选择题限时强化训练测试二
1. 已知双曲线x2
a2+y2
b2=1,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为 1:2
的两部分,则双曲线的离心率为( )
A. 3 B.2 3
3
C. 5 D. 5
2
[答案] B
[解析] 由条件知∠OAB=120°,从而∠BOA=30°,
∴b
a= 3
3 ,∴c2-a2
a2 =1
3,∴e2=4
3,∵e>1,∴e=2 3
3 .
【方法】直接法
2. 【广西三市 2019 年 3 月联合调研】 已知퐴,퐵,퐶为椭圆푥2
2 + 푦2 = 1上三个不同的点,푂为坐标原点,若푂퐴 +
푂퐵 + 푂퐶 = 0,则훥퐴퐵퐶的面积为( )
A.3 3
8 B. 6
3 C.3 6
4 D.3 6
2
【答案】C
【解析】设直线퐴퐵:푦 = 푘푥 + 푚,与椭圆方程联立可得(2푘2 + 1)푥2 +4푘푚푥 +2(푚2 ― 1) = 0, 푥1 + 푥2 = ― 4푘푚
2푘2 + 1,
푥1푥2 = 2(푚2 ― 1)
2푘2 + 1
,푦1 + 푦2 = 푘(푥1 + 푥2) +2푚 = 2푚
2푘2 + 1,设퐶(푥3,푦3),则푥3 = ― (푥1 + 푥2) = 4푘푚
2푘2 + 1,푦3 = ―
(푦1 + 푦2) = ―2푚
2푘2 + 1,代入푥2
2 + 푦2 = 1得1 + 2푘2 = 4푚2, |퐴퐵| = 1 + 푘2|푥1 ― 푥2|,푑 =
|푚|
1 + 푘2,于是훥푂퐴퐵 = 1
2|퐴퐵|
⋅ 푑 = 1
2|푚| ( 4푘푚
1 + 2푘2)2
― 4 ⋅ 2(푚2 ― 1)
1 + 2푘2 = 2|푚|
1 + 2푘2 ⋅ 1 + 2푘2 ― 푚2 = 2|푚|
4푚2 ⋅ 3푚2 = 6
4 , ∴ 푆훥퐴퐵퐶 = 3푆훥푂퐴퐵 = 3 6
4 ,故
选 C.
【用到方法】直接法
3.(2020·安徽高三月考)函数 的图像大致为( ).2 2
cos
x x
y x x
−−= −A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
对于选项 D:由题意可得, 令函数 ,
则 , ;
即 .故选项 D 排除;
对于选项 C:因为 ,故选项 C 排除;
对于选项 B:当 ,且 无限接近于 0 时, 接近于 , ,此时 .故选项 B
排除;
故选项:A
用到方法:排除法
( )f x = 2 2
cos
x x
y x x
−−= −
5 5
2 25 2 2
52
2
f
π π
π
π
− − − =
5 5
2 25 2 2
52
2
f
π π
π
π
−− =
5 5
2 2f f
π π − = −
5 5
2 25 2 2 052
2
f
π π
π
π
−− = >
0x > x cosx x− 1 0− < 2 2 0x x−− > ( ) 0f x 10 1m
< < 2( 1)y mx= −
1[ ,1]m
2( 1) 1 3m m m− ≥ + ⇒ ≥
( )( )sin 4 0 2y x ϕ ϕ π= + < < ,012
π
ϕ =
2
3
π 5
3
π
3
π 4
3
π 5
6
π 11
6
π
6
π 7
6
π
( )( )sin 4 0 2y x ϕ ϕ π= + < < ,012
π
( )4 12 k k Z
π ϕ π× + = ∈ 0 2ϕ π< < 1k = 2
3
ϕ π= 2k = 5= 3
ϕ π
( ) , 0
1 1, 02
x x
f x
x x
>= + ≤
m n< ( ) ( )f m f n= n m−
(1,2] [1,2) (0,1] [0,1)
0x ≤ 1( ) 12f x x= + ( ) ( ,1]f x ∈ −∞ ( 2) 0f − =
0x > ( )f x x= ( ) (0, )f x ∈ +∞ (1) 1f =
m n< ( ) ( )f m f n= 2 0 1m n− < ≤ < ≤
( ) ( )f m f n t= = (0,1]t ∈, .
