中考数学复习专题讲与练代几综合题—以代数为主的综合

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 代几综合题（以代数为主的综合） 知识梳理　 教学重、难点 作业完成情况 典题探究 例 1 已知抛物线 与 y 轴交于点 A（0，3），与 x 轴分别交于 B（1，0）、 C（5，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点, 求直线 DC 的解析式； （3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设为点 E），再到达 抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点 A，求使点 P 运动的总路径 最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长． 例 2 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 ，将直线 沿 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对 称轴交于 点，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线 距离相等的点的坐标． cbxaxy ++= 2 xOy 2 2 3y mx mx n= + + ( 3 5) (0 2)P A，， ， B AB y C OB OC BC， ，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（3，0），将直线 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B、C 两点． （1） 求直线 BC 及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ ACB，求点 P 的坐标； （3）连结 CD，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数． 例 4 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴的交点 分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求点 B 的坐标； (2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE. 以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运 动时，C 点、D 点也随之运动)  当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；  若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止运动，P 点也同 时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点 M，使得 FM=QF， 以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时，M 点，N 点也随之运 动)。若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求 此刻 t 的值. 2y x bx c= + + y kx= 234 5 4 1 22 +−++−−= mmxmxmy天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于点 A(－2，0)、 B(6，0)，与 y 轴交于点 C，直线 CD∥x 轴，且与抛物线交于点 D，P 是抛物线上一动 点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q，将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90 º），当 cosα= ，且旋转后点 P 的对应点 恰好落在 x 轴上时，求点 P 的坐标． 2．已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 A．C．D 均在坐标 轴上，且 AB=5，sinB= ． （1）求过 A．C．D 三点的抛物线的解析式； （2）记直线 AB 的解析式为 y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c，求当 y1＜ y2 时，自变量 x 的取值范围； （3）设直线 AB 与（1）中抛物线的另一个交点为 E，P 点为抛物线上 A、E 两点之间的一个动 点，当 P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值． x y O 1 1 3 5 'P 4 5天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3 ． 已 知 抛 物 线 的 最 低 点 A 的 纵 坐 标 是 3 ， 直 线 经过点 A，与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C. （1）求抛物线与直线 AB 的解析式. （2）将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，求 sin∠BDE 的 值. （3）过 B 点作 x 轴的平行线 BG,点 M 在直线 BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为 6，设点 N 在直线 BG 上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450 的点 N 的坐标. 4．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中， ， ，把△OAB 沿 轴的负方向平移 2OA 的长度后得到△DCE. （1）若过原点的抛物线 经过点 B、E，求此抛物线的解析式； （2）若点 在该抛物线上移动，当点 P 在第一象限内时，过点 作 轴于点 ，连 结 .若以 、 、 为顶点的三角形与以 B、C、E 为顶点的三角形相似，直接写出 点 的坐标； （3）若点 M(-4，n) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点 M 的对应点为 M′，点 B 的 对应点为 B′． 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 M′B′CD 的周长最短？若存 在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 的坐标是 ，过点 作直线垂直 轴，点 是直线上 异于点 的一点，且 .过点 作直线的垂线 ，点 在直线 上，且在直线的下方， .