冲刺2020高考数学（理）之少丢分题目强化卷（新课标版解析版4）

1 / 16 冲刺 2020 高考数学之少丢分题目强化卷 【新课标版】 专题 04 一模精选（第 4 卷） 题号 题型 试题来源 考点阐述 1 选择题 1 2020 届江西省名师联盟高三入学调研考 试数学试题 复数运算，复数的几何意义 2 选择题 2 河南省名校联盟 2020 高三数学试卷 集合的运算 3 选择题 3 2020 江西省南昌市高三数学试卷 三角恒等变换 4 选择题 4 2020 届广东省清远市高三数学试题 函数的性质，比较大小 5 选择题 5 2020 届湖南省高三第六 次月考数学试题 排列，古典概型 6 选择题 6 2020 届湖南省高三第六 次月考数学试题 空间中的线面关系 7 选择题 7 广东省清远市 2020 届高三数学试题 函数图象判断 8 选择题 8 2020 届吉林省高三第二次模拟数学试题 正弦定理，余弦定理 9 选择题 9 山东省德州市 2020 高三数学试题 双曲线的性质 10 选择题 10 2020 届安徽省六安市第一中学高三下学 期模拟卷(六)数学试题 三角函数的图象性质 11 填空题 13 2020·黑龙江实验中学高三开学考试 函数的单调性 12 填空题 14 2020 届吉林省高三网上模拟考 数学试题 简单的线性规划 13 填空题 15 四川省雅安市雨城区雅安中学 22020 学年 直线与抛物线、圆的位置关系 2 / 16 数学试题 14 第 17 题 2020 届湖南省高三第六 次月考数学试题 正弦定理、余弦定理、基本不等式 15 第 18 题 2020 届福建省漳州市高三 3 月第二次高 考适应性测试数学试题 统计案例，随机变量的分布列与期望 16 第 19 题 广东省汕头市 2020 数学试题 面面垂直的性质，线面角 17 第 22 题 2020 届安徽省六安市第一中学高三下学 期模拟卷(六)数学试题 坐标系与参数方程，点到直线的距离 18 第 23 题 2020 届吉林省高三网上模拟考 数学试题 绝对值不等式的解法，基本不等式 1.已知复数 ，则 在复平面上对应的点所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 ， ， 在复平面对应的点的坐标为 ，所在象限是第四象限. 故选：D 2.已知集合 或 ，集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2z i= + 1 z i+ 2z i= + 2 1 3 1 1 2 2 z i ii i −∴ = = −+ + 1 3,2 2  −   { 1A x x ≤= − }1x ≥ { }0 1B x x= < < { }1A B∩ = RA B A∩ = ( ) ( ]R 0,1A B∩ = A B = R 3 / 16 故 A 错； 故 B 正确； ； ；故选 B. 3.若 α∈ ，且 ，则 的值等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， . 4.已知 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 单调递减，故 . 又 ， 所以 . 故选：B. 5.甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相， 基本事件总数 n ， 1 B∉ { }R 0 1B x x x= ≤ ≥或 ( ) ( ]R 0,1A B∩ ≠ RA B∪ ≠ 0, 2 π     2 1sin cos2 4 α α+ = tanα 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 cos 1 1sin cos2 sin cos 1 tan 4 αα α α α α+ = = =+ + tan 3α = 0.6 0.6 0.5log 0.5, 0.5 , log 6a b c= = = , ,a b c a b c< < c b a< < a c b< < b c a< < 0.6logy x= 0,6 0.6log 0.5 log 0.6 1a = > = 0.6 0.50 0.5 1, log 6 0b c< = < = < c b a< < 5 6 1 2 1 3 2 3 4 4 24A= = 4 / 16 甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数 m 20， ∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为： P . 故选：A. 6.在空间中，a，b，c 是三条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A．若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b B．若 a⊂α，b⊂β，α⊥β，则 a⊥b C．若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b D．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β 【答案】D 【解析】对于 A，若 ， ，则 a 与 b 可能平行、异面、相交，故 A 是假命题； 对于 B，设 ，若 ， 均与 平行，则 ，故 B 是假命题； 对于 C， ， 可能平行、异面、相交，故 C 是假命题； 对于 D，若 ， ，则 与 没有公共点，则 ，故 D 是真命题. 