强化卷01冲刺2020高考数学（理）之拿高分题目强化卷（3月新课标版解析版）

1 / 10 冲刺 2020 高考数学之拿高分题目强化卷第一期【新课标版】 专题 01 3 月一模精选压轴卷（第 1 卷） 题号 题型 试题来源 考点阐述 1 选择题 10 吉林省长春市普通高中 2019 届高三质量 检测（三)数学试题 抛物线的性质 2 选择题 11 2020 黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊 校高三数学试题 导数的几何意义，基本不等式 3 选择题 12 2020 届福建省厦门市高三数学试题 分段函数，函数的性质 4 填空题 15 2020 届四川省高三 2 月线 上月考数学试题 余弦定理的实际运用 5 填空题 16 2020 届福建省漳州市高三毕业班第二次 高考适应性测试数学试题 双曲线的性质 6 第 19 题 2020 届河南省顶级名校高三数学试题 线面垂直判定，二面角 7 第 20 题 2020 届安徽省滁州市定远县育才学校高 三下学期 3 月线上高考模拟考试数学试题 直线与椭圆的位置关系，探求点的坐标 8 第 21 题 2020 届福建省漳州市高三 3 月第二次高 考适应性测试数学试题 函数的单调性，不等式的正明 1.已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=8x 上一点 A 到焦点 F 的距离为 6，若点 P 为抛物线 C 准线上的动点， 则|OP|+|AP|的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 4 3 4 6 6 3 2 / 10 【解析】抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2，∵|AF|=6， ∴A 到准线的距离为 6，即 A 点的横坐标为 4，∵点 A 在抛物线上，不妨设为第一象限， ∴A 的坐标 A（4，4 ）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B（-4，0）， ∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|= ． 故选 C． 2.已知函数 ，点 为函数 图象上两点，且过 两点的切线互相垂直，若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，过 两点的切线互相垂直， ， 2 ( ) ( )224 4 4 2 4 6+ + = 2( ) 2 ( 0)f x x x a x= + + < 1 1 2 2( , ( )) ( , ( ))A x f x B x f x、 ( )f x A B、 1 2x x< 2 1x x− 1 1 2 3 2 2 ( ) 2 2f x x′ = + 1 2 0x x< ( ) ( ) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 12x x x x x x   ∴ − = − + + + ≥ − + + =    ( )1 22 2 2 2 1x x− + = + = 1 2 3 1,2 2x x= − = − 2 1x x∴ − 1 A -2 , 0( ) ( ) 2 , 0 x x a xf x a R a x − +  ( )f x ( )f x 1a ≤ ( )f x R 1a 1a ≤ ( ) (3 4) 0f x f x+ + > ( 1,0) (0, )x∈ − ∪ +∞ 0x < 0x− > ( ) 2 xf x a−= − + ( )( ) 2 2 ( )x xf x a a f x− −− = − = − − + = − 0x > 0x− < ( ) 2xf x a= − ( )( ) 2 2 ( )x xf x a a f x− = − + = − − = − ( )f x 4 / 10 若 在定义域上是增函数，则 ，即 ，则②正确； 当 时， 在区间 上单调递增，其值域为 当 时， 在区间 上单调递增，其值域为 要使得 值域为 ，则 ，即 ，则③错误； 当 时，由于 ，则函数 在定义域上是增函数 由 ，则 解得 ，故④正确； 故选：C 4.代号为“狂飙”的台风于某日晚 8 点在距港口的 码头南偏东 60°的 400 千米的海面上形成，预计台风中心 将以 40 千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心 350 千米的范围都会受到台风影响，则 码头从受到台 风影响到影响结束，将持续多少小时__________． 