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冲刺 2020 高考数学之少丢分题目强化卷 第一期【浙江专版】
专题 05 3 月一模精选基础卷（第 5 卷）
题号 题型 试题来源 考点阐述
1 选择题 1
2019-2020 学年浙江省“七彩阳光”新高考研究
联盟高三数学试卷
本题考查了复数的乘除运算、模的求
法，是基础题．
2 选择题 2 河北省邢台市 2020 届高三上学期期末数学
本题考查一元二次不等式的解法及
交集的运算，属于基础题.
3 选择题 3
2020 届安徽省安庆市第二中学、天成中学高
三联考数学试题
本小题主要考查已知具体函数的解
析式，判断函数的图象，属于基础题.
4 选择题 4
2020 届福建省厦门市高三上学期期末质量检
测数学试题
本题主要考查了向量数量积公式的
应用，属于基础题.
5 选择题 5
2020 届吉林省辽源市田家炳高级中学友好学
校第六十八届高三联考数学试题
本题考查了双曲线的标准方程、双曲
线的简单几何性质．
6 选择题 6 2020 届浙江省高三期末数学试卷
本题考查排列、组合的应用，涉及组
合数公式的应用，属于基础题．
7 选择题 7
2019-2020 学年浙江省温州市新力量联盟高三
期末数学试卷
本题考查了函数的单调性、不等式的
解法、简易逻辑的判定方法．
8 选择题 8 2020 届浙江省台州市高三数学试卷
本题考查了向量法求异面直线所成
角，向量垂直的充要条件．
9 填空题 11
2020 届黑龙江省高三考试
数学试题
本题考查了三视图及外接球的表面
积 的 问 题 ， 找 到 球 心 是 解 题 的 关
键． 2 / 12
10 填空题 12 2020 届江苏省无锡市高三数学试题 本题考查根据古典概型求概率．
11 填空题 13
2020 届福建省高三期末数学试
题
本题考查的是有关线性规划的问题，
注意观察目标函数的类型.
12 填空题 14
2020 届浙江省绍兴市嵊州市高三上学期期末
数学试题
本题主要考查利用正弦定理解三角
形以及三角形面积的计算.
13 第 18 题
2020 届安徽省亳州市高三教学质量检测数学
试题
本题考查利用正弦定理将边化角，以
及利用正弦定理解三角形.
14 第 19 题 2019-2020 学年浙江省百校联考高三数学试卷
本题考查空间中线线间的位置关系
以及考查线面角的正弦值的求法．
15 第 20 题
2020 届浙江省绍兴市诸暨市高三上学期期末
数学试题
本题主要考查了数列通项公式和用
错位相减法求和.
1．复数 为虚数单位），则
A．2 B．1 C． D．
【答案】
【解析】 ， ．故选： ．
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
所以 或 ，即 或
， ，故选：
(1 )(2 )(z i i i= + − | | (z = )
5 10
D
2(1 )(2 ) 2 2 3z i i i i i i= + − = − + − = + 2 2| | 3 1 10z∴ = + = D
{ }2| 12 0 , { 5, 3,2,4,6}A x x x B= + − > = − − A B =
{ 5,4,6}− { 3,2}− {2,4,6} { 5,6}−
2 12 0x x+ − >
3x > 4x < − { | 3A x x= > 4}x < −
{ 5, 3,2,4,6}B = − − { }4,6, 5A B∴ = − A 3 / 12
3．已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由于 ，排除 B 选项.
由于 ， ，函数单调递减，排除 C 选项.
由于 ，排除 D 选项.故选 A.
