厦门一中2019-2020学年高一下学期3月月考数学答案.pdf

1 厦门一中 2019 级高一(下)数学第一次月考参考答案 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：所给的数列每一项的分子都是 1，分母等于 2n，每一项的符号为（﹣1）n， 故此数列的一个通项公式是 ． 故选：B． 2．已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差 d 的值为（ ） A． B．1 C． D．﹣1 【解答】解：等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3， 由等差数列的通项公式，可得 解得 ，即等差数列的公差 d＝﹣1． 故选：D． 3．cos65°cos35°+sin65°sin35°等于（ ） A．cos100° B．sin100° C． D． 【解答】解：cos65°cos35°+sin65°sin35°＝cos（65°﹣35°）＝cos30°＝ ． 故选：C． 4．已知在△ABC 中，a＝4，b＝3，c＝ ，则角 C 的度数为（ ）2 A．30° B．45° C．60° D．120° 【解答】解：∵cosC＝ ＝ ，C ∈ （0°，180°）， ∴C＝60°． 故选：C． 5．已知数列{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn，且 a5＝5，则 S9＝（ ） A．25 B．90 C．50 D．45 【解答】解：根据题意，数列{an}为等差数列， 则 S9＝ ＝ ＝9a5＝45， 故选：D． 6．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在河岸边选定一点 C，测出 AC 的距 离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为（ ） A．100m B．50 m C．100 m D．200m 【解答】解：由正弦定理得 ＝ ，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°；B＝30°． ∴AB＝ ＝ ＝100， 故 A、B 两点的距离为 100m， 故选：A．3 7．正项等比数列{an}满足 a22+2a3a7+a6a10＝16，则 a2+a8＝（ ） A．﹣4 B．4 C．±4 D．8 【解答】解：根据题意，等比数列{an}满足 a22+2a3a7+a6a10＝16， 则有 a22+2a2a8+a82＝16，即（a2+a8）2＝16， 又由数列{an}为正项等比数列； 故 a2+a8＝4； 故选：B． 8．已知函数{an}的前 n 项和满足 Sn＝2n+1﹣1，则数列{an}的通项公式为（ ） A．an＝2n B．an＝2n C．an＝ D．an＝ 【解答】解：∵函数{an}的前 n 项和满足 Sn＝2n+1﹣1， ∴a1＝S1＝22﹣1＝3， n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n＝2n， ∴数列{an}的通项公式为 ． 故选：C． 9．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 ＝ ，则 ＝（ ） A． B． C． D．1 【解答】解：∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，4 ∴a1＝ d， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ． 故选：A． 10．如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD，2AB＝ BD，BC＝2BD，则 sinC 的值为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：设 BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝ a， 在△ABD 中，由余弦定理得：cosA＝ ＝ ＝ ， ∴sinA＝ ＝ ， 在△ABC 中，由正弦定理得， ＝ ，即 ＝ ， 解得：sinC＝ ， 故选：D． 二、多选题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 11．设{an}为等比数列，给出四个数列： ① {2an}； ② {an2}； ③ ； ④ {log2|an|}，其中一定为等 比数列的是（ ） A． ① B． ② C． ③ D． ④【解答】解：{an}为等比数列，设其公比为 q，则通项为 ，5 所以对于 ① ，2an 是以 2a1 为首项，以 q 为公比的等比数列， 对于 ② ， 为常数，又因为 ≠0，故 ② 为等比数列， 对于 ③ ， ＝ ，不一定为常数， 对于 ④ ， ＝ ，不一定为常数， 故选：AB． 12．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45° C．a＝6，b＝3 ，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30° 【解答】解：对于 A，∵b＝7，c＝3，C＝30°， ∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ＞1，无解； 对于 B，b＝5，c＝4，B＝45°， ∴由正弦定理可得 sinC＝ ＝ ＝ ＜1，且 c＜b，有一解； 对于 C，∵a＝6，b＝3 ，B＝60°， ∴由正弦定理可得：sinA＝ ＝ ＝1，A＝90°，此时 C＝30°，有一解； 对于 D，∵a＝20，b＝30，A＝30°， ∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ＜1，且 b＞a， ∴B 有两个可能值，本选项符合题意． 故选：BC． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．等比数列 an 中，a1＝2，q＝2，Sn＝126，则 n＝ 66 【解答】解：由 a1＝2，q＝2，得到 Sn＝ ＝ ＝126， 化简得：2n＝64，解得：n＝6． 14．若 tan α ＝ ，则 tan2 α ＝ 【解答】解：tan α ＝ ，则 tan2 α ＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 15．在等差数列{an}中，若 a3+a4+a5+a6+a7＝750，则 a2+a8＝300 【解答】解：由等差数列的性质可知 a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝750， ∴a5＝150， 则 a2+a8＝2a5＝300． 16．已知函数 f（x）＝sin（2x﹣ ），若方程 f（x）＝ 在区间（0， π ）内的解为 x1，x2（x1＜x2）， 则 sin（x1﹣x2）＝ 【解答】解：由 2x﹣ ＝k π + 得 x＝ + ， 当 k＝0 时，对称轴为 x＝ ， 当 k＝1 时，对称轴为 x＝ ， 由 f（x）＝ 得 x1，x2 关于 x＝ 对称． 