设点 的坐标为 . （1） 判断△ 的形状，并加以证明； （2） 直接写出 与 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3） 延长 交（2）中所求函数的图象于点 .求证： . ( ) ( ) 22 -43-2-3 mmxmxmy ++= bmxy += x P P xPQ ⊥ Q O P O P Q P A 0,2( ) A y B A ∠OBA = α B m C m ∠OCB = 2α C x,y( ) OBC y x CO D CD = CO⋅ DO 90OAB∠ = ° 32, 2OA AB= = 2 +y ax bx c= + AO x B CD y E天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ B 档（提升精练） 1．如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D． （1）b= ,c= ； （2）点 E 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作 x 轴的垂线 交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点 P，使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知矩形 ABCD 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 B（1， 0）、C（3，0）．直线 AC 与 y 轴交于点 G（0，6）．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P、Q 的运动速度均 为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． （1）求直线 AC 的解析式； （2）当 t 为何值时，△CQE 的面积最大？最大值为多少？ （3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使得以 C、Q、E、H 为顶点的四边形是菱形？ 2y x bx c= + + 备用图天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 3．如图，二次函数 的图象与 y 轴交于点 N，其顶点 M 在直线 上运 动，O 为坐标原点. （1）当 m＝－2 时，求点 N 的坐标； （2）当△MON 为直角三角形时，求 m、n 的值； （3）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(－4，2)，B(－4，－3)，C(－2，2)，当抛 物线 在对称轴左侧的部分与△ABC 的三边有公共点时，求 m 的取值范围. 4．如图，已知半径为 1 的 与 轴交于 两点， 为 的切线，切点为 ，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经过 两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线 的函数解析式； （3）线段 上是否存在一点 ，使得以 为顶点的三角形与 相似．若存在， 请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． P Q E y x A B D O C G A BO1 y x M O 21 2y x mx n= − + + 3 2y x= − 21 2y x mx n= − + + 1O x A B， OM 1O M 1O (2 0)， 2y x bx c= − + + A B， OM OM P P O A， ， 1OO M△ P天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 5．如图，二次函数 y=ax2+2ax+4 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，∠CBO 的正 切值是 2． (1)求此二次函数的解析式． (2)动直线 l 从与直线 AC 重合的位置出发，绕点 A 顺时针旋转，与直线 AB 重合时终止运 动，直线 l 与 BC 交于点 D，P 是线段 AD 的中点． ①直接写出点 P 所经过的路线长． ②点 D 与 B、C 不重合时，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E、作 DF⊥AB 于点 F，连接 PE、 PF，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化， 请说明理由． ③在②的条件下，连接 EF，求 EF 的最小值． 6．小明同学在研究某条抛物线 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平 面直角坐标系的原点 ，两直角边与该抛物线交于 、 两点，请你帮小明解答以下问题： （1）若测得 （如图 1），求 的值； （2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点 旋转到如图 2 所示位置时，过 作 轴于点 ，测得 ，写出此时点 的坐标，并求点 的横坐标； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 、 所连的线段 总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． C 档（跨越导练） 1． 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点（点 Ax y xBA C O 2 ( 0)y ax a= < O A B 2 2OA OB= = a O B BF x⊥ F 1OF = B A O A B 2 22 9y x mx m= − + −天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在点 B 的左侧，且 OA＜OB），与 y 轴的交点坐标为（0，－5）.点 M 是线段 AB 上的任 意一点，过点 M（a，0）作直线 MC⊥x 轴，交抛物线于点 C，记点 C 关于抛物线对称轴的 对称点为 D（C，D 不重合），点 P 是线段 MC 上一点，连结 CD，BD，PD. （1）求此抛物线的解析式； （2）当 时，问点 P 在什么位置时，能使得 PD⊥BD； （3）若点 P 满足 ，作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E，问是否存在这样的点 E，使得 PE=PD，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 . （2）求点 的坐标（用含 的代数式表示）； （3）直线 与抛物线交于 、 两点，点 在抛物线的对称轴左侧. ①若 为直线 上一动点，求△ 的面积； ②抛物线的对称轴与直线 交于点 ，作点 关于直线 的对称点 . 以 为圆心， 为半径的圆上存在一点 ，使得 的值最小，则这个最小值为 . 