4．矩形 中， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】 ，故选：C
5．下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是
1( ) ln 1f x x x
= − − = ( )y f x
1 2 2 01 1 12 ln 1 ln 22 2 2
f = = > − − −
( ) ( )2
2
2 2,2 3f e f ee e
= =− −
( ) ( )2f e f e>
( )100
100
2 0101f e e
= >−
ABCD 2, 1AB BC= = AB AC⋅ =
2 5
( ) 2 22 0 4AB AC AB AB AD AB AB AD⋅ = ⋅ + = + ⋅ = + =
y 2y x= ± 4 / 12
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】焦点在 轴上的是 C 和 D，渐近线方程为 ，故选 C．
6．数列 ， ， ， 中，恰好有 6 个 7，3 个 4，则不相同的数列共有 个
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，数列 ， ， ， 中，恰好有 6 个 7，3 个 4，
可以先在 ， ， ， 中，任选 3 个安排“4”，剩下的 6 个安排 6 个“7”，
则有 种不同的情况，即可以有 个不相同的数列；故选： ．
7．已知 且 ，则“ ”是“ “成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】 ，或 ．
化为： ， ．
“ ”是“ “成立的必要不充分条件．故选： ．
8．如图，三棱柱 的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 底面 ，且 ，则异面
直线 ， 所成的角的大小为
2
2 =14
yx −
2
2 =14
x y−
2
2 =14
y x−
2
2 =14
xy −
y ay xb
= ±
1a 2a … 9a ( )
6
7C 4
9C 3
9C 3
6C
C
1a 2a … 9a
1a 2a … 9a
3
9C 3
9C C
0a > 1a ≠ log ( ) 1a a b− > ( 1) 0a b− − < ( )
B
0 1log ( ) 1 0a
aa b a b a
< ⇔ < −
− >
1 0a b− − < 1 0a b− − >
∴ log ( ) 1a a b− > ( 1) 0a b− − < B
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1 2AA =
1A B 1AC ( ) 5 / 12
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ， ，
，
， 异面直线 ， 所成的角的大小为 ．故选： ．
9．已知某几何体三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是矩形，俯视图为直角三角形，则该几何体的外
接球表面积为__________.
【答案】
【解析】还原三视图可得如图直三棱柱，因为底面为直角三角形， ∴其外接球球心在底面斜边 BC 的中点 D
的正上方 O 处，且 OD=2,所以半径 ，
6
π
4
π
3
π
2
π
D
1 1 1 1 12, 2AA A B AC= = = 1 1 1 1 90AA B AAC∠ = ∠ = ° 1 1 1 60B AC∠ = °
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )A B AC A B A A AC A A= + −
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A B AC A B A A A A AC A A= − + −
12 2 22
= × × − 0=
∴ 1 1A B AC⊥ ∴ 1A B 1AC 2
π
D
29π
2 2
2 2 2 29R 4 2
AB ACBD OD OD
+= + = + = 6 / 12
∴外接球表面积为 .故答案为 .
10．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李会其中的三道题，则抽到
的 2 道题小李都会的概率为_____.
【答案】
【解析】由题：从从 4 道题中随机抽取 2 道作答，共有 种，
小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的情况共有 种，
所以其概率为 .故答案为：
14．已知 O 是坐标原点，点 A（﹣1，1），若点 M（x，y）为平面区域 上的一个动点，则
的最大值是_____．
【答案】2
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
24π 29R π= 29π
1
2
2
4 6C =
2
3 3C =
2
3
2
4
1= 2
C
C
1
2
2
1
2
x y
x
y
+ ≥
≤
≤
OA OM⋅ 7 / 12
则 x+y，设 z＝﹣x+y，则 y＝x+z，
平移直线 y＝x+z，当直线 y＝x+z 经过点 A 时，直线 y＝x+z 的截距最大，此时 z 最大，
由 得 ，得 A（0，2），此时 z＝﹣0+2＝2，故 的最大值是 2，
故答案是：2.
12．在锐角 中， 是边 上一点，且 ， ， ，若 ，则
____， 的面积是____．
【答案】
【解析】如下图所示：
在锐角 中， 是边 上一点，且 ， ， ，
，即 ， ，
，又 ，解得 .
