中考数学复习专题讲与练二次根式应用复习

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 二次根式应用 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1． =　_________　． + =　_________　． 例 2. =　_________　 例 3.计算： ﹣ =　_________　； 例 4. 计算：（﹣ ）2=　_________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 1．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 x=　_________　． 　 2． ， ， ， 四个二次根式中，是同类二次根式的是　_________　． 　 3．化简 =　_________　． 　 4．计算： =　_________　；． 　 5．化简： （ ﹣ ）﹣ ﹣| ﹣3|=　_________　． 　 6．计算（ ﹣2）×（ +2）的结果是　_________　． 　 7．计算：（ ﹣2）0+|2﹣ |﹣ × =　_________　． 　 8．若 p= ，q= ，则 =　_________　． 　 9．化简求值： =　_________　，其中 a= +1． 　 10．化简 的结果是　_________　． 　 11．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积是　 _________　．（结果保留根号） 　 12．若矩形长为 cm，宽为 cm，则此矩形的面积为　 _________　． 　 13．方程 + =2 的解是 x=　_________　． 　 14．若矩形的长和宽分别为 和 ，则矩形的对角线的长为　 _________　．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 15．直角三角形两直角边分别为（5+ ）cm，（5﹣ ）cm，则它的周长为　_________　， 面积为　_________　． 　 16．一个等腰三角形的周长为 ，一边长为 ，则它的底边长为　_________　． 　 17．已知矩形长为 cm，宽 为 cm，那么这个矩形对角线长为　_________　cm． 　 18．已知： ， ，则代数式 m2﹣mn+n2 的值为　_________　 　 19．等边三角形的边长为 ，则它的周长为　_________　． 　 20．设 a，b，c 是△ABC 的三边的长，化简 的结果是　_________　． 　 21．① =　_________　． ②（2 ）2=　_________　； 　 22．化简： =　_________　； 　 23．已知实数 x、y、a 满足： ，试问长 度分别为 x、y、a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果 不能，请说明理由． 　 24．如果一个三角形的三边的长分别为 a、b、c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式 S= （其中 p=（a+b+c））或其它方法求出这个三角形的面 积．试求出三边长分别为 的三角形的面积． 　 25．解方程：（ ﹣1）（ +1）x=4 ﹣2（x+2） 　 26．做一个底面积为 24cm2，长、宽、高的比为 4：2：1 的长方体；求： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体的表面积是多少？ （3）长方体的体积是多少？ 　 27．一个矩形的长减少 4 cm，宽增加 2 cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面 积相等，求这个矩形的面积． 　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 28．已知三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长为 c，化简 ． 　 29． 已知：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2 ﹣2，BC=2 ． （1）求 Rt△ABC 的面积； （2）求斜边 AB 的长． 　 30．设 a．b 为实数，且| ﹣a|+ =0 （1）求 a2﹣2 a+2+b2； （2）若满足上式的 a，b 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 　 二次根式应用参考答案 典题探究 例 1. = ． + = ． 例 2. ﹣ =2 ﹣ = 例 3. ﹣ =5 ﹣3 =2 ；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 4. （﹣ ）2=0.2． 演练方阵 1．解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴x2+3=5x﹣3， 整理得：x2﹣5x+6=0 解得：x1=2，x2=3． 