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二次根式加减
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以
后，恐怕会吃不消的。”
“天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”
另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻
松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。
成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。
例 1: 化简： （x＞0）= _________ ．
例 2: 下列各式中哪些是同类二次根式： ， ， ，a ．
例 3：计算与化简
（1） ；
（2） ．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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例 4： （a≤1）
1．若最简根式 与 （c 为正奇数）是同类根式，则 _________ ．
2．在根式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，是同类二次根式的是
_________ （只填序号）．
3．已知最简二次根式 和 是同类根式，那么， b= _________ ．
4．已知最简二次根式 和 的和是一个二次根式，那么 b= _________ ，它们
的和是 _________ ．
5．请写出一个与 是同类二次根式但不相等的二次根式 _________ ．
6．若最简二次方根式 与 可以合并，则 ab 的值为 _________ ．
7．如果最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 有意义的 x 的取
值范围是 _________ ．
8．计算： 的结果是 _________ ．
9．有下列计算：
①（m2）3=m6，
② ，
③m6÷m2=m3，
④ ，
⑤ ，
其中正确的运算有 _________ ．
10．分解因式：﹣x3+2x2﹣x= _________ ；计算： = _________ ．
11．计算： = _________ ．
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12．先化简 ﹣（ ﹣ ），再求得它的近似值为 _________ （精确到 0.01，
≈1.414， ≈1.732）．
13．分解因式：a2﹣a= _________ ；化简： = _________ ；计算：
（﹣2a）•（a3）= _________ ．
14．如图是由边长为 1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从
A⇒B⇒C 所走的路程为 _________ m．
15．已知 ，则 = _________ ．
16．下列运算正确的个数有 _________ 个．
①分解因式 ab2﹣2ab+a 的结果是 a（b﹣1）2；②（﹣2）0=0；③3 ﹣ =3．
17．计算：（﹣ab2）3= _________ ；
18．最简根式 与 能是同类根式吗？若能，求出 x、y 的
值；若不能，请说明理由．
19．下列各式中哪些是同类二次根式
， ， ， ， ， ，
20．已知最简根式 和 是同类根式，求 x，y 的值
21．若 a、b 都是实数，且 ，求 ab 的值．
22．先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：
如果 和 在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求 m、n 的
值．
解：因为 与 可以合并天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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所以 即
解得
问：
（1）以上解是否正确？答 _________ ．
（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．
23．设 x、y 是有理数，并且 x、y 满足等式 x2+2y+ y=17﹣4 ，求 x+y 的值．
24．计算：
25．计算：
26．计算： ﹣（cos30°）0
27．计算：
（1）解方程： =1﹣ ；
（2）计算： +（ ﹣1）+（）0．
28．（1）计算： = _________ ．
（2）如图，在△ABC 中，BC=6，则中位线 DE= _________ ．
29．计算与化简：
（1）﹣10a5b3c÷5a4b；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
30．计算与化简：
（1）
（2） （a＞0）天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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二次根式加减参考答案
典题探究
例 1：原式=2 +3 ﹣2 =3 ．