【答案】2.5 【解析】如图， 是台风中心， 上正北方向，设台风移动时间为 小时，则 ，又 ， ， ∴ ， 由 ，解得 ， ． 故答案为：2.5. ( )f x 0 02 2a a−− + ≤ − 1a ≤ 0x < ( ) 2 xf x a−= − + ( ),0- ¥ ( ), 1a−∞ − 0x > ( ) 2xf x a= − ( )0,+¥ ( )1 ,a− +∞ ( )f x R 1 1a a− > − 1a > 1a ≤ 0 02 2a a−− + ≤ − ( )f x ( ) (3 4) 0 ( ) ( 3 4)f x f x f x f x+ + > ⇒ > − − 0 3 4 0 3 4 x x x x ≠ − − ≠  > − − ( 1,0) (0, )x∈ − ∪ +∞ A A B BC t 40BC t= 60ABC∠ = ° 400AB = 2 2 2 2 22 cos60 400 (40 ) 400 40AC AB BC AB BC t t= + − ⋅ ° = + − × 2 2 2 2400 (40 ) 400 40 350AC t t= + − × ≤ 15 25 4 4t≤ ≤ 45 15 2.54 4 − = 5 / 10 5.已知双曲线 的下焦点为 ，虚轴的右端点为 ，点 在 的上支， 为坐标原点，直线 和直线 的倾斜角分别为 ， ，若 ，则 的最小值为___________． 【答案】 【解析】在双曲线 中， ， 设 ，因为 ， 所以 ， 所以 ，且 ， 又 ， ， 所以 ，且 ，所以 . 所以 在圆 上，且圆 的圆心为 ，半径 ， 由双曲线定义可得 ， 所以 ， 由图可得当 为 与圆 的交点时， 最小， 2 2 : 14 9 y xC − = F A P C O OQ AQ α β 2sin sin 0α β= ≠ PF PQ+ 29 2+ 2 2 : 14 9 y xC − = ( )0, 13F′ ( ),Q x y 2sin sin 0α β= ≠ 2sin sin 0QOA QAO∠ = ∠ ≠ 2 QA OQ= 0y ≠ ( )0,0O ( )3,0A ( )2 2 2 22 3x y x y− + = + 0y ≠ ( ) ( )2 24 4 0x y y− + = ≠ Q ( )2 2: 4 4E x y− + = E ( )4,0E 2r = 4PF PF′= + 4 4PF PQ PF PQ F Q′ ′+ = + + ≥ + Q F E′ E F Q′ 6 / 10 ， 所以 的最小值为 ， 故答案为： . 6.如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形.且 ， ， . （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【解析】（1）由题意，因为底面 为正方形，且 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， . 又 ， 平面 ， 平面 ， ( ) ( )22 min 2 0 4 13 0 2 29 2F Q F E′ ′= − = − + − − = − PF PQ+ 29 4 2 29 2+ − = + 29 2+ A BCDE− BCDE 2BC = 4AB = 2 5AC AE= = AB ⊥ BCDE C AD E− − BCDE 2BC = 4AB = 2 5AC AE= = 2 2 2AC AB BC= + 2 2 2AE AB BE= + AB BC⊥ AB BE⊥ BC BE B= BC ⊂ BCDE BE ⊂ BCDE 7 / 10 所以 平面 . （2）由（1）知 平面 ，又因为底面 为正方形， 所以分别以 ， ， 为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ，即 ， 令 ，所以 . 同理可求得平面 的一个法向量 ， 所以 . 又二面角 的平面角为钝角， 故二面角 的余弦值为 . 7.已知椭圆퐶:푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)过点(1, 3 2 )，且离心率为 3 2 ． AB ⊥ BCDE AB ⊥ BCDE BCDE BC BE BA B xyz− ( )0,0,0B ( )0,0,4A ( )2,0,0C ( )2,2,0D ( )0,2,0E ( )2,0, 4AC = − ( )2,2, 4AD = − ( )0,2, 4AE = − ACD ( ), ,n x y z= 0 0 n AC n AD  ⋅ =  ⋅ =   ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2,0, 4 0 , , 2,2, 4 0 x y z x y z  ⋅ − = ⋅ − = 2 2 0 x z x y z =  + − = 1z = ( )2,0,1n = ADE ( )0,2,1m = ( ) ( )2,0,1 0,2,1 1cos , 55 5 n mm n n m ⋅⋅= = = ×      C AD E− − C AD E− − 1 5 − 8 / 10 （1）求椭圆퐶的标准方程； （2）若点푃与点푄均在椭圆퐶上，且푃,푄关于原点对称，问：椭圆上是否存在点푀（点푀在一象限），使 得훥푃푄푀为等边三角形？