OA OM⋅ = −
2
2
y
x y
=
+ =
0
2
x
y
=
= ⋅ OA OM
ABC∆ D BC 2 2AB = 3BC = AC AD= 3cos 5CAD∠ =
sinC = ABC∆
2 5
5 3
ABC∆ D BC 2 2AB = 3BC = AC AD=
( ) 3cos 2 cos 5C CADπ − = ∠ = 3cos2 5C− = 3cos2 5C∴ = −
2 31 2sin 5C∴ − = − sin 0C > 2 5sin 5C = 8 / 12
易知 为锐角，则 ，
由 ，
.
，
因此， 的面积为 .
故答案为： ； .
13．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）设 为 的垂心，且 ，求 的范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由 ，结合正弦定理得 ，
整理得 ，又 为锐角，故 .
（2）由 是锐角三角形，则垂心 必在 内部，
不妨设 ，则 .
C 2 5cos 1 sin 5C C= − =
2 53sin 3 105sinsin sin 102 2
AB BC BC CBACC BAC AB
×
= ⇒ ∠ = = =∠
2 10cos 1 sin 10BAC BAC∴ ∠ = − ∠ =
( ) 2sin sin sin cos cos sin 2B C BAC C BAC C BAC∴ = + ∠ = ∠ + ∠ =
ABC∆ 1 1 2sin 2 2 3 32 2 2ABCS AB BC B∆ = ⋅ ⋅ = × × × =
2 5
5 3
ABC∆ A B C a b c sin cos 6a C c A
π = −
A
H ABC∆ 1AH = BH CH+
3A
π= ( 3,2BH CH + ∈
sin cos 6a C c A
π = − sin cos 6A A
π = −
sin 03A
π − = A 3A
π=
ABC∆ H ABC∆
BAH α∠ = 0, 3
πα ∈ 9 / 12
由 为 的垂心，则 .
在 中使用正弦定理得， ，整理得： .
同理在 中使用正弦定理得， .
，
结合 ，可得 .
14．如图，在底面为菱形的四棱锥 中，平面 平面 ， 为等腰直角三角形，
， ，点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与平面 交于点 ．
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明： ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ， ．
H ABC∆
6ABH ACH
π∠ = ∠ =
ABH∆
sin sin
AH BH
ABH BAH
=∠ ∠ 2sinBH α=
ACH∆ 2sin 3CH
π α = −
2sin 2sin 2sin3 3BH CH
π πα α α + = + − = +
0, 3
πα ∈
( 3,2BH CH + ∈
P ABCD− PAD ⊥ ABCD PAD∆
2APD
π∠ = 2
3BAD
π∠ = E F BC PD PC AEF Q
PAB ∩ PCD l= / /AB l
AQ PCD
3 462
77
/ /AB CD AB ⊂/ PCD CD ⊂ PCD
/ /AB∴ PCD
AB ⊂ PAB PAB ∩ PCD l= / /AB l∴ 10 / 12
（2） ，
又 ，
，即 ，
设 ，则 ，
， ， ， 四点共面， ，即 ，故 ．
取 的中点 ，连接 ， ，
是等腰直角三角形， ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ．
四边形 是菱形， ， ，
以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间坐标系 ，
不妨设 ，则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ， ， ，
，0， ， ，1， ， ，1， ，
，1， ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 可得 ，1， ． ．
1 1 1 1( )2 2 2 2AE AC CE AC DA PC PA PA PD PC PA PD= + = + = − + − = − −
AE PE PA= −
∴ 1 1
2 2PC PA PD PE PA− − = − 2 2PA PE PC PD= − +
PC PQλ= 2 2 2PA PE PQ PFλ= − +
A E Q F 2 2 2 1λ∴ + − = 3
2
λ = 2
3PQ PC=
AD O OC OP
APD∆ 2APD
π∠ = OP AD∴ ⊥
APD ⊥ ABCD APD ∩ ABCD AD=
OP∴ ⊥ ABCD
ABCD 2
3BAD
π∠ = OC AD∴ ⊥
O OC OD OP O xyz−
1OD = (0P 1) (0D 0) ( 3C 0) (0A 1− 0)
( 3PC = 1)− (0PD = 1)− (0AP = 1)
∴ 2 2 3(3 3AQ AP PC= + = 1)3
PCD (n x= y )z 0
0
n PC
n PD
= =
3 0
0
x z
y z
− = − =
1y = 3( 3n = 1) 2 3 462cos , 77| || | 22 7
3 3
AQ nAQ n
AQ n
∴ < >= = =
×
11 / 12
直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
15．数列 是公比为正数的等比数列， ， ；数列 前 项和为 ，满足 ，
.
