛 ≥ 2时:푎푛 = 푆푛 ― 푆푛―1 = 3푛 +(푎 ― 3) × 2푛―1 ― 3푛―1
― (푎 ― 3) × 2푛―2 = 2 × 3푛―1 +(푎 ― 3) × 2푛―2, ∴ 푎푛+1 ― 푎푛 = 4 × 3푛―1 +(푎 ― 3) × 2푛―2.又当푛 ≥ 2时,푎푛+1
≥ 푎푛恒成立, ∴ 푎 ≥ 3 ― 12 × (3
2)푛―2
对∀푛 ∈ 푁∗,且푛 ≥ 2成立, ∴ 푎 ≥ ―9.又푎2 = 푎1 +3, ∴ 푎2 ≥ 푎1成立.综
上,所求实数푎的取值范围是[ ― 9, + ∞).
【用到方法】直接法
2. 【安徽省江南十校 2019 届 3 月综合素质检测】 已知点퐴,퐵,퐶在半径为 2 的球푂的球面上,且푂퐴,
푂퐵,푂퐶两两所成的角相等,则当三棱锥푂 ― 퐴퐵퐶的体积最大时,平面퐴퐵퐶截球푂所得的截面圆的面积为
_______.
【答案】8휋
3
【解析】由题意知:三棱锥푂 ― 퐴퐵퐶为正三棱锥,如图所示:퐷为퐵퐶中点,푂퐺 ⊥ 平面퐴퐵퐶,且퐺为훥퐴퐵퐶的
重心设퐴퐵 = 푥,则퐴퐺 = 2
3퐴퐷 = 2
3 × 3
2 푥 = 3
3 푥, ∴ 푂퐺 = 푂퐴2 ― 퐴퐺2 = 4 ― 1
3푥2,푉푂―퐴퐵퐶 = 1
3 × 3
4 푥2 ⋅ 4 ― 1
3푥2 =
1
12 푥4(12 ― 푥2),令푡 = 푥2 ∈ (0,12) ⇒푔(푡) = 푡2(12 ― 푡) ⇒푔′(푡) = ―3푡2 +24푡,令푔′(푡) = 0,解得:푡 = 8,
且푡 ∈ (0,8)时,푔(푡)单调递增;푡 ∈ (8,12)时,푔(푡)单调递减, ∴ 푥2 = 푡 = 8时三棱锥푂 ― 퐴퐵퐶体积最大,此时퐴
퐺2 = ( 3
3 푥)2
= 8
3,平面퐴퐵퐶截球푂所得的截面圆的面积푆 = 휋 ⋅ 퐴퐺2 = 8
3휋,本题正确结果:8
3휋
【用到方法】构造函数法
3. (2020·全国高三专题练习)已知偶函数 ,其导函数为 ,当 时,
, ,则不等式 的解集为______.
( )( )Rf x x∈ ( )f x′ 0x >
( ) ( ) 2
1 0f x xf x x
′+ + > ( ) 15 25f = ( ) 2
1f x x
>【答案】
【解析】
令 ,当 时, ,
在 上单调递增.
因为 是偶函数,所以 是奇函数.
因为 ,所以 .
不等式 等价于 ,所以 或 ,解得 或 .
故答案为:
【用到方法】构造法
4. (2020·安徽高三月考)在 中,已知 ,若 ,则 周长的取值范
围为__________.
【答案】
【解析】
由题意, ,即 ,
可化为 ,即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
设 的内角 的对边分别为 ,
由余弦定理得, ,
因为 ,(当且仅当 时取“=”),
所以 ,即 ,
又因为 ,所以 ,
故 ,则 ,
( ) ( ), 5 5,−∞ − +∞
( ) ( ) 1g x xf x x
= − 0x > ( ) ( ) ( ) 2
1 0g x f x xf x x
′ ′= + + >
( )g x ( )0, ∞+
( )f x ( )g x
( ) 15 25f = ( ) ( ) 15 5 5 05g f= − =
( ) 2
1f x x
> ( )
0g x
x
> ( )
0,
0
x
g x
>
> ( )
0,
0
x
g x
2 4 3a b c a+ + > =
4 3 4 2 3a b c< + + ≤ +
ABC∆ (4 3,4 2 3+
( )f x ( ) ( )
11f x f x
− = [ ]1 0x∈ − , ( ) 2f x x= [ ]1 3− ,
( ) ( ) ( )log 2ag x f x x= − + a
( )3 5,
( )f x 1( 1) ( )f x f x
− = 2[ 1,0] f ( )x x x∈ − =时,
1( 2) ( 1 1) ( )( 1)f x f x f xf x
∴ − = − − = =−
∴ ( )f x 2 [ 1,3]−
( )( ) ( ) log 2ag x f x x= − + 3 ( )f x ( )log 2ay x= + [ 1,3]− 3
0 1a< < 1a > ( )log 2 1a x + ≤ ( )3 5, ( )3 5 .,
( ) ( )π3sin 06f x xω ω = − >
( ) ( )2cos 2 1g x x ϕ= + +
π0, 2x ∈
( )f x
3 ,32
− 即 ,所以
又因为 ,所以 ,
当 时, ;
当 时, .
故答案为:
【用到方法】数形结合
7. (2020·黑龙江高三)已知 为直线 上的不同三点, 为 外一点,存在实数 ,
使得 成立,则 的最小值为__________.
【答案】16
【解析】
∵ 为直线 上的不同三点,且 ,
∴ ,又 ,
∴ ,
当且仅当 即 时等号成立,
∴ 的最小值为 16,
故答案为:16
【用到方法】特例法
8. (2020·山西高三期末)已知数列 满足 ,数列 的前 项和
,则数列 的前 n 项和 ___________.
【答案】
【解析】
2ω = ( ) ( )π3sin 2 06f x x ω = − >
π0, 2x ∈
π π 5π2 ,6 6 6x − ∈ −
π π2 6 6x − = − ( )min
3
2f x = −
π π2 6 2x − = ( )max 3f x =
3 ,32
−
, ,A B C l O l ( ), 0, 0m n m n> >
4OC mOA nOB= + 1 4
m n
+
, ,A B C l 4OC mOA nOB= +
4 1m n+ = 0, 0m n> >
( )1 4 1 4 164 8 8 2 16 16n mm nm n m n m n
+ = + + = + + ≥ + =
16n m
m n
= 14 2n m= =
1 4
m n
+
{ }na ( )1 23 2 1 2na a n a n+ +⋅⋅⋅+ − = { }nb n
2 2nS n n= + n
n
a
b
nT =
2
2 1
n
n +因为 ①
故当 时,
②
由①-②可得:
又当 时, 满足题意,故
因为
故当 时,
又当 时, ,
故 ,
故
故答案为: .
【用到方法】直接法
( )1 23 2 1 2na a n a n+ +⋅⋅⋅+ − =
2n ≥
( ) ( )1 2 13 2 3 2 1na a n a n−+ + − = −
2
2 1na n
= −
1n = 1
22 2 1a = = − ( )2 12 1na nn
= ≥−
2 2nS n n= +
1n > ( ) ( )22
1 2 1 2 1 2 1n n nb S S n n n n n−= − = + − − − − = +
1n = 1 1 3 2 1 1 b s= = = × +
2 1nb n= + ( )( )
2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
n
n
a
b n n n n
= = −− + − +
1 1 1 1 1 1 21 13 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1n
nT n n n n
= − + − + + − = − =− + + +
2
2 1
n
n +