故答案为：2 或 3． 　 2．解： = ， =5 ， =3 ， =5 ， ∴ ， 是同类二次根式． 故答案为 ， ． 　 3．解：原式=2× ﹣2 = ﹣2 =﹣ ． 　 4． × = = =4； 　 5．解： （ ﹣ ）﹣ ﹣| ﹣3| = ﹣3﹣2 ﹣（3﹣ ）， =﹣6． 　 6．解：原式=（ ）2﹣22 =3﹣4 =﹣1． 故答案为﹣1． 　 7．解：原式=1+2﹣ ﹣2 =1﹣天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 8．解：∵p= ﹣ ，q= + ， ∴p2+q2=（ ﹣ ）2+（ + ）2=16， pq=（ ﹣ ）（ + ）=2 ， 则+= = = ． 9．解：原式= + × = = = 当 a= 时，原式= = ． 　 10．解：∵ = × ， ∴ =2 ． 　 11．解：矩形内阴影部分的面积是 （ + ）• ﹣2﹣6=2 +6﹣2﹣6=2 ﹣2． 　 12．解：由矩形的面积公式可得： =25﹣18 =7． 　 13．解： + =2 （ + x）（ ﹣ ）﹣（ x）（ + ）=2 整理得 3 x+2 x+x=3 +2 +1天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解得 x=1． 14．解：矩形的对角线= ， = ， =2 ． 15．解：由勾股定理得，斜边= =2 cm， 所以，它的周长=5+ +5﹣ +2 =（10+2 ）cm， 面积=×（5+ ）×（5﹣ ）=×（25﹣3）=11cm2． 故答案为：（10+2 ）cm；11cm2． 　 16．解：12 =12×2 =24 ， ①10 是底边时，腰长=（24 ﹣10 ）=7 ， 能组成三角形， ②10 是腰长时，底边=24 ﹣10 ×2=4 ， 能组成三角形， 综上所述，它的底边长为 10 或 4 ． 故答案为：10 或 4 ． 　 17．解：根据题意得， 矩形对角线的长度等于 ． 即矩形的对角线的长度为 cm 　 18．解：由已知得 m+n=10，mn=（5+2 ）（5﹣2 ）=1， ∴m2﹣mn+n2=（m+n）2﹣3mn =102﹣3=97． 　 19．解：3（ ） =9+3 ． 故答案为： ． 　 20．解：原式=|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b| =|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|+|c﹣（a+b）| =b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c =a+b+c．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 21．① =　13　． ②（2 ）2=　12　； 　 22．化简： =　4　； 　 23．解：根据二次根式的意义，得 ， 解得 x+y=8， ∴ + =0， 根据非负数的意义，得 解得 x=3，y=5，a=4， ∴可以组成三角形，且为直角三角形，面积为 6． 　24．解：∵三边长分别为 ， ∴p=（a+b+c）=（ +3+2 ）= ∴S2= × × × =9 ∴S=3． 　 25．解：（ ﹣1）（ +1）x=4 ﹣2（x+2） 2x=4 ﹣2x﹣4 4x=4 ﹣4 x= ﹣1． 解方程：（ ﹣1）（ +1）x=4 ﹣2（x+2） 　 26．解：（1）设长方体的高为 x，则长为 4x，宽为 2x，由题意得 4x×2x=24 解得 x= ， 则 4x=4 ，2x=2 答：这个长方体的长、宽、高分别是 4 cm、2 cm、 cm． （2）（4 ×2 + ×4 +2 × ）×2 =（24+12+6）×2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ =42×2 =84（cm2） 答：长方体的表面积是 84cm2． （3）4 ×2 × =24 （cm3） 答：体积是 24 cm3． 　 27．解：设矩形的长为 xcm，宽为 ycm， 根据题意，得 ， 解这个方程组得： ， 所以，矩形的面积为 8 ×2 =16×3=48cm2 一个矩形的长减少 4 cm，宽增加 2 cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相 等，求这个矩形的面积． 　 28．解：由三边关系定理，得 3+5＞c，5﹣3＜c，即 8＞c＞2， = =c﹣2﹣（4﹣c）=c﹣2﹣4+c=c﹣6． 　 29．解：（1）Rt△ABC 的面积=AC•BC=×（2 ﹣2）×（2 +2）， =×[（2 ）2﹣22]， =×（12﹣4）， =×8， =4； （2）AB= ， = ， = ， =4 ． 　 30．解：（1）∵| ﹣a|+ =0，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ ﹣a=0，b﹣2=0， 解得 a= ，b=2， ∴a2﹣2 a+2+b2=（a﹣ ）2+b2=（ ﹣ ）2+22=4； （2）若 a 为腰，b 为底，此时底边上的高为 =1， 所以，三角形的面积为×2×1=1， 若 a 为底，b 为腰，此时底边上的高为 ， 所以，三角形的面积为× × =