中考数学复习专题讲与练二次根式复习

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 二次根式 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1 . 二次 根 式 中 最简 二 次根 式是 　 _________　． 例 2. 计算 2x3•4x2=　_________　；数据 2，4，6，8 的中位数是　_________　 例 3. 的倒数是　_________　；分解因式 ab3﹣ab=　_________　；2008 年 8 月 8 日全球有 40 亿人欣赏了奥运会开幕式盛况，则 40 亿用科学记数法表示　_________　（保 留两个有效数字）． 例 4． =　_________　天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 1．已知 n 是一个正整数， 是整数，则 n 的最小值是（　　） A.3 B. 5 C.15 D.25 2.式子 、 、 、 中，有意义的式子个数为（　　） A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D.4 个 3. 若﹣1≤y≤2，则代数式 +y+1 有（　　） A.最大值 0 B.最大值 3 C.最小值 0 D.最小值 1 4. 下列各式中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 二次根式 的值是（　　） A. B. C. D.0 6. 若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） A. x＞1 B. x＜1 C. x≥1 D. x≤1 7. 式子 有意义的 x 的取值范围是（　　） A. x≥﹣且 x≠1 B. x≠1 C. D. 8．使代数式 有意义的 x 的取值范围是　_________　． 9．若 有意义，则 x 的取值范围为　_________　． 　 10．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 的化简结果为　 _________　． 　 11．对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算※如下：a※b= ，如 3※2= ．那么 12※4=　_________　． 12．已知 + 有意义，求 的值．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 13．如果 y= 1，求 2x+y 的值． 　 14．已知 ，求代数式 a2+b 的立方根． 　 15．若实数 a 满足|2013﹣a|+ =a，求 a﹣2013 的值． 　 16．计算： （1） ； （2）若实数 x、y 满足 ，求 x、y 的值． 　 17．已知|a|=6，b2=9，且 ab＜0，求 a+b 的值． 　 18．当 a 取什么值时，代数式 取值最小？并求出这个最小值． 　 19．若 是一个正整数，那么正整数 m 的最小值是多少？请探究． 　 20．若式子 有意义，则点 P（a，b）在第　_________　象限． 　 21．若实数 x，y 满足 ，求 的值． 　 22．计算：﹣22+ +|﹣3|﹣（3.14﹣π）0． 　 23．计算： + ×（ ﹣π）0﹣|﹣2 | 　 24．（1）计算： ； （2）解不等式组 　 25．计算题： ① ②（﹣4）2009×0.252009+（﹣0.125）2009×82008 ③12ab2（abc）4÷（﹣3a2b3c）÷[2（abc）3]天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ④（a+b﹣c）（a﹣b+c） 　 26．如图 1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且 a、b 满足 ． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若点 M 为直线 y=mx 在第一象限上一点，且△ABM 是等腰直角三角形，求 m 的值． （3）如图 3 过点 A 的直线 y=kx﹣2k 交 y 轴负半轴于点 P，N 点的横坐标为﹣1，过 N 点的 直线 交 AP 于点 M，给出两个结论：① 的值是不变；② 的值是不 变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值． 　 27．①0.1 + ； ②化简： + + ． 　 28．（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律： ① =　_________　，2 =　_________　． ② =　_________　，3 =　_________　． ③ =　_________　，4 =　_________　． （2）根据上述规律写出 与 5 的关系是　_________　； （3）请你将发现的规律用含自然数 n（n≥1）的等式表示出来　_________　． 　 29．观察与思考：形如 的根式叫做复合二次根式，把 变成 叫做复合二次根式的化简，请将下列复合二次 根式进行化简． （1） ； （2） ．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　 30．当 ，化简 ． 二次根式参考答案 典题探究 例 1 解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数， 第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数， 第三个根式为最简二次根式， 第四个根式为最简二次根式， 第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式， 第六个根式为最简二次根式， 故答案为 例 2. 解：2x3•4x2=8x5； x2 = =x ； 2，4，6，8 的中位数是（4+6）÷2=5 例 3．解：① 的倒数为 ， ； ②ab3﹣ab=ab（b2﹣1）=ab（b+1）（b﹣1）； ③40 亿=4000000000=4.0×109 例 4. 解：原式=|﹣9|=9．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 故答案为 9． 演练方阵 1. 解：∵ =3 ，若 是整数，则 也是整数； ∴n 的最小正整数值是 15；故选 C． 2．解： = 与 的被开方数小于 0，没有意义； = 与 的被开方数大于等于 0，有意义． 故有意义的式子有 2 个． 故选 B． 3．解：∵﹣1≤y≤2， ≥0， ∴ +y+1≥0+（﹣1）+1， 即 +y+1≥0． 故选 C． 4．解：A、∵﹣6＜0，∴它不是二次根式．故本选项错误； B、∵x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，∴它是二次根式．