（1）求 ， 及数列 ， 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ， ， ， ， ， ，（2） ，
【解析】（1）方法一：（数列定义）
易知 ，解得 或 ，又公比为正数，则 ，故 ，
； ， ， ，则
， ，两式相减得 ，则 ，
，同理两式相减得 ， （注： ， 也符合），则 为等差数列，故
， .
（1）方法二：（数学归纳法）
易知 ，解得 或 ，又公比为正数，则 ，故 ，
∴ AQ PCD 3 462
77
{ }na 1 2a = 2 3 12a a+ = { }nb n nS 2 3b =
( )( )12n n
nS b n N += + ∈
1b 3b { }na { }nb
1 1 2 2 3 3 n na b a b a b a b+ + + +
1 1b = 3 5b = 2n
na = n N +∈ 2 1nb n= − n N +∈ ( ) 12 3 2 6nn +− +
n N +∈
( )2
2 3 1 12a a a q q+ = + = 2q = 3q = − 2q = 1
1 2n n
na a q −= =
n N +∈ ( )1 1 1
1 1 12S b b= + ⇒ = ( )3 3 3 3
34 1 52S b b b= + = + ⇒ = ( )12n n
nS b= +
( )1 1
1 12n n
nS b− −
−= + 2n ≥ ( ) ( ) 12 1 1n nn b n b −− = − − ( ) ( )1 23 2 1n nn b n b− −− = − −
3n ≥ 1 22 n n nb b b− −= + 3n ≥ 1b 3b { }nb
2 1nb n= − n N +∈
( )2
2 3 1 12a a a q q+ = + = 2q = 3q = − 2q = 1
1 2n n
na a q −= = 12 / 12
； ， ，猜想 ， ，用数学
归纳法证明.
①当 时， 成立；
②假设当 时， 成立，
当 时， ，则 ，即
，故当 时，结论也成立.由①②可知，对于任意的 ， 均成立.
（2）方法一：（错位相减法求和）
由（1）可知 ， ，
则 ，两式相减整理得，
， .
（2）方法二：（裂项求和）
由（1）可知 ，注意到 ，
故 ， .
n N +∈ ( )1 1 1
1 1 12S b b= + ⇒ = ( )3 3 3 3
34 1 52S b b b= + = + ⇒ = 2 1nb n= − n N +∈
1n = 1 1b =
n k= 2 1kb k= −
1n k= + ( ) 2
1 1 1 1
1 12k k k k k
kS b k b S b+ + + +
+= + = + = + ( ) 2
11 2 1kk b k k+− = − −
1 2 1kb k+ = + 1n k= + n N +∈ 2 1nb n= −
( )2 1 2n
n na b n= − 1 1 2 2n n nT a b a b a b= + + + ( )21 2 3 2 2 1 2nn= ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ −
( ) ( )2 3 12 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n += ⋅ + ⋅ + + − + −
( )2 3 12 2 2 2 2 (2 1)2n n
nT n += − − ⋅ + + + + − ( ) 12 3 2 6nn += − + n N +∈
( )2 1 2n
n na b n= − ( ) ( ) ( )12 1 2 2 3 2 2 5 2n n nn n n+− = − − −
1 1 2 2n n nT a b a b a b= + + + ( ) ( ) ( )1 1
1
2 3 2 2 5 2 2 3 2 6
n
i i n
i
i i n+ +
=
= − − − = − + ∑ n N +∈
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