冲刺2020年高考数学（理）全真模拟演练 08练（解析版）

冲刺 2020 年高考数学（理）全真模拟演练（八） 一、单选题 1．设集合 ，则 　（ ） A． B． C． ， D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合 ，由此能求出 ． 【详解】 集合 或 ， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知 i 是虚数单位，复数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，即可求解. 【详解】 故选： 【点睛】 本题考查复数的除法运算，属于基础题. 3．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中 等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王 2{ | 9 0}A x x= − > RC A = (3, )+∞ ( , 3)−∞ − [ 3− 3] ( )3,3− A C AR  2{ | 9 0} { | 3A x x x x= − > = < − 3}x > C { | 3 3} [ 3 3]R A x x∴ = − ≤ ≤ = − ， 2 1 i i + =− 1 3 2 i+ 1 3 2 i− 1 3 4 i+ 1 3 4 i− ( )( ) ( )( ) 2 12 1 3 1 1 1 2 i ii iz i i i + ++ += = =− + − A的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得 概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有 9 种，齐王的马获胜包含的基 本事件有 6 种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】 设齐王上等、中等、下等马分別为 ，田忌上等、中等、下等马分别为 ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛, 基本事件有： ，共 9 种，有优势的马一定 获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有： ，共 6 种, 齐王的马获胜的概率为 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个 数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， …. ，再 ， ….. 依次 …. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 4．已知向量 ， ， ，若 与 的夹角为 ，则 　　 A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求得 的值． 【详解】 4 9 5 9 2 3 7 9 , ,A B C , ,a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , ,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,A a A b A c B b B c C c ∴ 6 2 9 3P = = 1 1( , )A B 1 2( , )A B 1( , )nA B 2 1( , )A B 2 2( , )A B 2( , )nA B 3 1( , )A B 3 2( , )A B 3( , )nA B (1,0)m = ( 3n = )y m n 3 π (y = ) ±1 2± 3± y向量 ， ， ，若 与 的夹角为 ， ， 求得 ， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题． 5．设等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比数列前 项和公式和通项公式列出方程组，能求出 ． 【详解】 等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， 解得 ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．已知 是定义在 上的偶函数，且 ，如果当 时， ， 则 （ ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】C 【解析】 【分析】  (1,0)m = ( 3n = )y m n 3 π ∴ 2 2 31 3 0 1 3 cos 3 2 ym n y y π += × + × = × + × =  3= ±y { }na n nS 6 39S S= 7 64a = 1 (a = ) n 1a  { }na n nS 6 39S S= 7 64a = ∴ 6 3 1 1 6 1 (1 ) 9 (1 ) 1 1 64 a q a q q q a q  − −= − −  = 1 1a = 2q = ( )f x R ( 5) ( 3)f x f x+ = − [0,4)x∈ 2( ) log ( 2)f x x= + (766)f =根据 得 即 f（x）的周期为 8，再根据 x∈[0，4）时， 及 f（x）为 R 上的偶函数即可求出 f（766）=f（2）=2． 【详解】 由 ，得 ，所以 是周期为 8 的周期函数，当 时， ，所以 ，又 是定义在 R 上的偶函数所以 . 【点睛】 本题考查函数的周期性，奇偶性与求值，考查运算求解能力. 7．函数 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值以及函数的图象的变化趋势判断即可 【详解】 解：令函数 f（﹣x） f（x）， 所以函数 f（x）是偶函数，故排除选项 C，D， 又 f（0） 2，故排除 A， 故选 B． 【点睛】 本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置，变化趋势是常用方法． 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 　　 ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( ) ( )8f x f x+ = ( ) ( )2f x log 2x= + ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( ) ( )8f x f x+ = ( )f x [ )0,4x∈ ( ) ( )2log 2f x x= + ( ) ( ) ( )766 96 8 2 2f f f= × − = − ( )f x ( ) ( ) 22 2 log 4 2f f− = = = 4 2 2x x cosxy −= + ( )4 2 2x x cos x − −= =+ 4 1 1 = =+ ( )A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积． 【详解】 根据几何体的三视图，转换为几何体为：该几何体为上面为一个半径为 1 的球体，下面为一个底面为边长 为 2 的正方形，高为 3 的长方体． ∴ ． 故选：A． 【点睛】 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 9．如图是一个程序框图，则输出 的值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】 32 4π+ 432 3 π+ 24 4π+ 424 3 π+ 24 1 2 2 2 4 2 3 32 4S π π= ⋅ + × × + × × = +表 k【分析】 根据程序框图，模拟计算过程即可求解. 【详解】 程序框图的执行过程如下： ， ； ， ； ， ； ， ， 循环结束. 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题. 10．已知抛物线 的焦点为 ，以 ， 为圆心， 长为半径画圆，在第 一象限交抛物线于 、 两点，则 的值为 　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 【分析】 求得抛物线的焦点，可得圆的半径和方程，联立圆的方程和抛物线的方程可得 的二次方程，运用韦达定 理和抛物线的定义，计算可得所求和． 