故本选项正确； C、当 a＜0 时，它不是二次根式．故本选项错误； D、它是三次根式，故本选项错误； 故选：B． 5．解：根据题意得： +1=2，解得：m=3， 则原式= = =2 ． 故选 C． 6．解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 故选：C 7．解：根据题意得，2x+1≥0 且 x﹣1≠0， 解得 x≥﹣且 x≠1． 故选 A． 8．解：根据题意得，2x﹣1≥0 且 3﹣x≠0， 解得 x≥且 x≠3． 故答案为：x≥且 x≠3． 9. 解：根据题意得：1﹣2x≥0 且 x+1≠0， 解得：x≤，且 x≠﹣1． 10．解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴ +a， =|a+b|+a，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ =﹣a﹣b+a， =﹣b， 故答案为：﹣b． 11．解：12※4= ==． 12．解：∵ + 有意义， ∴x﹣a≥0 且 a﹣x≥0， ∴x=a， ∴ ==2． 13．解：根据二次根式有意义的条件可得 x2﹣4≥0，4﹣x2≥0， 解得：x=±2， 则 y=1， 2x+y=2×2+1=5， 2x+y=2×（﹣2）+1=﹣3， 2x+y 的值 5 或﹣3． 14．解：∵ 、 有意义， ∴ ， 解得：a=6， ∴b=28， ∴a2+b=62+28=64， ． 则代数式 a2+b 的立方根为 4． 15．解：∵ 有意义， ∴a≥2014， ∴原式=a﹣2013+ =a， ∴ =2013，解得 a=4054183， ∴a﹣2013=4052170． 16．解：（1）原式=1+2+5=8； （2）由题意得 ， 解得 x=，当 x=时，y=2． ∴ ．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 17．解：∵|a|=6 ∴a=±6 ∵b2=9 ∴b=±3 ∵ab＜0 ∴a=6，b=﹣3 或 a=﹣6，b=3 ∴a+b=﹣6+3=﹣3 或 a+b=6﹣3=3． 18．解：∵ ≥0， ∴当 a=﹣时， 有最小值，是 0． 则 +1 的最小值是 1． 19．解：∵ 是一个正整数， ∴根据题意， 是一个最小的完全平方数， ∴m=5． 20．解：∵式子 有意义， ∴﹣a≥0，ab＞0， ∴a＜0，b＜0， ∴点 P（a，b）在第三象限． 故答案为三． 21．解：∵ 与 有意义， ∴x=1， ∴y＜1， ∴原式= =﹣1． 22．解：原式=﹣4+3 +3﹣1=3 ﹣2 23．解：原式=2 +2×1﹣2 =2． 24．解：（1）原式=3+1﹣3 =1． （2）由①得，x＜3， 由②得，x≥1， 故原不等式组的解集为：1≤x＜3． 故答案为：1；1≤x＜3． 25．解：①原式=6﹣1+= ． ②原式= =﹣1﹣=﹣． ③原式=12a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷[2a3b3c3] =（﹣4a3b3c3）÷（2a3b3c3） =﹣2． ④原式=[a+（b﹣c）][a﹣（b﹣c）]天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ =a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣（b2﹣2bc+c2） =a2﹣b2﹣c2+2bc． 26．解：（1）要使 有意义， 必须 a2﹣4≥0，4﹣a2≥0，a+2≠0， ∴a=2， 代入得：b=4， ∴A（2，0），B（0，4）， 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 代入得： ， 解得：k=﹣2，b=4， ∴函数解析式为：y=﹣2x+4， 答：直线 AB 的解析式是 y=﹣2x+4． （2）如图 2，分三种情况： ①如图 1，当 BM⊥BA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN⊥y 轴于 N， ∵BM⊥BA，MN⊥y 轴，OB⊥OA， ∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°， ∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°， ∴∠ABO=∠NMB， 在△BMN 和△ABO 中 ， ∴△BMN≌△ABO（AAS）， MN=OB=4，BN=OA=2， ∴ON=2+4=6， ∴M 的坐标为（4，6 ），天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 代入 y=mx 得：m=， ②如图 2 当 AM⊥BA，且 AM=BA 时，过 M 作 MN⊥x 轴于 N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出 M 的坐标为（6，2），m=， ③如图 4， 当 AM⊥BM，且 AM=BM 时，过 M 作 MN⊥X 轴于 N，MH⊥Y 轴于 H，则△BHM≌△AMN， ∴MN=MH， 设 M（x，x）代入 y=mx 得：x=mx， ∴m=1， 答：m 的值是或或 1． （3）解：如图 3，结论 2 是正确的且定值为 2， 设 NM 与 x 轴的交点为 H，过 M 作 MG⊥x 轴于 G，过 H 作 HD⊥x 轴，HD 交 MP 于 D 点， 连接 ND， 由 与 x 轴交于 H 点， ∴H（1，0）， 由 与 y=kx﹣2k 交于 M 点， ∴M（3，k），天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 而 A（2，0）， ∴A 为 HG 的中点， ∴△AMG≌△ADH（ASA）， 又因为 N 点的横坐标为﹣1，且在 上， ∴可得 N 的纵坐标为﹣k，同理 P 的纵坐标为﹣2k， ∴ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为﹣1、1 ∴N 与 D 关于 y 轴对称， ∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC， ∴PN=PD=AD=AM， ∴ =2． 27．解：①原式=0.1×20+= ； ②原式= =1． 28．解：（1）① = ，2 = ； ② =，3 =； ③ = ，4 = ； （2） = ，即相等； （3） =（n+1） ． 故答案为：（1）① ， ；②，；③ ， ；（2）相等；（3） = （n+1） ． 29．解：（1）原式= = = ﹣ = ﹣ ； （2）原式= = = = + =2+天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ． 30．解：原式= =|2x﹣1|， 当 ，2x﹣1＞0， 原式=2x﹣1．