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冲刺 2020 高考数学之少丢分题目强化卷 【新课标版】
专题 10 一模精选（第 10 卷）
题号 题型 试题来源 考点阐述
1 选择题 1 2020 届湖南省高三第六
次月考数学试题
集合运算
2 选择题 2 2020 届陕西省高三下学期第三
次模拟考试数学试题
复数运算、复数的几何意义
3 选择题 3 重庆市 2020 学年高三第五次教
学质量检测考试数学
指数函数、对数函数的性质，比较大小
4 选择题 4 江西省上饶市 2020 高三数学试题 空间中的线面关系
5 选择题 5 辽宁省大连市 2020 高三数学试题 函数的单调性
6 选择题 6 辽宁省沈阳市 2020 高三第
三次模拟考试数学试题
直线与圆的位置关系
7 选择题 7 河南、河北两省重点高中 2020 高三数学
试题
异面直线所成的角
8 选择题 8 2020 江西省名师联盟高三数学试题 三角函数图象性质
9 选择题 9 山西省临汾市 2020 高三下学期模拟考试
（2)数学试题
三角恒等变换
10 选择题 10 2020 届山西省校高三检
测数学试题
分段函数、零点
11 填空题 13 湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联
盟 2020 高三数学试题
导数几何意义 2 / 15
12 填空题 14 广东省清远市 2020 高三数学试题 等差数列的性质，等比数列求和
13 填空题 15 2020 湖北省荆门高三数学试题 双曲线的性质、圆的性质
14 第 17 题 山东省泰安市 2020 高三数学试题 等差数列的性质，等比数列的性质
15 第 18 题 2020 吉林省高三第二次模拟数学试题 频率与概率，统计案例
16 第 19 题 2020 湖北高三数学试题 线面垂直的判定，线面角，空间距离
17 第 22 题 2020 广东省清远高三数学试题 坐标系与参数方程，直线与圆的位置关系
18 第 23 题 陕西省宝鸡 2020 高三数学试题 绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义
1.已知集合 A={x∈N|x≤3},B={x|﹣1≤x≤5},则 A∩B=( )
A．{1,2,3} B．{0,1,2} C．{0,1,2,3} D．{﹣1,0,1,2,3}
【答案】C
【解析】∵集合 A={x∈N|x≤3}={0,1,2,3}，
B={x|﹣1≤x≤5}，
∴A∩B={0,1,2,3}.
故选：C.
2.已知复数 的实部不为 0，且 ，设 ，则 在复平面上对应的点在（ ）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】设 ，
因为 ，所以 ，
z 1z = 1z z
ω = + ω
z x yi= +
1z = 2 2 1x y+ = 3 / 15
所以 ，
所以 在复平面上对应的点坐标为 ，
又因为复数 的实部不为 0，
所以 在复平面上对应的点在实轴上
故选：A
3.已知 , , ,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 根据 图像可知:
又 ,
根据 图像,由
综上所述, .
故选:C.
4.已知 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则以下结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】C
2 2
1 21 x yix yi x yi x yi x yi xx yiz yz x
ω −+ + = + + = + + − =+= += +
ω ( )2 ,0x
z
ω
0.2loga π= 0.2b π= 0.2c π=
a b c< < c b a< <
a c b< < b c a< <
0.2logy x= 0.2log 0a π= <
0.2 1b π= >
0.2xy = 0.2c π=
∴ 0 1c< <
a c b< <
α β
m α⊥ βn// α β⊥ m n⊥ //m α βn// //α β //m n
//m α n β⊥ //α β m n⊥ m α⊥ n β⊥ α β⊥ //m n 4 / 15
【解析】 ， 或 ，又 可能互相平行， 错误；
当 ， ， 时， 可能平行、相交或异面， 错误；
， ，又 ， 正确；
若 ， ， ， 可能相交或异面， 错误.