3．已知二次函数 （ ）的图象经过点 ， ， ，直线 （ ）与 轴交于点 D． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 （ ）上有一点 （点 在第四象限），使得 为顶点的三 角形与以 为顶点的三角形相似，求 点坐标（用含 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？ 若存在，请求出 的值及四边形 的面积；若不存在，请说明理由． 4．如图，经过原点的抛物线 与 轴的另一个交点为 A.过点 作 2y ax bx c= + + 0a ≠ (10)A ， (2 0)B ， (0 2)C −， x m= 2m > x x m= 2m > E E E D B、 、 A O C、 、 E m F ABEF m ABEF 1a = 1 4MP MC= xOy 2 22y x mx m m= − + + C C m 2y x= + A B A P OC APB AB M B MC 'B M MC Q 2' 2QB QB+ 2 2 ( 0)y x mx m= − + > x (1, )P m天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 直线 轴于点 M，交抛物线于点 B.记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（B、C 不重 合）.连结 CB,CP。 （1）当 时，求点 A 的坐标及 BC 的长； （2）当 时，连结 CA，问 为何值时 ？ （3）过点 P 作 且 ，问是否存在 ，使得点 E 落在坐标轴上？若存在， 求出所有满足要求的 的值，并定出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由. 5．如图，已知平面直角坐标系 xOy，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 过点 A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线 l，设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限，点 P 关于直线 l 的对称点为 E，点 E 关于 y 轴的对称点为 F，若四边形 OAPF 的面积为 20，求 m、n 的 值. 6．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 与 轴、 轴分别交于点 A 和点 B(0,-1)，抛物线 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n)． (1) 求 的值和抛物线的解析式； (2) 点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0< t m CA CP⊥ PE PC⊥ PE PC= m m x y 第24题图 M CB A o P 3 4y x m= + x y 21 2y x bx c= + + n天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 直接写出点 A1 的横坐标． 7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A ，B（6，0），C ，延长 AC 到点 D，使 CD= AC，过 D 点作 DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E. （1）求 D 点的坐标； （2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 将四 边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点， 再沿 GA 到达 A 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短. （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明） 成长足迹 ( 6,0)− (0,4 3) 1 2 y kx b= + y kx b= +天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 课后检测 垂直于弦的直径答案 典题探究 例 1. 例 2. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3. 例 4. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1． 解：连接 OC， ∵CD⊥AB，CD=8， ∴PC=CD=×8=4， 在 Rt△OCP 中， ∵PC=4，OP=3， ∴OC= = =5． 故选 C． 　 2． 解：连接 AC，AO， ∵⊙O 的直径 CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当 C 点位置如图 1 所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM= = =3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC= = =4 cm； 当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5﹣3=2cm， 在 Rt△AMC 中，AC= = =2 cm． 故选 C．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 3． 解：根据甲的思路，作出图形如下： 连接 OB， ∵BC 垂直平分 OD， ∴E 为 OD 的中点，且 OD⊥BC， ∴OE=DE=OD，又 OB=OD， 在 Rt△OBE 中，OE=OB， ∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°， ∴∠BOE=60°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA， 又∠BOE 为△AOB 的外角， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°， 同理∠C=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC 为等边三角形， 故甲作法正确； 根据乙的思路，作图如下： 连接 OB，BD， ∵OD=BD，OD=OB， ∴OD=BD=OB， ∴△BOD 为等边三角形， ∴∠OBD=∠BOD=60°， 又 BC 垂直平分 OD，∴OM=DM，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴BM 为∠OBD 的平分线， ∴∠OBM=∠DBM=30°， 又 OA=OB，且∠BOD 为△AOB 的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°， 同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC， ∴△ABC 为等边三角形， 故乙作法正确， 故选 A 　 4． 