强化卷09冲刺2020高考数学（理）之拿高分题目强化卷（3月新课标版解析版）

1 / 10 冲刺 2020 高考数学之拿高分题目强化卷第一期【新课标版】 专题 09 3 月一模精选压轴卷（第 9 卷） 题号 题型 试题来源 考点阐述 1 选择题 10 河南省创新发展联盟 2020 联考数学试题 数学文化，对数的计算 2 选择题 11 山西省太原市 2020 届高三数学（文)试题 函数的单调性 3 选择题 12 2020 届福建省漳州市高三 3 月第二次高 考适应性测试数学试题 三角函数的图象性质 4 填空题 15 山西省临汾市 2020 届高三下学期模拟考 试（2)数学试题 等比数列的判断，函数的单调性 5 填空题 16 甘肃省 2020 高三 数学试题 新定义题型 6 第 19 题 2020 届陕西省渭南市高三数学试题 线面垂直的判定、二面角 7 第 20 题 2020 届福建省厦门市高三数学试题 椭圆的定义，定值 8 第 21 题 2020 届河南省顶级名校高三数学试题 函数的单调性、零点、不等式的证明 1.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的 .已 知在过滤过程中的污染物的残留数量 （单位：毫克/升）与过滤时间 （单位：小时）之间的函数关系为 （ 为常数， 为原污染物总量）.若前 个小时废气中的污染物被过滤掉了 ，那么要能 够按规定排放废气，还需要过滤 小时，则正整数 的最小值为（ ）（参考数据：取 ） A． B． C． D． 【答案】C 0.5% P t 0 ktP P e−= ⋅ k 0P 4 80% n n 5log 2 0.43= 8 9 10 14 2 / 10 【解析】由题意，前 个小时消除了 的污染物，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ， 则由 ，得 ， 所以 ， 故正整数 的最小值为 . 故选：C. 2.若对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 令 ， 则 ，令 若 时， 若 时， 所以可知函数 在 递减，在 递增 所以 由对任意的实数 恒成立 所以 4 80% 0 ktP P e−= ⋅ ( ) 4 0 01 80% kP P e−− = 40.2 ke−= 4 ln 0.2 ln5k− = = − ln5 4k = 0 00.5% ktP P e−= ln5ln 0.005 4 t= − ( )2 3 5 5 4ln 200 4log 200 4log 5 2ln5t = = = × 58 12log 2 13.16= + = n 14 4 10− = 0, ln 0x x x x a> − − ≥ a ( , 1]−∞ − ( ,1]−∞ [ 1, )− +∞ [1, )+∞ ( ) lnf x x x x a= − − ( )0,x∈ +∞ ( )' lnf x x= ( )' 0 1f x x= ⇒ = 0 1x< < ( )' 0f x < 1x > ( )' 0f x > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )min 1 1f x f a= = − − 0, ln 0x x x x a> − − ≥ ( )min 1 0 1f x a a= − − ≥ ⇒ ≤ − 3 / 10 故选：A 3.已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，若关于 x 的方程 在 上恰有一个实数解，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 的图象经过点 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以由 ，得 ，即 ， 所以 的所有正解从小到大为 ， 因为关于 x 的方程 在 上恰有一个实数解， 所以 ，即 ，其中 T 为 的最小正周期， 所以 ，所以 ，所以 ， ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0>ω 2 π0,ϕ  ∈   10, 2      ( ) 1f x = − ,6 π π     ω 4 10,3 3     4 ,83      10 ,203      4 ,203      ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 10, 2      ( ) 1sin 20 = =f φ 0, 2 πϕ  ∈   6 π=ϕ ( ) sin 16  = + = −  f πωxx 326 2 + = +π πωx kπ 42 3 , + = ∈ πkπ x k Zω ( ) 1f x = − 4 10 16 3 3 3, , ⋅⋅⋅ π π π ω ω ω ( ) 1f x = − ,6 π π     52 6 6 > − =π πT π 5 12 > πT ( )f x 2 5 12 >π π ω 1 5 24 > ω 16 16 5 103 3 24 9 > × = > π π π πω 4 / 10 所以 或 . 所以 或 ，所以 ， 故选:A. 4.设数列 的前 项和为 ，已知对于任意正整数 ，都有 ，若存在正整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】当 时，由 ① 可得 ② 由②－①可得 ， 即 ， 当 时由 ， 可得 ， ， 所以 是首项为 1，公比为 的等比数列， 所以 ， 4 10 3 3 6 ≤ ≤ < π π π πω ω 10 16 4 3 3 3 6 < ≤ ≤ < π π π π πω ω ω 8 4 3 10 3 ω ω ω   ≤  ≥     ≤  ≥   − ( ) 2 1x axf x x + += ( )0,+¥ ( )f x 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x≠ ( )f x 0x ( )0' 0f x = 2x ≥ 2( ) logf x x= 2( ) logf x x= 2x < ( ) 1f x x= - ( ) 1f x x= - 6 / 10 是单纯函数，故命题①是正确的；对于命题②，由于 不单调，故不是单纯函数；由于单调 函数一定是单纯函数，故当 ，则 ，即命题③是正确的；对于命题④，由于单纯函数 一定是单调函数，所以在定义域内不存在极值点，故是错误的，应填答案①③。 