故选：
5.若函数 在区间 上单调递减，则 a 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在区间 上单调递减，
在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
，
．
故选：D．
6.已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交于 A，B 两点，则当 面
积最大时，直线 的斜率 （ ）
A．1 B．6 C．1 或 7 D．2 或 6
【答案】C
【解析】圆可化标准方程： 直线可变形为 ，即圆心为（1，0），半径 r=1,
m α⊥ α β⊥ //m β∴ m β⊂ βn// ,m n∴ A
//m α βn// //α β ,m n B
n β⊥ //α β n α∴ ⊥ //m α n m∴ ⊥ C
m α⊥ n β⊥ α β⊥ ,m n D
C
( )3 1y x ax a R= + + ∈ ( )3, 2− − （ ）
[ )1, ∞+ [ )2,0− ( ], 3∞− − ( ], 27∞− −
( )3 1y x ax a R= + + ∈ ( )3, 2− −
2' 3 0y x a∴ = + ≤ ( )3, 2− −
23a x≤ − ( )3, 2− −
( )23 27, 12x− ∈ − −
27a∴ ≤ −
C 2 22 0x x y− + = : 2 2 0l kx y k− + − = C ABC∆
l k =
2 2( 1) 1,x y− + = ( 2) 2y k x= − + 5 / 15
直线过定点（2，2），由面积公式
所以当 时，即点到直线距离为 时取最大值． ，解得 k=1 或 7,选 C.
7.在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ， ，如图：
又 ，则 为异面直线 与 所成的角.
因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选 C
21 1 1sin sin ,( )2 2 2ABCS r ACBθ θ θ∆ = = ≤ ∠ =
2
πθ = 2
2 2
2 2
21
kd
k
− += =
+
1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = 1AC 1 1A B
30° 45° 60° 90°
1AC 1BC
1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B
AB BC⊥ ， 1AB CC⊥ ， AB ⊥ 1 1BCC B
1AB BC⊥
2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2
1 2 2 2 2 3BC = + =
1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = ° 6 / 15
8.函数 （其中 ， ， ）的图象如图所示，为了得到 的图
象，只需把 的图象上所有点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】由题意知 ，由于 ，故 ，
所以 ， ，
由 ，求得 ，
故 ，
，
故需将 图像上所有点向左平移 个单位长度得到 .
故选：B
9.已知 满足 ，则 （ ）
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0>ω
2
πϕ < ( )y f x=
( ) 1 3sin cos2 2g x x xω ω= −
6
π
3
π
6
π
3
π
1A = 7
4 12 3 4
T π π π= − = 2T
π πω= =
2ω = ( ) sin(2 )f x x ϕ= +
2sin 03 3f
π π ϕ = + = 3
πϕ =
( ) sin 2 sin 23 6f x x x
π π = + = +
( ) 1 3sin cos2 2x xg x ω ω= − sin 2 6x
π = −
( )g x 3
π ( )f x
α 2sin( )4 6
πα + =
2tan 1
2tan
α
α
+ = 7 / 15
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，
即 ，
平方可得 ，
即 ，
故 .
故选：B
10.已知函数 ，则 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】令 ，则 的零点，
转化为 ，
而 ，解得 ， ，
所以 ，
即 时， ，得 ，
9
8
9
8
− 3−
2sin( )4 6
πα + = 2 2(sin cos )2 6
α α+ =
1sin cos 3
α α+ =
11 2sin cos 9
α α+ =
8sin2 9
α =−
2
2 2
sin 1tan 1 1 1 9cos
2sin2tan 2sin cos sin2 8
cos
α
α α
αα α α α
α
++ = = = = −
( )
2
1, 0
log , 0
x xf x x x
+ ≤= >
( ) 1y f f x= +
( )f x t= ( ) 1y f f x= +
( ) 1 0f t + =
( )
2
1, 0
log , 0
t tf t t t
+ ≤= > 1 2t = − 2
1
2t =
( ) 1 2f x t= = −
0x ≤ 1 2x + = − 3x = − 8 / 15
时， ，得
，
即 时， ，得 ，
时， ，得 .