所以 .
所以 .
由 ,可得 .
故选:B.
【用到方法】排除法
9.现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值
为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当正方体的下底面在半球的大圆面上,上底面的四个顶点在球的表面上时,所得工件体积与原材
料体积之比选项取得最大值,此时设正方体的棱长为 ,则球的半径为 ,所以
所求体积比为 ,故选 A.
【用到方法】特例法.
10. (2020·广东高三月考(理))17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,
一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄
金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为
的等腰三角形(另一种是顶角为 的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,
如图所示,在其中一个黄金 中, .根据这些信息,可得 ( )
1( ) 12f m m t= + = ( )f n n t= =
22 2,m t n t= − =
2 22 2 ( 1) 1n m t t t− = − + = − +
(0,1]t ∈ [1,2)n m− ∈
6
3π
6
6π
3 2
8π
3 2
4π
a 2 22 6( )2 2R a a a= + =
3
3
6
31 4 6( )2 3 2
a
a
ππ
=
×
36°
108°
ABC∆ 5 1
2
BC
AC
−= sin 234° =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知 ,且 , ,
则 .
【用到方法】估算法.
11.若对 ,有 ,则函数 在 上
的最大值与最小值的和为( )
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】对 ,有 ,令 ,有
,令 ,有 ,则 ,
令 ,则 ,则 为奇函数,又设函数 , 为奇函
数,则 ,而 为奇函数,由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最
大值与最小值互为相反数,则 的最大值与最小值之和为 6.选 B.
【用到方法】直接法.
12. 【晋冀鲁豫名校 2019 届期末】已知函数푓(푥) = {푥3 ― 3푥 ― 푡, 푥 ≥ 0
22―|푥+1| ― 푡, 푥 < 0 有且只有 3 个零点,则实数푡的取值
范围是( )
A.( ― 2,0] B.(0,2) C.(2,4) D.( ― 2,4)
1 2 5
4
− 3 5
8
+− 5 1
4
+− 4 5
8
+−
72ACB∠ = °
1
5 12cos72 4
BC
AC
−° = = 2 5 1cos144 2cos 72 1 4
+° = °− = −
( ) 5 1sin 234 sin 144 90 cos144 4
+° = °+ ° = ° = −
, Rx y∀ ∈ ( ) ( ) ( ) 3f x y f x f y+ = + − ( ) ( )2
2
1
xg x f xx
= ++ [ ]2017,2017−
, Rx y∀ ∈ ( ) ( ) ( ) 3f x y f x f y+ = + − 0x y= =
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 3, 0 3f f f f= + − = y x= − ( ) ( ) ( )0 3f f x f x= + − − ( ) ( ) 6f x f x+ − =
( ) ( ) 3h x f x= − ( ) ( ) 0h x h x+ − = ( )h x ( ) 2
2
1
xx x
ϕ = + ( )xϕ
( ) ( ) ( ) 3g x x h xϕ= + + ( ) ( )x h xϕ +
( )g x【答案】C
【解析】令푓(푥) = 0,得푡 = {푥3 ― 3푥, 푥 ≥ 0
22―|푥+1|, 푥 < 0 ,作出函数푦 = {푥3 ― 3푥, 푥 ≥ 0
22―|푥+1|, 푥 < 0 的图象,据题设分析可知,函数
푦 = 푡的图象与函数푦 = {푥3 ― 3푥, 푥 ≥ 0
22―|푥+1|, 푥 < 0 的图象有且只有三个交点,则实数푡的取值范围是(2,4).
【用到方法】数形结合法.