解：根据垂线段最短知，当 OM⊥AB 时，OM 有最小值， 此时，由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点， 连接 OA，AM=AB=4， 由勾股定理知，OM=3． 故选 B． 　 5． 解：∵⊙O 的直径 AB⊥弦 CD， ∴CE=DE． 故选 B． 　 6． 解：如图：①以 AB 为底边， 过点 O 作弦 AB 的垂线分别交⊙O 于点 P1、P2， ∴AP1=BP1，AP2=BP2， 故点 P1、P2 即为所求． ②以 AB 为腰， 分别以点 A、点 B 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交⊙O 于点 P3、P4， 故点 P3、P4 即为所求． 共 4 个点． 故选 D．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 7． 解：作 OD⊥AB 于 D，连接 OA． 根据题意得 OD=OA=1cm， 再根据勾股定理得：AD= cm， 根据垂径定理得 AB=2 cm． 故选 C． 　 8． 解：由垂径定理知，OC 垂直平分 AB，即 OC 与 AB 互相垂直平分，所以四边形 OACB 是菱形． 故选 C． 　 9． 解：AB=8cm，AC=6cm， ∴AD=4，AE=3， ∵四边形 OEAD 是矩形， ∴OA=5． 故选 B． 　 10． 解：若是圆心则 C 中最长的弦与最短的弦是同一条，所以只有 C 正确． 故选 C． B 档（提升精练） 11． 解：作 OG⊥EF，连接 OD， ∴G 为 CD 中点，又 CD=8cm， 则 DG=CD=4cm． 又 AB=10cm， ∴OD=AB=5cm， 所以 OG= =3cm． 根据梯形中位线定理，得 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为 3×2=6（cm）．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故选 D． 　 12． 解：AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 垂足为 E，则 AB 是垂直于弦 CD 的直径，就满 足垂径定理． 因而 CE=DE， ，∠BAC=∠BAD 都是正确的． 根据条件可以得到 AB 是 CD 的垂直平分线，因而 AC=AD．所以 D 是错误的． 故选 D． 　 13． 解：如图，延长 ME 交⊙O 于 G， ∵E、F 为 AB 的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°， ∴FN=EG， 过点 O 作 OH⊥MG 于 H，连接 MO， ∵⊙O 的直径 AB=6， ∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1， OM=×6=3， ∵∠MEB=60°， ∴OH=OE•sin60°=1× = ， 在 Rt△MOH 中，MH= = = ， 根据垂径定理，MG=2MH=2× = ， 即 EM+FN= ． 故答案为： ． 　 14． 解：过 O 点作 OH⊥EF 于 H，连 OF，如图 则 EH=FH， 在 Rt△AOH 中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°， 则 OH=OA=4， 在 Rt△OHF 中，OH=4，OF=5，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 则 HF= =3， 则 EF=2HF=6cm． 故答案为 6． 　 15． 解：∵MN=20， ∴⊙O 的半径=10， 连接 OA、OB， 在 Rt△OBD 中，OB=10，BD=6， ∴OD= = =8； 同理，在 Rt△AOC 中，OA=10，AC=8， ∴OC= = =6， ∴CD=8+6=14， 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′，则 AB′即为 PA+PB 的最小值，B′D=BD=6， 过点 B′作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E， 在 Rt△AB′E 中， ∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14， ∴AB′= = =14 ． 故答案为：14 ． 　 16． 解：连接 OA， ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AE=AC=×6=3（cm），AD=AB=×8=4（cm），∠OEA=∠ODA=90°， ∵AB、AC 是互相垂直的两条弦， ∴∠A=90°， ∴四边形 OEAD 是矩形， ∴OD=AE=3cm， 在 Rt△OAD 中，OA= =5cm．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故答案为：5cm． 　 17． 解：圆弧所在圆的圆心是 AB 与 BC 的垂直平分线的交点． AB 的垂直平分线是 x=﹣1，点 B 的坐标是（1，5），C 的坐标是（4，2）， BC 的垂直平分线与 x=﹣1 的交点的纵坐标是 0， 因而该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，0）． 　 18． 解：因为∠ABE=90，故 AE 为直径，A、O、E 共线； ∵AE 是直径，∴OD 是△ACE 的中位线， ∴OD∥=CE，∴∠C=∠ODA． 又∵∠OAD=∠ODA， ∴∠C=∠OAD， ∴AE=CE． 　 19． 解：这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线 CD，根据对称的性质，得 AF=BE 或 CF=CE 或 AC=BC． 　 20． 解：方法一：连接 BD． ∵AB 是⊙O 直径， ∴BD⊥AD． 又∵CF⊥AD， ∴BD∥CF， ∴∠BDC=∠C． 又∵∠BDC=∠BOC， ∴∠C=∠BOC．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵AB⊥CD， ∴∠C=30°， ∴∠ADC=60°． 方法二：设∠D=x， ∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A， ∴△AFO∽△AED， ∴∠D=∠AOF=x， ∴∠AOC=2∠ADC=2x， ∴x+2x=180， ∴x=60， ∴∠ADC=60°． C 档（跨越导练） 21． （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵AC∥DF， ∴∠F=∠ACB ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，即 BC=EF ∴△ABC≌△DEF， ∴AB=DE； （2）解：过点 O 作 OG⊥AP 于点 G，连接 OF，（4 分） ∵DB=10cm， ∴OD=5cm， ∴AO=AD+OD=3+5=8（cm）， ∵∠PAC=30°， ∴OG=AO=×8=4（cm）（5 分） ∵OG⊥EF， ∴EG=GF，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵GF= =3（cm）， ∴EF=6（cm）．