所以 有 4 个零点.
故选：A.
11.设函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是___________．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，
即曲线 在点 处的切线方程是 ，即 ，
故答案为 .
12.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 a1=1，an an+1=2n，则 S15=_____.
【答案】509
【解析】由于 ， ，所以
0x > 2log 2x = − 1
4x =
( ) 2
1
2f x t= =
0x ≤ 11 2x + = 1
2x = −
0x > 2
1log 2x = 2x =
( ) 1y f f x= +
( ) 3ln 2f x x x x= + ( )y f x= ( )1,2
7 5 0x y− − =
( ) 3ln 2f x x x x= +
( )' 2ln 1 6f x x x= + +
( )' 21 ln1 1 6 1 7f = + + × =
( )y f x= ( )1,2 2 7( 1)y x− = − 7 5 0x y− − =
7 5 0x y− − =
⋅
1 11, 15n na a a += ⋅ = 1
2n
n
n
a a+ = 9 / 15
，所以
.
故答案为：
13.已知双曲线 的离心率为 则它的一条渐近线被圆 所截得
的弦长等于_____.
【答案】4
【解析】因为双曲线 的离心率为 ，即 ，所以 ，
所以 ，故双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
又圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心到任一条渐近线的距离为 ，
因此，弦长为 .
故答案为 4
14.已知等差数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 中， ， ，从数列 中取出第 项记为 ，若 是等比数列，求
的前 项和 ．
2 3 4 13 14
2 2 7 7
2 3 4 5 14 152 6 7
2 2 2 2 2 22, 2, 2 , 2 , , 2 , 21 2 2 2 2 2a a a a a a= = = = = = = = = = = =
( ) ( )7
2 7
15
2 1 2
1 2 2 2 2 1 2 1 2S
× −
= + × + + + = + × − 509=
509
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3
3
⋅ ( )2 24 8x y+ + =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 3
3
2 3
3
c
a
=
2 2
2
4
3
a b
a
+ =
3
3
b
a
= 3
3y x= ± 3 3 0x y± =
( )2 24 8x y+ + = ( )4 0− ， 2 2r =
4 3
2
3 9
d
−
= =
+
2 22 4r d− =
{ }na ( ) ( ) ( ) ( )( )*
1 2 2 3 n n 1a a a a a a 2n n 1 n N++ + + +…+ + = + ∈
{ }na
{ }nb 1b 1= 2b 2= { }na nb nc { }nc { }nb
n nT 10 / 15
【解析】（1）差数列 满足 ，
可得 ， ，
设等差数列的公差为 d，可得 ， ，
解得 ， ，
则 ；
（2）由题意可得 ， ，
可得数列 的公比为 3， ，
由 ，
可得 ，
的前 n 项和
．
15.为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级 名
学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：
（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；
（2）能否认为在犯错误的概率不超过 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？
{ }na ( ) ( ) ( ) ( )( )*
1 2 2 3 n n 1a a a a a a 2n n 1 n N++ + + +…+ + = + ∈
1 2a a 4+ = 1 2 2 3a a a a 12+ + + =
12a d 4+ = 14a 4d 12+ =
1a 1= d 2=
( )na 1 2 n 1 2n 1= + − = −
11 b 1c a a 1= = =
22 b 2c a a 3= = =
{ }nc n 1
nc 3 −=
nn b nc a 2b 1= = −
( )n 1
n
1b 1 32
−= +
{ }nb ( )n 1
n
1 1T 1 3 3 n2 2
−= + +…+ +
n n1 1 3 1 3 1 2nn2 1 3 2 4
− − += ⋅ + =−
100
0.01 11 / 15
附： ．
【解析】（1）由题可知：
“该中学一年级学生的近视”的人数为 50，
总数为 100，则利用样本估计总体思想可知：
该中学一年级学生的近视率：
（2）由题可知：
由
则
可以认为在犯错误的概率不超过 的前提下
认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.
