中考数学复习专题讲与练等腰三角形、直角三角形

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 等腰三角形、直角三角形 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1 如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，则∠A 的度数是（　　） A．70°　　B．55°　　C．50°　　D．40° 例 2 已知等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则这个等腰三角形的周长为（　　） 　 A．16 B．20 或 16 C．20 D．12天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3 已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CE=CD=1，连接 DE，则 DE＝ ． 例 4 如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． (1)求证：BE＝CE； (2)若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BF⊥AC，垂足为 F，如图 2，∠BAC＝45°，原题设其它 条件不变． 求证：△AEF≌△BCF． A 组 1、若等腰三角形的一个内角为 50°，则这个等腰三角形顶角的度数为 . 2．在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 边上一点，且 BD＝BC＝AD．则∠A 等于（ ） A．30° B．36° C．45° D．72° 3. 已知：如图，AC 和 BD 相交于点 O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD 4. 如图，已知 P、Q 是△ABC 边 BC 上两点，且 BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC 的度数。 5.已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C，D、E、F 分别为 AB，BC，AC 上的点，且 BD=CE，∠DEF= A B CD E ( 图 1) A B CD E F (图 2)天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∠B。 求证：△DEF 是等腰三角形。 6.若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形的形状是 ． 7.在直角三角形中，若一锐角为 30°，而斜边与 30°角所对的边的和为 15cm，则斜边的长 为（ ） A、3cm B、 7.5cm C、10cm D、12cm 8.如图，已知△ABC 为等边三角形，D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且△DEF 是等边三角 形 （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。 （2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。 9.已知：如图，网格中的小正方形的边长均为 1，△ABC 的三个顶点在格点上。 求证：△ABC 是等腰直角三角形。 B 组 10．如图，在△ABC 中， ， ，BD、CE 分别是△ABC、△BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ） A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个 11．如图，已知 OA＝ ，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射线 ON 上运动），∠AON＝600， 填空： （1）当 OP＝ 时，△AOP 为等边三角形； （2）当 OP＝ 时，△AOP 为直角三角形； B C A a天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （3）当 OP 满足 时，△AOP 为锐角三角形； （4）当 OP 满足 时，△AOP 为钝角三角形。 12.如图， 中， 于 一定能确定 为直角三角形的条件的个数是 （ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1　 B．2 ．3 D．4 13.数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线 AN(如图)，让同学们在直线 l 和射线 AN 上各找一点 B 和 C，使得以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多 能画 个． 14.如图， 是等边三角形 的外接圆， 的半径为 2， 则等边三角形 的边长为（） A． B． C． D． a 060 第 4 题图 NPO A ABC△ CD AB⊥ D， ABC△ 1 A∠ = ∠ ， CD DB AD CD = ， 2 90B∠ + ∠ = °， 3 4 5BC AC AB =∶ ∶ ∶∶ ， AC BD AC CD=· · 2 1 2 C D BA天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C 组 15．一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A．7 B．9 C．12 D．9 或 12 16．已知等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的顶角为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 17．如图，在等腰三角形 中， ， ， 为底边 上一动点（不与 点 重合）， ， ，垂足分别为 ，求 的长． 18.如图，在等腰 中， ，F 是 AB 边上的中点，点 D、E 分别 在 AC、BC 边上运动，且保持 ．连接 DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列 结论： ① 是等腰直角三角形； ②四边形 CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为 4； ④四边形 CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为 8． 其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤ 19．在 中，AC=BC， ，点 D 为 AC 的中点． （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF，连 结 CF，过点 F 作 ，交直线 AB 于点 H．判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明． （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中 ACB 5AC BC= = 8AB = D AB A B， DE AC⊥ DF BC⊥ E F， DE DF+ A B C D E F Rt ABC△ 90 8C AC∠ = =°， AD CE= DFE△ C E BA F D ABC△ 90ACB∠ = ° FH FC⊥天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明． 等腰三角形、直角三角形 例 1 【答案】：D． 