例 2 ： =2|ab| ， =|abc| ， = ，a = ，
故同类二次根式为： ，a ．
例 3：（1）原式= ﹣ = = =x+5；
（2）原式=3 ﹣5 +6 =4 ．
例 4 ： ，
= +1﹣a，
=2﹣a+1﹣a，
=1﹣2a．
演练方阵天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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1．解：∵最简根式 与 （c 为正奇数）是同类根式
∴
解得
∵c 为正奇数
∴a 为负奇数，b 为正奇数．
2．解：∵① =2 ，③ =a ，
∴①⑤是同类二次根式．
3．解：根据题意，得 2b+1=7﹣b，解得，b=2
4．解；由题意得：2b+1=7﹣b，
解得：b=2，
则 + =2 ．
故答案为：2，2 ．
5．解：由同类二次根式的被开方数相同可得 2 是 的一个同类二次根式．
故答案为：2 ．
6．解：由题意得，b+3=2，
7a+b=6a﹣b，
解得 a=2，b=﹣1，
所以，ab=2×（﹣1）=﹣2．
故答案为：﹣2．
7．解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴3a﹣8=17﹣2a，解得 a=5，
∴ = ，要使它有意义，则 2x﹣20≥0，即 x≥10．
8．解：原式= ﹣ = ．
故答案为： ．
9．解：∵（m2）3=m6，∴①正确；天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵ = =|2a﹣1|= ，∴②错误；
∵m6÷m2=m4，∴③错误；
∵ =3 ×5 ÷ =15 ÷ =15，
∴④正确；
∵ =4 ﹣2 +12 =14 ，
∴⑤正确．
∴正确的运算有：①④⑤．
故答案为：①④⑤．
10．解：①﹣x3+2x2﹣x
=﹣x（x2﹣2x+1）
=﹣x（x﹣1）2；
②原式=3 + ﹣4
=0．
故答案为：﹣x（x﹣1）2，0．
11．解：原式=3 ﹣4 + =0．
12．解：原式= ﹣（ ﹣ ）
= ﹣（ ﹣ ）
= ﹣ +
=3
≈3×1.732
≈5.196
≈5.20
13．解：a2﹣a=a（a﹣1）；
5 ﹣2 =（5﹣2） =3 ；
（﹣2a）•（a3）=﹣a4．
14．解：折线分为 AB、BC 两段，
AB、BC 分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得 AB=BC= = 米．天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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小明沿图中所示的折线从 A⇒B⇒C 所走的路程为 + = 米．
15．解：设 m= ，n= ，
那么 m﹣n=2①，m2+n2=34②．
由①得，m=2+n③，
将③带入②得：n2+2n﹣15=0，
解得：n=﹣5（舍去）或 n=3，
因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．
所以 =n+2m=13．
16．解：①ab2﹣2ab+a，
=a（b2﹣2b+1），
=a（b﹣1）2，故本小题正确；
②（﹣2）0=1，故本小题错误；
③3 ﹣ =2 ，故本小题错误；
综上所述，运算正确的是①共 1 个．
故答案为：1．
17．解：原式=﹣a3b6；
18．解：假设他们是同类根式，则： ，
解得 ，
∵当 时，x+y=﹣1，3x+y﹣2=﹣1，
∴两根式皆无意义，
∴假设错误，它们不能是同类根式．
19．解： =5 ， = ， =2 ， = ， = ，
故同类二次根式为： ， ， ， ； ， ；
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20．解：由题意得： ，
解得： ，
∴ ．
21．解：∵（1+ ）2=1+2 +2=3+2
∴a+b =3+2
∴a=3，b=2，
∴ab=9．
22．（1）不正确；
（2）
∵ 与 可以合并，
∴ 或 ，
解得， 或
故答案为：不正确
23．解：∵x、y 为有理数，
∴x2+2y 为有理数，
又∵x2+2y+ y=17﹣4
∴
∴y=﹣4，x=±5
当 x=+5 时，x+y=﹣4+5=1
当 x=﹣5 时，x+y=﹣4﹣5=﹣9．
24．解：原式= ．
25．解：原式=
=
=﹣1．
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26．解：原式=
= = ．
27．解：（1）方程两边同乘 x﹣2，得 2x=x﹣2+1，
解这个方程，得 x=﹣1，
检验：x=﹣1 时，x﹣2≠0，
则 x=﹣1 是原方程的解；
（2）原式=2 + ﹣1+1
=3 ．
28．解（1）原式=（5+3） ，
=8 ，
故答案为：8 ；
（2）∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=BC=×6=3，
故答案为：3．
29．解：（1）原式=[（﹣10）÷5]a5﹣4b3﹣1c=﹣2ab2c；
（2）原式=12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a=4a2﹣2a+1；
30．解：（1）原式= ，
= ；
（2）原式= ，
= ；
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