16.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB=45°，PD⊥平面 ABCD，AP⊥BD.
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
50 1
100 2
=
100, 20, 35, 30, 15n a b c d= = = = =
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
2 100(20 15 35 30) 9.09 6.635(20 35)(30 15)(20 30)(35 15)K
× − ×= ≈ >+ + + +
0.01 12 / 15
（1）证明：BC⊥平面 PDB，
（2）若 AB ，PB 与平面 APD 所成角为 45°，求点 B 到平面 APC 的距离.
【解析】（1）证明：∵PD⊥平面 ABCD，BC 在平面 ABCD 内，BD 在平面 ABCD 内，
∴PD⊥BC，PD⊥BD，
又 AP⊥BD，AP∩PD=P，且 AP，PD 均在平面 APD 内，
∴BD⊥平面 APD，
又 AD 在平面 APD 内，
∴BD⊥AD，
又底面 ABCD 为平行四边形，
∴BC⊥BD，
又 PD∩BD=D，且都在平面 PBD 内，
∴BC⊥平面 PDB；
（2）由（1）知，PB 与平面 APD 所成角即为∠BPD，故∠BPD=45°，
又 AB ，∠DAB=45°，
∴ ， ，
∴AP2+PC2=AC2，即 AP⊥CP，
∴ ， ，
又 VP﹣ABC=VB﹣PAC，
2=
2=
1 1 1 2 1 2 3AD BD PD AP PC= = = = + = = + =， ， 12 1 54AC = + =
1 62 32 2APCS = × × =
1 2 11 22 2 2ABCS = × × × =
13 / 15
∴ ，即 ，解得 ，
即点 B 到平面 APC 的距离为 .
17.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
，（ 为参数）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐极方程为 ，直线 与曲线 和 分别交于不同于原点的 两点，求 的
值.
【解析】（1）由 得
两式平方相加，得 ，
又 ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）由
得
1 1
3 3ABC PACS PD S h⋅ = ⋅
1 612 2 h× = 6
6h =
6
6
xOy 1C
2
2
1 2,
22
x t t
y t t
= + +
= +
t 2C
2 2 cos ,
2 sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
2C
l 4
πθ = l 1C 2C ,A B | |AB
2 2 cos ,
2 sin ,
x
y
α
α
= +
=
2 cos 2,
2 sin ,
x
y
α
α
= −
=
2 2( 2) 2x y− + =
2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = =
2C 2 4 cos 2 0ρ ρ θ− + =
2
2
1 2,
22 ,
x t t
y t t
= + +
= +
2 2 2
2 2
1 14 2 , 2, 4y t x t xt t
= + + = + + 14 / 15
消去 ，得 ，
曲线 的极坐标方程为 .
设 ，
所以 ，
解得 ，
.
故 .
18.已知函数 .
（1）在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求 的最大值.
【解析】（1）
t 2 4 , 4y x x=
1C 2 2( sin ) 4 cos sin 4cos , 4 2ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ= ⇒ =
1 2, , ,4 4A B
π πρ ρ
1
2
4cos 4 4 2
sin 4
π
ρ π= =
( )22
2 2 22 2 2 2 0ρ ρ ρ− + = − =
2 2ρ =
1 2| | | 4 2 2 | 3 2AB ρ ρ= − = − =
3 2AB =
( ) 1 2 1f x x x= + + −
( )f x
( ,0]x∈ −∞ ( ) ( , )f x ax b a b R≤ + ∈ −a b
( ) 1 2 1f x x x= + + − 15 / 15
，
其图象如下图：
（2）若 ，由（1）知函数 的图象与 轴的交点的纵坐标为 3，
各部分所在直线的斜率的最小值为-3，
故当且仅当 且 时 时，不等式 恒成立，
所以 ，所以 ，
故 的最大值为-6.
3 1, 1
3, 1 1
3 1, 1
x x
x x
x x
− + < −
= − + − ≤
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