故选： 7.函数 f（x） 在[﹣π，π]上的图象大致为( ) A． B． 4 2 2 4 2 2A A A= − = 20 5 24 6 m n = = = a c⊥ b c⊥ mα β = a b m / /a b a b / /α β a α⊂ a β / /a β D 3 22 x x cosx x = + 5 / 16 C． D． 【答案】A 【解析】由于 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，由此排除 BC 选 项.由于 ，故 D 选项错误.正确的为 A. 故选：A 8.设 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ．已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在 中， 由 所以 ①，又 ② 由①②可知： 又 ③ 把①代入③化简可得： ( ) ( )3 2 cos 2 x x xf x f x x − = − = − + ( )f x ( ) 3 3 2 2 cos 02 2f π π π π ππ π π ×= = − > 2 2 2 2 1 (a 0,b 0)2 x y a b − = > > 2 2 2 2 1(a 0,b 0 2 2 )x y a b − = > > 2 2 2 21 1 2 2a b a b− = + 2 23a b= 3 3 b a = 32 3 2 b a = 2 2 3 3 b xy xa ± = ±= ( ) ( )sin 03f x x πω ω = − >   4 π 2x π= 7 / 16 当 取到最小值时，函数 的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 的图象向右平移 个单位， 得到 ， 因为 图象关于 对称， 所以 ， ， 整理得 ， ， 因为 ，所以当 时， 的最小值为 ， 所以 ， ， ， 解得 ， ， 所以 的单调增区间为 . ω ( )f x ( )3 3,20 10 4 10k k k π ππ π − ∈  + + Z ( )3 11 3,4 10 20 10k k k π ππ π  ∈  + + Z ( )3 3,20 5 4 5k k k π ππ π − ∈  + + Z ( )3 11 3,4 5 20 5k k k π ππ π  ∈  + + Z ( ) ( )sin 03f x x πω ω = − >   4 π ( ) sin 4 3g x x π πω  = − −     ( )g x 2x π= 2 4 3 2k π π π πω π − − = +   k ∈Z 104 3kω = + k ∈Z 0>ω 0k = ω 10 3 ( ) 10sin 3 3f x x π = −   102 22 3 3 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + k ∈Z 3 3 20 5 4 5k x k π ππ π− ≤ ≤+ + k ∈Z ( )f x ( )3 3,20 5 4 5k k k π ππ π − ∈  + + Z 8 / 16 故选：C. 11.已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 在 上恒成立， 则 ， 令 ， ， 知 在 上单调递增， 故 . 故答案为： . 12.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是________． 【答案】 【解析】根据题意，如图所示，画出可行域与目标函数线， ( ) e lnxf x a x= − [1,2] a ( ,e]−∞ ( ) 0x af x e x −′ = ≥ [1,2] min( )xa xe≤ ( ) exg x x= ( ) ( 1)exg x x= +′ ( )g x [1,2] a e≤ ( ],e−∞ x y 1 0 1 0 3 x y x y x − + ≥  + + ≥  ≤ 2 3z x y= − 6− 9 / 16 由 ，得 ， 由图可知目标函数在点 取最小值 ． 故答案为： . 13.已知直线 经过抛物线 的焦点 ，与抛物线交于 、 ，且 ，点 是弧 （ 为原点）上一动点，以 为圆心的圆与直线 相切，当圆 的面积最大时，圆 的标准方程为_____． 【答案】 【解析】抛物线的标准方程为 ，抛物线的焦点坐标为 ， 直线 的斜率 ， 所以，直线 的方程为 ，即 . 当点 到直线 的距离最大时，圆 的面积最大，如下图所示： 设点 ， 点 在直线 的下方，则 ， 点 到直线 的距离为 ，当 时， 取最大值 ， 1 0 3 x y x − + =  = 3 4 x y =  = (3,4)A 2 3 3 4 6z = × − × = − 6− l 2 : 4 xC y = F A B 8A Bx x+ = D AOB O D l D D ( ) ( )2 24 4 5x y− + − = 2 4x y= ( )0,1F AB ( )2 21 4 24 A B A B A B A B A B x xy y x xk x x x x −− += = = =− − l 2 1y x= + 2 1 0x y− + = D l D 2 , 4 tD t       D l 2 2 1 02 tt − + > D l ( )2 212 1 5 44 4 5 5 tt t d − + − − = = 4t = d 5 10 / 16 此时，点 的坐标为 ，因此，圆 的标准方程为 . 