（7 分） 　 22． 解：连接 OA 交 BC 于点 D，连接 OC，OB， ∵AB=AC=13， ∴ = ， ∴∠AOB=∠AOC， ∵OB=OC， ∴AO⊥BC，CD=BC=12 在 Rt△ACD 中，AC=13，CD=12 所以 AD= 设⊙O 的半径为 r 则在 Rt△OCD 中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r 所以（r﹣5）2+122=r2 解得 r=16.9． 答：⊙O 的半径为 16.9． 　 23． 解：（1）∵OM=ON，∠MON=60° ∴△MON 是等边三角形 ∴MN=ON=4 （2）作 OH⊥MN 于 H 点，∴MH=MN=2 y=S△PMN= 4x，即 y=2x 在 Rt△OHM 中，OH2=OM2﹣MH2 ∴OH=2 ∴0＜x≤4+2 （3）△OMN 的面积 S=4天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令 y=s，即 2x=4 ∴x=2 当 x=2 时，y=s 当 0＜x＜2 时，y＜s 当 2 时，y＞s． 　 24． 证明：连接 BE，CD， 则∠BDC=∠CEB=90°． ∵BD=CE， ∴弧 BD=弧 CE． ∴∠EBC=∠DCB． ∵BC=CB， ∴△BEC≌△CDB．（AAS） ∴∠ABC=∠ACB． ∴AB=AC． 　 25． 证明：从 O 向 AB 引垂线，交点为 E， 则根据垂径定理可知 AE=BE ∵AC=BD， ∴CE=DE． ∴OE 是 CD 的垂直平分线． 所以 OC=OD． ∴△OCD 为等腰三角形． 　 26． 解：（1）作 OD⊥BC 于 D，由垂径定理知，点 D 是 BC 的中点，BD=BC，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵OB=AB=5，OD=4， 由勾股定理得，BD= =3， ∴BC=2BD=6cm； （2）设经过 t 秒后，△BPC 是等腰三角形， ①当 PC 为底边时，有 BP=BC，10﹣t=6，解得：t=4（秒）； ②当 BC 为底边时，有 PC=PB，P 点与 O 点重合，此时 t=5（秒）； ③当 PB 为底边时，有 PC=BC，连接 AC，作 CE⊥AB 于 E， 则 BE= ，AE= ， ∵AB 是直径， ∴△ABC 是直角三角形， 根据勾股定理 AC= = =8， 由 AC2﹣AE2=BC2﹣BE2， 64﹣（ ）2=36﹣（ ）2， 解得：t=2.8（秒）． 综上，经过 4 秒或 5 秒或 2.8 秒时，△BPC 是等腰三角形． 　 27． （1）证明：∵AB=DC，AC=DB， ∴四边形 ABDC 是平行四边形； （2）解：连接 AE， ∵A（ ，0）为圆心作⊙A，⊙A 与 x 轴相交于点 B，C，与 y 轴相交于点 D，E， 且 C 点坐标为（ ，0）． ∴OA= ，OC=3 ， ∴圆的半径长是：3 ﹣ =2 ， 在直角△OAE 中，OE= = =3， ∵OA⊥DE，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴DE=2OE=6． 28． 解：（1）连 OA，OC，如图， ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=AB，CN=CD， 在 Rt△AOM 中，AM= ， 在 Rt△CON 中，CN= ， ∵OA=OC，OM=ON， ∴AM=CN， ∴AB=CD； （2）分别过 O 点作△ABC 三边的垂线，垂足分别为点 P、M、N，连 OA、OC，如图， ∵O 为△ABC 的内心， ∴OP=OM=ON， ∴DB=BE=GF， ∴DP=PB=BM=ME=FN=NG， ∵ ， ， ∴Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN， ∴AP=AN，CM=CN， ∴AD=AG=9，CE=CF=2， 设 BD=x，则 AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x， ∵AC2=AB2+BC2， ∴（11+x）2=（9+x）2+（2+x）2， ∴x2=36， ∴x=6， ∴△ABC 的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 29． 解：（1）∵A（﹣1，0），O1（1，0）， ∴OA=OO1 又 O1A=O1C，（1 分） ∴易知△O1AC 为等边三角形，（2 分） ∴易求 C 点的坐标为（0， ）．（4 分） （2）解法一：连接 AD； ∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴ ， ∴AC=BD 又 AC 不平行 BD， ∴四边形 ABCD 为等腰梯形，（5 分） 过 D 作 DH⊥AB 于 H； ∴△AOC≌△BDH，四边形 COHD 为矩形，（6 分） ∴CH 必平分四边形 ABCD 的面积，（7 分） 易求 CH 的解析式： ；（8 分） 解法二：设直线 CH 平分四边形 ABCD 的面积，并设 H（x，0），连接 AD， ∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴ ， ∴AC=BD=2， ∵S△ACH=S 梯形 CDBH， ∴ ， ∴x+1=5﹣x， ∴x=2，由 C（0， ）和 H（2，0）， 易求 CH 的解析式： ． （3）证法一：分别延长 MO1，MO2 交⊙O2 于 P，N，连接 PN； ∴PN=2O2E，（9 分） 连接 MA，MF，AN；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∵A（﹣1，0），M（1， ）， ∴∠MAO1=60°，∠AMO1=30°， ∴∠NAO1=30°， ∵AF=2O2E=PN， ∴∠FMA=∠PMN， ∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO1=30°， ∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°，（10 分） ∴∠FAO1=60°，（11 分） ∴易求 AF 的解析式为 ， ∴k= ，b= ．（12 分） 　 30． 解：连接 OF， ∵DB=6cm， ∴OD=3cm， ∴AO=AD+OD=2+3=5cm， ∵∠PAC=30°，OM⊥AP， ∴在 Rt△AOM 中，OM=AO=×5=cm ∵OM⊥EF， ∴EM=MF， ∵MF= = cm ∴EF= cm．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/