专题 3.4 高考模拟训练 4（理）
选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（2020·广东高三月考（理））已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·安徽高考模拟（文））已知 i 为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内
对应的点位于实轴上，则复数 的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
3．（2019·重庆市广益中学校高三月考（文））设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·重庆高三月考（文））函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·辽宁高三月考（文））新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理
四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与
甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（ ）
A．丙没有选化学 B．丁没有选化学
C．乙丁可以两门课都相同 D．这四个人里恰有 2 个人选化学
6．（2020·高三期末（文））2019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华
{ | ( 2)( 5) 0},M x x x= + − ≤ { }| 2xN y y= = M N =
(0,5] (0,2] [2,5] [2, )+∞
1
mi
i−
1− i−
1
24a
−= 1
2
1log 3b =
3log 2c =
a b c< < a c b< < c a b< < c b a< <
( )sinx xy e e x−= +民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素
之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步
伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有 6 位外国人，其中关注
此次大阅兵的有 5 位，若从这 6 位外国人中任意选取 2 位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的
概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·四川高三月考（理））已知平面向量 的夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角
是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·全国高三月考（文））执行如图所示的程序框图，如果输出的 ，那么在判断框内
的条件为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·高考模拟（理））设等差数列 的前n 项和为 ，若
（ ）
A．8 B．18 C． D．14
1
3
2
5
2
3
3
5
,a b π
3
1a = 2b = 2a b+ b
5π
6
2π
3
π
3
π
6
( )240,300a∈
5n ≤ 4n > 4n ≤ 5n >
{ }na nS 4 5 7 102, 14a S S a+ = = =，
14−10．（2020·广东高三期末（文））已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交
于 两点．若 ， ，则 的方程为（ ）.
A． B． C． D．
11．（2019·四川石室中学高三月考（文））设函数 ，下述四个结论：
① 是偶函数；
② 的最小正周期为 ；
③ 的最小值为 0；
④ 在 上有 3 个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
12．（2018·全国高三专题练习）（河南省洛阳市 2018 届三模）在三棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三
棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．（2019·北京四中高三月考（文））曲线 在点 处的切线方程为________．
14．（2019·黑龙江高考模拟（文））设等比数列 的前 项和为 .若 ，则
__________．
15．（2019·安徽高二期末（理））甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两
人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为 ，乙猜对每个谜语的概率为 ，甲、乙在猜谜语这件事
上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为 __________
C 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2F C
,A B 2 23AF BF= 1 25BF BF= C
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
( ) cos 2 sinf x x x= +
( )f x
( )f x π
( )f x
( )f x [ ]0,2π
( ) 2xf x xe= + ( )( )0, 0f
{ }na n nS 6 37S S= − 4 3
3 2
a a
a a
+ =+
3
4
2
316．（2016·福建高考模拟（理））已知퐹1、퐹2分别是双曲线푥2
푎2 ― 푦2
푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左右焦点，若在双曲线
的右支上存在一点푀，使得(푂푀 + 푂퐹2)퐹2푀 = 0（其中푂为坐标原点），且|푀퐹1| = 3|푀퐹2|，则双曲线离心
率为_____．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21 题为必考题，每个
考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17．（2019·全国高三月考（文））在 中，角 所对的边分别为 .已知
.
（1）若 ，求 的周长；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围.
18．（2017·黑龙江高三期中（理））在正三棱柱 中， ，
点 为 的中点.
（1）求证： 平面 .
（2）若点 为线段 上的点，且满足 ，若二面角 的余弦值为 ，求实数
的值.
19．（2020·湖南高三期末（理））设 是曲线 上两点， 两点的横坐标之和为
4，直线 的斜率为 2.
（1）求曲线 的方程；
（2）设 是曲线 上一点，曲线 在 点处的切线与直线 平行，且 ，试求三角形
的面积.
20．（2019·广东高三期末（文））已知函数 ， .
ABC∆ A B C， ， a b c， ，
cos (2 )cos , 3b C a c B b= − =
2c = ABC∆
ABC∆ a c−
1 1 1ABC A B C− 12, 3AB AA= =
D BC
1 //A B 1AC D
E 1AC 1 1A E ACλ= E AD C− − 10
10
λ
,P Q ( )2: 2 0C x py p= > ,P Q
PQ
C
M C C M PQ 25= −
PM QM
MPQ
( ) sin 1f x ax x= − − [0, ]x π∈（1）若 ，求 的最大值；
（2）当 时，求证： .
21．（2020·湖南高三月考（理））某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前
对产品进行检验．现有 （ 且 ）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验
次；（2）混合检验，将这 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这 份产品全部为正品，
因而这 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这 份产品究竟哪几份是次品，就要对这
份产品逐份检验，此时这 份产品的检验次数总共为 次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验
结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为 ．
（1）如果 ，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；
（2）现对 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当 和 满足什么关系时，用混合检验方式进
行检验可以减少检验次数？
（3）①当 （ 且 ）时，将这 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求
检验总次数 的数学期望；
②当 （ ，且 ， ）时，将这 份产品均分为 组，每组采用混合检验方式进行检
验，写出检验总次数 的数学期望（不需证明）．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（2019·陕西高三月考（文））在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数）.以
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与 ， 在第一象限分别交于 ， 两点， 为 上的动点.求 面积的最大值.
23．（2020·江西高三期末（理））已知 ， ， 为正数，且满足 .证明：
（1） ；
（2）
1
2a = ( )f x
2a π≤ ( ) cos 0f x x+ ≤
n n ∗∈N 2n ≥ n
n n
n n n
n 1n +
(0 1)p p< <
4n =
n n p
2n k= k ∗∈N 2k ≥ n
ξ
n mk= ,k m N ∗∈ 2k ≥ 2m ≥ n m
ξ
xOy 1C 2 7 cos
7 sin
x
y
α
α
= +
=
α O
x 2C 8cosρ θ= l
( )3
θ ρπ= ∈R
1C l
l 1C 2C A B P 2C PAB∆
a b c 1a b c+ + =
1
3ab bc ac+ + ≤
1 1 1 10a b ca b c
+ + + + + ≥
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