故答案为： . 14.△ABC 中,角 A､B､C 的对边分别为 a､b､c,已知(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC. （1）求角 A 的大小； （2）求 的取值范围. 【解析】（1）∵ 由正弦定理可得： 化为 b2+c2﹣a2=bc， 由余弦定理可得： ， ∵A∈(0,π)， ∴A . （2）∵A ， ∴a2=b2+c2﹣bc ( )2 ， ∴( )2≤4， ∴ 2，可得 的最大值为 2， 又 ， ∴ 的取值范围为(1,2]. D ( )4,4 D ( ) ( )2 24 4 5x y− + − = ( ) ( )2 24 4 5x y− + − = b c a + ( )( ) ( ) .a b sinA sinB c b sinC+ =﹣ ﹣ ( )( ) ( ) .a b a b c b c+ − = − 2 2 2 1 2 2 b c acosA bc + −= = 3 π= 3 π= 2( ) 2 b c+≥ − 2 b c+ 2( ) 4 b c+= b c a + b c a + ≤ b c a + b c a+ > b c a + 11 / 16 15.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改 善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应 届高三的全体 800 名学生中随机抽取了 100 名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图. （1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以上的人数； （2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行 了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操 有关系？ （3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取 8 人，进一步调查他们良 好的护眼习惯，在这 8 人中任取 2 人，记坚持做眼保健操的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望. 附： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【解析】（1）由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后三组的频数成等差数列，共有 （人） 所以后三组频数依次为 24，21，18， 所以视力在 5.0 以上的频率为 0.18， ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2K k≥ ( )100 3 7 27 63− + + = 12 / 16 故全年级视力在 5.0 以上的的人数约为 人 （2） ， 因此能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为视力与眼保健操有关系. （3）调查的 100 名学生中不近视的共有 24 人，从中抽取 8 人，抽样比为 ，这 8 人中不做眼保健操 和坚持做眼保健操的分别有 2 人和 6 人， X 可取 0，1，2， ， X 的分布列 X 0 1 2 P X 的数学期望 16.如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形，且 平面 ， ， 是 中点， 是 上的点. （1）求证：平面 平面 ； （2）若 是 的中点，当 时，是否存在点 ，使直线 与平面 的所成角的正弦 800 0.18 144× = ( )2 2 100 44 18 32 6 150 7.895 7.87950 50 76 24 19 × × − ×= = ≈ >× × ×k 8 1 24 3 = ( ) ( ) ( )0 2 1 1 2 0 6 2 6 2 6 2 2 2 2 g 8 8 1 12 3 150 , 1 , 228 28 7 28 ⋅= = = = = = = = = =C C C C C CP X P X P XC C C 1 28 3 7 15 28 ( ) 1 12 150 1 2 1.528 28 28E X = × + × + × = P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 60ABC∠ =  E BC F PC AEF ⊥ PAD M PD AB AP= F EM AEF 13 / 16 值为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接 ，因为底面 为菱形， ，所以 是正三角形， 是 的中点， ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ． （2） 以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 ，则 ， 则 ，设 ， 则 ，又 ， 设 是平面 的一个法向量，则 ， 取 ，得 ， 设直线 与平面 所成角为 ，由 ，得： ． 