则 x1+x2＝ ×2＝ ，x2＝ ﹣x1， 其中 sin（2x1﹣ ）＝ ，7 则 sin（x1﹣x2）＝sin（x1﹣ +x1）＝sin（2x1﹣ ）＝sin（2x1﹣ ﹣ ）＝﹣sin[ ﹣（2x1 ﹣ ）]＝﹣cos（2x1﹣ ）＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ， 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知数列{an}满足：a3＝﹣13，an＝an﹣1+4（n＞1，n ∈ N）． （1）求 a1，a2 及通项 an； （2）设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，则数列 S1，S2，S3，…中哪一项最小？并求出这个最小值． 【解答】解：（1）根据题意，数列{an}满足 an＝an﹣1+4，即 an﹣an﹣1＝4，则数列{an}是公差为 4 的 等差数列， 又由 a3＝﹣13，则 an＝a3+4×（n﹣3）＝4n﹣25，................................3 分 则 a2＝4×2﹣25＝﹣17，................................4 分 a1＝4﹣25＝﹣21；................................5 分 （2）根据题意，由（1）的结论，an＝4n﹣25， 分析可得：当 n≤6 时，an＜0，当 n≥7 时，an＞0， 即数列{an}的前 6 项为负值，从第 7 项开始为正值，................................8 分 故数列 S1，S2，S3，…中，S6 最小． ∵a6＝24﹣25＝﹣1 ∴S6= 662 )(6 61  aa ................................10 分 18．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acosC＝ csinA．8 （1）求 C； （2）若△ABC 的面积为 8，a＝4，求 b 的值． 【解答】解：（1）∵acosC＝ csinA，∴sinAcosC＝ sinCsinA．................................2 分 ∵sinA＞0，∴cosC＝ sinC，即 tanC＝ ．................................4 分 ∵0＜C＜ ，∴C＝ ．................................6 分 （2）由（1）可得 sinC＝ ，则 △ABC 的面积为 S＝ ab．................................9 分 ∵△ABC 的面积为 S＝8， ∴ ab＝8，即 ab＝32． ∵a＝4，∴b＝8．................................12 分 19．（12 分）已知 ， ， ， ． （Ⅰ）求 sin β 的值； （Ⅱ）求 的值． 【解答】解：（Ⅰ）已知 ， ， 所以 0＜ α + β ＜ π ．................................1 分 由于 ， ．整理得 ，sin（ α + β ）＝ ．................................3 分 所 以 sin β ＝ sin[ （ α + β ） ﹣ α ] ＝ sin （ α + β ） cos α ﹣ cos （ α + β ） sin α ＝ ＝ ．................................6 分 （Ⅱ）由于 ， 所以 tan ．................................8 分 所以 ＝ ＝2tan α ＝ ．................................12 分 20．（12 分）已知函数 f（x）＝ ．9 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若满足 f（B）＝2，a＝8，c＝5，求 cosA 的值． 【解答】解：（1）函数 f（x）＝ ＝ ，................................2 分 ................................4 分 令 （k ∈ Z），整理得 （k ∈ Z）， 所以函数的单调递增区间为[ ]（k ∈ Z）．................................6 分 （2）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若满足 f（B）＝2， 所以 ，解得：B＝ ．...............................8 分 由于 a＝8，c＝5，所以 b2＝a2+c2﹣2accosB＝49， 解得 b＝7，...............................10 分 所以 ．...............................12 分 21．（12 分）已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a3＝9，a2 是 a1，a7 的等比中项． （1）求{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足 ，求{bn}的前 n 项和 Sn． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为 d（d≠0）， 则 ...............................2 分 解得 d＝4 或 d＝0（舍去），a1＝1，...............................4 分 ∴an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3．...............................6 分 （2）∵ ，..............................9 分 ∴ ＝ ．...............................12 分10 22．（12 分）已知数列{an}满足 a1＝a，an+1＝1+ 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如 当 a＝1 时，得到无穷数列：1，2， ， …；当 a＝﹣ 时，得到有穷数列：﹣ ，﹣1，0． （1）求当 a 为何值时 a4＝0； （2）设数列{bn}满足 b1＝﹣1，bn+1＝ （n ∈ N+），求证 a 取数列{bn}中的任一个数，都可以得 到一个有穷数列{an}； （3）若 ＜an＜2（n≥4），求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）解∵an+1＝1+ ，∴an＝ ， ∵a4＝0，∴a3＝﹣1，...............................2 分 a2＝﹣ ，a＝a1＝﹣ ；...............................4 分 （2）∵bn+1＝ ，∴bn＝ +1， 若 a 取数列{bn}的一个数 bn，即 a1＝a＝bn， 则 a2＝1+ ＝1+ ＝bn﹣1，...............................6 分 a3＝1+ ＝1+ ＝bn﹣2，...............................7 分 ∴an＝b1＝﹣1，∴an+1＝0...............................8 分 所以数列{an}只能有 n 项为有穷数列． （3）因为 ＜an＜2（n≥4） ⇒ （n≥5） ⇒ ⇒ ＜an﹣1＜2（n≥5）...............................10 分 所以 ＜an＜2（n≥4） ⇒ ＜a4＜2 ⇒ ＜ ＜2 ⇒ a＞0...............................12 分 这就是所求的取值范围．