强化卷08冲刺2020高考数学（理）之拿高分题目强化卷（3月新课标版解析版）

冲刺 2020 高考数学之拿高分题目强化卷第一期【新课标版】 专题 08 3 月一模精选压轴卷（第 8 卷） 题号 题型 试题来源 考点阐述 1 选择题 10 2020 届湖南省湘潭市高三模拟考试数学 试题 三角函数的图象性质 2 选择题 11 2020 届高三数学 试题 函数的单调性，不等式的解集 3 选择题 12 2020 届河南省顶级名校高三数学试题 直线与抛物线的位置关系 4 填空题 15 2020 届陕西省西安市西北工业大学附中 第三次适应性考试高三数学试题 函数的零点 5 填空题 16 2020 届福建省厦门市高三数学试题 平面图形的折叠、球的性质 6 第 19 题 2020 届福建省福清市高三下学期线上教 学质量检测数学试题 折线图，线性回归方程的实际运用 7 第 20 题 2020 届福建省福清市高三下学期线上教 学质量检测数学试题 直线与椭圆的位置关系，角度的定值 8 第 21 题 2020 届贵州省高考适应性 数学试题 函数的单调性、极值与最值 1.已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2( ) 2cos 12f x x πω = −   ( 0)>ω 4x π= ω 1 3 1 6 4 3 5 6 【解析】 ， ， 又因为 的图象关于 对称， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 的最小值为 . 故选：A. 2.定义在 上的单调函数 对任意的 都有 ，则不等式 的解集为（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【解析】 令 ，则 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得 ，可得 ，所以 是增函数，由 ，则 ，所以 ，解得 ．故本题选 ． 3.已知抛物线 C： 过定点 的直线与抛物线 C 相交于点 P、Q，若 为常 数，实数 a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 2( ) 2cos 12f x x πω = −   ( ) 1 cos 2 6f x x πω ∴ = + −   2( ) 2cos 12f x x πω = −   4x π= 2 ( )4 6 k k Z π πω π× − = ∈ 12 ( )3k k Zω = + ∈ 0>ω ω 1 3 ( )0,+¥ ( )f x ( )0,x∈ +∞ ( )( )3log 4f f x x− = ( )2 2 4f a a+ > { | 3a a < − 1}a > { }| 1a a > { }| 3 1a x− < < { }| 3a a < − ( )0 4f x = ( ) 3 0logf x x x− = ( ) 3 0logf x x x= + ( )0 4f x = 3 0 0log 4x x+ = 0 3x = ( ) 3log 3f x x= + ( )f x ( )2 2 4f a a+ > ( ) ( )2 2 3f a a f+ > 2 2 3a a+ > 3 1a a或− A 2 2y x= ( ),0M a 2 2 1 1 8 3PM QM + = 【解析】设 ， ，直线 ， 联立方程 ， ， ， ， 为常数， ，满足 . 所以实数 a 的值为 1. 故选：A. 4.记函数 在区间 上的零点分别为 ，则 ________． 【答案】 【解析】令 ，得 ，画出 在区间 上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线 对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线 对称，所以 . 故答案为： ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y :PQ x ky a= + 2 2 , 2 2 02 x ky a y ky ay x = + ⇒ − − = = 1 2 2y y k∴ + = 1 2 2y y a= − ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 1 21 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1k y yx a y x a yPM QM  ∴ + = + = + +− + − +   ( ) ( ) 22 2 1 2 1 21 2 22 2 2 2 1 2 1 2 21 1 1 1 y y y yy y k y y k y y + −+= ⋅ = ⋅+ + ( ) 2 2 2 1 k a a k += + 2 2 1 1 PM QM + 1a\ = 24 8 0k∆ = + > | 1|1( ) cos2 x f x xπ − = −   ( 2,4)− ( 1,2, , )ix x i n= = ⋅⋅⋅ 1 n i i x = =∑ 6 | 1|1( ) cos 02 x f x xπ − = − =   | 1|1 cos2 x xπ −  =   11 , cos2 x y y xπ − = =   ( )2,4− 1x = 1x = 1 3 2 6 n i i x = = × =∑ 6 5.如图 1，在矩形 中， 分别为 的中点.将四边形 沿 折起使得 二面角 的大小为 120°（如图 2），则 _______；三棱锥 的外接球表面积为 _________. 【答案】 【解析】由二面角的定义可知，二面角 的平面角为 由余弦定理可得 因为 ， ， 平面 所以 平面 又 ，则 平面 的外接圆半径为 ABCD 2, 4, ,AB BC E F= = ,BC AD ABEF EF 1A EF D− − 1B C = 1B CDE− 2 3 20π 1A EF D− − 1 120B EC∠ = ° 2 2 1 1 1 12 cos120 4 4 2 2 2 2 32B C EC B E EC B E °  = + − ⋅ = + − × × × − =   1 ,EF B E EF EC⊥ ⊥ 1B E EC E∩ = 1 ,B E EC ⊂ 1B EC EF ⊥ 1B EC //EF CD CD ⊥ 1B EC 1B EC∆ 1 1 22sin B Cr B EC = =∠ 则三棱锥 的外接球的半径 则三棱锥 的外接球的表面积为 故答案为： ； 6.2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立 70 周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952 年～2018 年，我国 GDP 查 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元，实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.如图是全 国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 （万亿元）的折线图.注：年份代码 1～9 分别对应年份 2010～2018. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与年份代码 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），并预测 2021 年全国 GDP 的总量. 附注：参考数据： . 参考公式：相关系数 ； 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， . 1B CDE− 2 2 4 1 52 CDR r  = + = + =   1B CDE− ( )2 4 5 20π π× = 2 3 20π y y t y t ( ) ( )9 92 2 11 1 1 9 9 582.01, 64.668, 3254.80, 345.900i i i i i i i i i t ty y yy t y == == = ≈ = − − ≈∑ ∑∑ ∑ ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ y a bt= +   ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  a y bt= −  【解析】 （1）由折线图中的数据和附注中参考数据得 , , , 所以 , 因为 与 的相关系数近似为 0.997,说明 与 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. （2）由已知及（1）得 , , 所以 关于 的回归方程为 . 将 2021 年对应的年份代码 代入回归方程, 得 , 所以预测 2021 年全国 GDP 总量约为 104.94 万亿元. 7.已知椭圆 过点 ，且离心率为 . （1）求 的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 59t + + + + + + + += = ( )9 2 1 60i i t t = − =∑ ( )( )9 9 9 1 1 1 i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = −∑ ∑ ∑ 3254.80 5 582.01 344.75= − × = 344.75 0.997345.90r = ≈ y t y t y t ( )( ) ( ) 9 1 9 2 1 ˆ i i i i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑ 344.75 5.74660 = ≈ 64.668 5.74ˆ 6 5 3ˆ 5.94a y bt= − ≈ − × = y t  35.94 5.75y t= + 12t =  35.94 5.75 12 104.94y = + × = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )2,1P 3 2 C （2）已知直线 不经过点 ，且斜率为 ，若 与 交于两个不同点 ，且直线 的倾斜角 分别为 ，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由． 【解析】(1)由题意得 , 解得 , 所以 的方程为 . (2) 是定值, 设直线 , , 由 ,得 , 由 ,解得 或 , 则 , 依题意,易知 与 的斜率存在,所以 , 设直线 与 的斜率分别为 , l P 1 2 l C ,A B ,PA PB ,α β α β+ 2 2 2 2 4 1 1 31 2 a b c be a a  + =  = = − = 2 28, 2a b= = C 2 2 18 2 x y+ = α β+ ( )1: 02l y x m m= + ≠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 2 18 2 y x m x y  = +  + = 2 22 2 4 0x mx m+ + − = 2 24 8 16 0 0 m m m ∆ = − + >  ≠ 2 0m− < < 0 2m< < 2 1 2 1 22 , 2 4x x m x x m+ = − = − PA PB ,2 2 α βπ π≠ ≠ PA PB 1 2,k k 1 2 1 2 1 2 1 1, ,2 2 y yk kx x − −= =− − 故 . 又 , 所以 , , ,即 , . 8.已知函数 . （1）若 ，求 的单调区间； （2）若 在 上的最大值是 ，求 的值； （3）记 ，当 时，若对任意式 ，总有 成立，试求 的最大值. 【解析】（1） 的定义域是 ， ， 令 ，则 （舍去）， ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 11 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 2 2 y x y xy y x x x xk k − − + − −− −+ =−= − − −+ 1 1 1 ,2y x m= + 2 2 1 2y x m= + ( )( ) ( )( )1 2 2 11 2 1 2y x y x− − + − − ( ) ( )1 2 2 1 1 11 2 1 22 2x m x x m x   = + − − + + − −       ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22 4 1x x m x x m x x= ⋅ + − + − − ⋅ ( )( ) ( )22 4 2 2 4 1m m m m= − + − − − − 0,=  1tan kα = 2tan kβ = tan tan 0α β∴ + = ( )tan tan tanα β π β= − = − ∴α β π+ = 21( ) ln2f x ax x= + 1a = − ( )f x ( )f x (0,1] 3− a ( ) 2 ( ) ( 1)ln 1g x f x a x= + − + 2a ≤ − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 2g x g x k x x− ≥ − k ( )f x (0, )+∞ 21 1( ) xf x x x x − +′ = − + = ( ) 0f x′ = 1 21, 1x x= = − 当 时， ，故 在 上是增函数； 当 时， ，故 在 上是减函数. （2）∵ ，则 ， ①当 时， 在 上是增函数， 故在 上的最大值为 ，显然不合题意： ②若 即 时， ，则 在 上是增函数， 故在 上的最大值为 ，不合超意，舍去； ③若 即 时，则 在 上是增函数，在 上是减函数， 故在在 上的最大值为 ，解得 ，符合， 综合①②③得 . （3） ，则 ， 当 时， ，故 时， 在 上是减函数， 不妨设 ，则 ， 故 等价于 ， 即 ，记 ，从而 在 上为减函数， (0,1)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,1) (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )+∞ 21( ) ln2f x ax x= + 21 1( ) (0 1)axf x ax xx x +′ = + = < ≤ 0a ≥ ( )f x (0, )+∞ (0,1] 1(1) 32f a= = − 0, 1 1, a a