化简得： ，解得 或 ， 故存在点 满足题意，此时 为 或 ． 1 5 PF PC AC ABCD 60ABC∠ = ° ABC E BC AE BC∴ ⊥ / / ,AD BC AE AD∴ ⊥ PA ⊥ ABCD AE ⊂ ,ABCD PA AE∴ ⊥ ,PA AD A AE∩ = ∴ ⊥ PAD AE ⊂ AEF AEF ⊥ PAD A 2AB AP= = 3AE = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 3,1,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 3,0,0 , 0,1,1A C D P E M ( )3,1, 2PF PCλ λ= = −  ( ) ( ) ( )0,0,2 3,1, 2 3 , ,2 2AF AP PF λ λ λ λ= + = + − = −   ( )3,0,0AE = ( ), ,n x y z= AEF ( ) 3 0 3 2 2 0 n AE x n AF x y zλ λ λ  ⋅ = = ⋅ = + + − =   z λ= 0 2 2,n λ λ= − （ ， ） EM AEF θ ( )3,1,1EM = − ( )2 2 3 2 1sin cos , 55 2 2 EM n EM n EM n λθ λ λ ⋅ −= = = = ⋅ ⋅ − +      210 13 4 0λ λ− + = 1 2 λ = 4 5 λ = F PF PC 1 2 4 5 14 / 16 17.在平面直角坐标系 中曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半 轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程； （2）将曲线 向左平移 2 个单位，再将曲线 上的所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到曲线 ， 求曲线 上的点到直线 的距离的最小值. 【解析】（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） 所以 ，两式平方后相加得 ， 即曲线 的普通方程为： . 直线 的极坐标方程为 ， 即 ， 因为 ， 所以直线 的直角坐标方程为： （2）曲线 ： 向左平移 2 个单位， 得到 ， xOy C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ O x l cos 10 04 πρ θ + + =   C l C C 1 2 1C 1C l C 2 2cos 2sin x y θ θ = +  = θ 2 2cos 2sin x y θ θ − =  = ( )2 22 4x y− + = C ( )2 22 4x y− + = l cos 10 04 πρ θ + + =   2 2cos sin 10 02 2 ρ θ ρ θ− + = cos sin 2 5 0ρ θ ρ θ− + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = l 2 5 0x y− + = C ( )2 22 4x y− + = 2 2 4x y+ = 15 / 16 再将曲线 上的所有点的横坐标缩短为原来的 得到 ， 即曲线 ； 所以曲线 的参数方程为 （ 为参数)， 设曲线 上任一点 ， 则点 到直线 的距离为： 则 (其中 )， 当 时， 取最小值，为 所以点 到直线 的距离的最小值为 . 18.设函数 （1）当 时，解不等式 ； （2）求证： 【解析】（1）当 a＝1 时，不等式 f（x）≥1 等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥1， 当 x≤﹣1 时，不等式化为﹣x﹣1+x﹣1≥1，原不等式无解， 当﹣1＜x＜1 时，不等式化为 x+1+x﹣1≥1，解得 x＜1， 当 x≥1 时，不等式化为 x+1﹣x+1≥1，解得 x≥1， C 1 2 2 24 4x y+ = 2 2 1 : 14 yC x + = 1C cos 2sin x y θ θ =  = θ 1C ( )cos ,2sinP θ θ P l ( )cos 2sin 2 5 2 5 5 sin 2 2 d θ θ θ ϕ− + − + = = 1tan 2 ϕ = − ( )sin 1θ ϕ+ = d 10 2 P l 10 2 ( ) [ ]( )2 0,2f x x a x a a= + − − − ∈ 1a = ( ) 1f x ≥ ( ) 2f x ≤ 1 2 ≤ 16 / 16 综上所述，不等式的解集为[ ，+∞）； （2）f（x）＝|x |﹣|x |≤|（x ）﹣（x ）| ， ∵a∈[0，2]， ∴a+2﹣a≥2 ， ∴2[a+（2﹣a）]≥（ ）2， ∴（ ）2≤4， ∴ 2， ∴f（x）≤2． 1 2 a+ 2 a− − a+ 2 a− − 2a a= + − ( )2a a− 2a a+ − 2a a+ − 2a a+ − ≤