6.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,∠BCD=135°,PA⊥平面 ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M 分 别为线段 BC,AD,PD 的中点. （1）求证:直线 EF⊥平面 PAC; （2）求平面 MEF 与平面 PBC 所成二面角的正弦值. 【解析】（1）证明：在平行四边形 ABCD 中， ∵AB=AC，∠BCD=135°，∴AB⊥AC， ∵E，F，M 分别为线段 BC，AD，PD 的中点.∴EF∥AB， ∴EF⊥AC， ∵PA⊥底面 ABCD，EF⊂底面 ABCD，∴PA⊥EF， ∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面 PAC. （2）∵PA⊥底面 ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC 两两垂直， 如图所示： 1( )f x x ax = + + 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x≠ 7 / 10 以 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，D(﹣2，2，0)，E(1，1，0)， =(﹣2，2，0)， =(2，0，﹣2)， 设平面 PBC 的法向量 =(x，y，z)， 则 ，取 x=1，得 =(1，1，1)， M 是 PD 的中点，由（1）知，AC⊥平面 MEF，且 =(0，2，0)， ∴ |= ， ∴平面 MEF 与平面 PBC 所成二面角的正弦值为 . 7.已知直线 与 轴的交点为 .点 满足线段 的垂直平分线过点 . （1）若 ，求点 的坐标； BC PB n n BC 2x 2y 0 n PB 2x 2z 0  ⋅ = − + =  ⋅ = − =   n AC | AC n |cos AC,n | AC | | n | ⋅= ⋅      3 3 6 3 : 2l x = − x A P AP (2,0)B | | 4 3AP = P 8 / 10 （2）设点 在直线 上的投影点为 ， 的中点为 ，是否存在两个定点 ，使得当 运动时， 为定值？请说明理由. 【解析】（1）若 ， 垂直平分 ，则 又 ， ，即 设 ，则 ，且 解得 或 （2）设 ，则 ，由 的中点为 ，可得 因为 的垂直平分线过点 ，则 ，即点 的轨迹是椭圆（不含点 ） 故由椭圆的定义可知，存在 满足 为定值 P l C PC D ,E F P | | | |DE DF+ | | 4 3AP = BG AP 2 3AG = 4AB = 2 3 3cos 4 2GAB∴ ∠ = = 30GAB∠ = ° ( , )P x y 3 2 3AP yk x = =+ 2 2( 2) 48AP x y= + + = (4,2 3)P (4, 2 3)− ( , )D x y ( 2, )C y− PC D (2 2, )P x y+ AP B | | | |PB AB= 2 2(2 2 2) 16x y∴ + − + = 2 2 1( 2)4 16 x y x∴ + = ≠ − D A 2 2 216, 4, 12a b c∴ = = ∴ = (0,2 3), (0, 2 3)E F − | | | | 2 8DE DF a+ = = 9 / 10 8.已知函数 （ ）. （1）若函数 有两个零点，求实数 a 的取值范围 （2）证明： 【解析】（1）由题意，函数 的定义域为 ， 令 ，则 ， 记 ， ， 则 ，令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 有最小值，且为 ， 又当 时， ；当 时， ， 所以要使函数 有两个零点，则函数 的图象与 有两个不同的交点， ( ) ln 2f x x x a= − + a R∈ ( )f x 1 212 ln ln 22 x x x x e − + − ≥ + +   ( ) ln 2f x x x a= − + ( )0, ∞+ ( ) ln 2 0f x x x a= − + = 2 lna x x= − ( ) 2 lng x x x= − 0x > ( ) 1 2 12 xg x x x =′ −= − ( ) 0g x′ = 1 2x = 10, 2x  ∈   ( ) 0g x′ < ( )g x 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) 0g x′ > ( )g x ( )g x 1 1 ln 22g   = +   0x → ( )g x → +∞ x → +∞ ( )g x → +∞ ( )f x ( )g x y a= 10 / 10 则 ，即实数 a 的取值范围为 . （2）由（1）知，函数 有最小值为 ，可得 ， 当且仅当 时取等号， 因此要证明 ， 即只需要证明 ， 记 ，则 ， 令 ，得 . 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 ， 即 恒成立，当且仅当 时取等号， 所以 ，当且仅当 时取等号. 1 ln 2a > + ( )1 ln 2,+ +∞ ( )g x 1 1 ln 22g   = +   2 ln 1 ln 2x x− ≥ + 1 2x = 1 212 ln e ln 22 x x x x − + − ≥ + +   1 21 e 12 x x − + + ≤   ( ) 1 21 e2 x x xϕ − + = +   ( ) 1 1 2 21e e2 x x x xϕ − + − + ′ = − +   1 21 e2 x x − + = −   ( ) 0xϕ′ = 1 2x = 10, 2x  ∈   ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ ( ) 1 1 2 21 1 1 e 12 2 2xϕ ϕ − +   ≤ = + =       1 21 e 12 x x − + + ≤   1 2x = 1 212 ln e ln 22 x x x x − + − ≥ + +   1 2x =