若存在，求出点푀的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）푥2 4 + 푦2 = 1；（2）存在，푀(2 165 15 ,2 15 15 )． 【解析】（1）由题意{ 1 푎2 + 3 4푏2 = 1 푐 푎 = 3 2 푎2 = 푏2 + 푐2 ，解得푎 = 2,푏 = 1， 所以椭圆퐶的标准方程为푥2 4 + 푦2 = 1． （2）由题意知直线푃푄经过坐标原点푂，假设存在符合条件的点푀，则直线푂푀的斜率存在且大于零，푂푀 ⊥ 푃푄,|푂푀| = 3|푂푃|① 设直线푂푀的斜率为푘，则直线푂푀:푦 = 푘푥， 联立方程组{ 푦 = 푘푥 푥2 4 + 푦2 = 1 ，得푥푀 = 2 1 + 4푘2,푦푀 = 2푘 1 + 4푘2， 所以|푂푀| = 2 1 + 푘2 1 + 4푘2② 同理可得直线푃푄的方程为푦 = ― 1 푘푥,|푂푃| = 2 1 + 푘2 푘2 + 4③ 将②③代入①式得2 1 + 푘2 1 + 4푘2 = 2 3(1 + 푘2) 푘2 + 4 ， 化简得11푘2 ― 1 = 0，所以푘 = 11 11 所以푥푀 = 2 165 15 ,푦푀 = 2 15 15 ， 综上所述，存在符合条件的点푀(2 165 15 ,2 15 15 ) 9 / 10 8.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数 ，使得 ，证明： . 【解析】 的定义域为 ， 因为 ， 所以 ， 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ； 当 时，则 ，令 ，得 ，或 ， 令 ，得 ； 当 时， ， 当 时，则 ，令 ，得 ； 综上所述，当 时， 在 上递增，在 上递减； ( ) 21ln 2 , R2  = + − − ∈  x a x ax af x ( )f x ( )f x 1 2,x x ( ) ( )1 2 3+ = −f x f x 1 2 2x x+ > ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 21ln 22  = + − −  a xf xx ax ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 12 1 2 11 2 1 2 − − − − − +  = + − − = =′ x a xa x axa xxx xf a x 1 2a ≤ ( ) 0 0 f x x ′ >  > 0 1x< < ( ) 0 0 f x x ′ <  > 1x > 1 12 a< < 1 12 1a >− ( ) 0 0 f x x ′ >  > 0 1x< < 1 2 1 > −x a ( ) 0 0 f x x ′ <  > 11 2 1 < < −x a 1a = ( ) 0f x′ ≥ 1a > 10 12 1 <  1 12 1 < ( )f x 10, 2 1    − a 1 ,12 1    − a ( )1,+∞ ( )f x 1a = ( ) 21ln 22 = + −f xx x x 1 2x x< ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1+ = − =f x f x f 1 20 1x x< < < ( ) ( ) ( ) ( )2 3, 0,1= − + + ∈g x f x f x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 31 1 2 12 02 2 − − −′ ′ ′= − − + = − + = >− − x x xg x f x f x x x x x ( )0,1x∈ ( )g x ( )0,1 ( )0,1x∀ ∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 3 0< = + =g x g f ( )0,1x∀ ∈ ( ) ( )2 3 0− + + − 1 2 2x x+ >