【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得 ∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选 D. 【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等 角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为 180°. 例 2 ：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析：因为已知长度为 4 和 8 两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨 论． 解答：解：①当 4 为底时，其它两边都为 8， 4、8、8 可以构成三角形， 周长为 20； H F 图2图1 H F E BC D A E D BC A天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ②当 4 为腰时， 其它两边为 4 和 8， ∵4+4=8， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有 20． 故选 C． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一 定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答， 这点非常重要，也是解题的关键． 例 3 【答案】错误！未找到引用源。． 【解析】根据等边三角形的性质，易知∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，BD⊥AC，所以 BC＝2CD ＝2，∠E＝∠CDE＝错误！未找到引用源。∠ACB＝30°，从而有 BD＝错误！未找到引用源。＝ 错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，∠DBC＝∠E＝30°，所以 DE＝BD＝错误！ 未找到引用源。． 【方法指导】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．上面解法的求解 关键是发现 DE＝DB，将问题转化为在 Rt△BCD 中求 DB．求 DB 时，还可根据 tan∠CBD＝错 误！未找到引用源。直接求解．另外，也可以过点 C 作 CF⊥DE，根据 DE＝2EF，将问题转化 为求 EF，这又可以通过在 Rt△CEF 中运用勾股定理或锐角三角函数求解． 例 4 【思路分析】(1)证△ABE≌△ACE 即可． (2)△AEF 和△BCF 已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC＝45° 可知 ABF 为等腰直角三角形，于是找到对应边 AF，BF 相等． 【解】证明：(1)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴∠BAE＝∠CAE． 在△ABE 和△ACE 中， ∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE， △ABE≌△ACE． ∴BE＝CE． (2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF， ∴△ABF 为等腰直角三角形．∴AF＝BF． 由(1)知 AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF． 在△AEF 和△BCF 中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF， ∴△AEF≌△BCF． 【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：SAS、 ASA、AAS、SSS 和 HL（HL 为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的 证明中有较广泛的应用. 1、【答案】50°或 80° 2．【答案】B 3. 证明：∵AB∥CD （已知）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等） ∵OA=OB （已知） ∴∠A=∠B （等边对等角） ∴∠C=∠D （等量代换） ∴OC=OD （等角对等边） 4. 【答案】 解：∵AP=PQ=AQ（已知） ∴△APQ 是等边三角形（等边三角形的定义） ∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质） ∵AP=BP（已知） ∴∠PBA=∠PAB（等边对等角） 又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60° ∴∠PBA=∠PAB=30° 同理∠QAC=30° ∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120° 5. 【答案】 证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理） ∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质） ∠B=∠DEF（已知） ∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等） 在△BED 和△CFE 中 ∠BDE=∠FEC 中 （已证） BD=CE （已知） ∠B=∠C （已知） ∴△BED≌△CFE （ASA） ∴DE=EF （全等三角形对应边相等） ∴△DEF 是等腰三角形 （等腰三角形定义） 6. 【答案】直角三角形 7. 【答案】C 8. 【答案】解：（1）图中还有相等的线段 AE=BF=CD，AF=BD=CE （2）线段 AE、BF、CD 绕△ABC 的中心按顺时针方向旋转 120°互相得到线段。 AF、BD、CE 绕△ABC 的中心按顺时针方向旋转 120°互相得到。 9.【答案】通过勾股定理计算得到 AC= =BC 10．【答案】A 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 11．【答案】 （1） ；（2） 或 ；（3） ＜OP＜ ；（4）0＜OP＜ 或 OP＞ 12.【答案】C 13. 【答案】3 14. 【答案】C 15．【答案】C 16．【答案】C 17．．【答案】3 18.【答案】B 19．【答案】 解：（1）FH 与 FC 的数量关系是： ． … 1 分 证明：延长 交 于点 G， 由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF． ∴DG∥CB． ∵点 D 为 AC 的中点， ∴点 G 为 AB 的中点，且 ． ∴DG 为 的中位线． ∴ ． ∵AC=BC， ∴DC=DG． ∴DC- DE =DG- DF． H F 图2图1 H F E BC D A E D BC A a a2 2 a 2 a a2 2 a a2 FH FC= DF AB 1 2DC AC= ABC△ 1 2DG BC= 2 1 H GF E BC D A天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 即 EC =FG． ∵∠EDF =90°， ， ∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2． ∵ 与 都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH． ∴ CF=FH． （2）FH 与 FC 仍然相等． FH FC⊥ DEF△ ADG△