【详解】 抛物线 的焦点为 ， ， ， ，即有 ， 可得圆 的方程为 ，联立抛物线 ， 可得 ， 可得△ ，解得 ， 设 ， ， ， ，可得 ， 1S = 10k = 10 11S = 9k = 9 11S = 8k = 8 11S = 7k = 2 2 (0 2)y px p= < < F ( 42 pM + 0) | |MF A B | | | |AF BF+ ( ) x 2 2 (0 2)y px p= < < ( 2 pF 0) ( 42 pM + 0) | | 4MF = M 2 2( 4 ) 162 px y− − + = 2 2y px= 2 2 2( 4) 4 02 4 p px x p+ − + + = 2 24(( 4) 4(4 ) 02 4 p pp= − − + > 0 2p< < 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1 2 8x x p+ = −则 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查圆的方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查方程思想 和运算能力，属于基础题． 11．已知函数 若 恰有 4 个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由零点定义可知 恰有 4 个不同交点，画出函数 的图像；利用导数求得直线 与 相切时的斜率，再将直线 绕原点旋转，即可判断出有 4 个交点时的斜率取值范围. 【详解】 根据零点定义可知 ， 即 恰有 4 个不同交点， 画出函数 的图像如下图所示： 当 时， ， 1 2| | | | 8 8AF BF x x p p p+ = + + = − + = 1 1, 2 0( ) ln 1, 0 x xf x x x  + − − ≤ ≤=  − > ( ) ( )g x f x kx= − k 2 10, e      2 1 ,1e      2 2 1 ,ee      )20,e ( )f x kx= ( )f x ( )f x kx= ( )f x ( )f x kx= ( ) ( ) 0g x f x kx= − = ( )f x kx= 1 1, 2 0( ) ln 1, 0 x xf x x x  + − − ≤ ≤=  − > 0x > ( ) ln 1f x x= −则 ， 设 与 相切于 ， 由导数几何意义及切点在 上， 则满足 解得 ， 将直线 绕原点旋转，当恰有 4 个交点时满足 ， 即 的取值范围为 ， 故选：A 【点睛】 本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数的几何意义求得相切的斜率，利用数形结合法求参数的取 值范围，综合性强，属于难题. 12．正方体 的棱长为 4，点 在棱 上，且 ，点 是正方体下底面 内（含边界）的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的距离的平方差为 16，则动点 到 点 的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 作 ， ， 即为 到直线 的距离，从而可得 ，即点 的轨迹是以 为准线，点 为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解. 【详解】 1( )f x x ′ = ( )f x kx= ( ) ln 1f x x= − ( ),m km ( ) ln 1f x x= − 1 ln 1 k m km m  =  = − 2 2 1k e m e  =  = ( )f x kx= 2 10 k e < < k 2 10, e      1 1 1 1ABCD A B C D− M AB 1AM = P ABCD P 1 1A D P M P B 7 2 2 2 6 2 PQ AD⊥ 1 1QR A D⊥ PR P 1 1A D PM PQ= P AD M如图所示，作 ， 为垂足，则 面 过点 作 ，则 面 所以 即为 到直线 的距离 因为 ， 所以 所以点 的轨迹是以 为准线，点 为焦点的抛物线 如图建立直角坐标系，则点 的轨迹方程是 点 ,设 所以 所以当 ， 取得最大值 故选：C 【点睛】 本题考查的是立体几何中的垂直关系、解析几何中抛物线的定义及最值问题，属于较难题. PQ AD⊥ Q PQ ⊥ 1 1ADD A Q 1 1QR A D⊥ 1 1A D ⊥ PQR PR P 1 1A D 2 2 2 16PR PQ RQ− = = 2 2 16PR PM− = PM PQ= P AD M P ( )2 2 0 2 2y x y= ≤ ≤ 7 ,02B     2 ,2 yP y      22 4 2 27 5 49 2 2 4 2 4 y y yPB y  = − + = − +   2 5y = PB 6二、填空题 13．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的 值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接进行求解即可. 【详解】 由正弦定理可得： ， 即 ，∴ ． 故答案为： 【点睛】 本题考查了正弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力. 14．已知 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为__________________。 【答案】3. 【解析】 【分析】 画出满足条件的平面区域，由 z＝2x﹣y 得：y＝2x﹣z，平移直线 y＝2x﹣z，当过 A（1，﹣1）时，z 最大， 代入求出 z 的最大值即可． 【详解】 画出不等式组表示的可行域（三角形），由 得到 ，平移直线 ，由图形得， 当直线经过可行域内的点 时，直线在 轴上的截距最小，此时 取得最大值. 由 ，解得 ，所以点 的坐标为 ，得 . 故答案为：3. ABC A B C a b c 2 7b = 3c = 2B C= cos2C 5 9 sin sin b c B C = sin sin 2 2sin cos 2 7 72cos cossin sin sin 3 3 b B C C C C Cc C C C = = = = = ⇒ = 2 7 5cos2 2cos 1 2 19 9C C= − = × − = 5 9 2 0 2 0 1 0 x y x y y + + ≥  − − ≤  + ≤ 2z x y= − 2z x y= − 2y x z= − 2y x z= − A y z 2 0 1 x y y − − =  = − 1 1 x y =  = − A (1, 1)− max 2 1 ( 1) 3z = × − − =【点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 15．已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y2=2x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA，OB 的斜率 之和为 1，则直线 AB 方程为______． 【答案】2x+y-2=0 【解析】 【分析】 设直线 AB 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式，可得 的值，进而得到直线的方程． 【详解】 依题意可设直线 AB 的方程为：x=ty+1，代入 y2=2x 得 ， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1y2=-2，y1+y2=2t， 所以 ，∴ ，解得 ， ∴直线 AB 的方程为：x= +1，即 2x+y-2=0． 故答案为：2x+y-2=0． 【点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的 方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 16．一个非负整数的有序数对 ，如果在做 与 的加法时不用进位，则称 为“中国梦数对”， 称为“中国梦数对” 的和，则和为 的“中国梦数对”的个数有____________（注：用数字作 答）. 【答案】 【解析】 t 2 2 2 0y ty− − = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( )2 2 4 22OA OB y y y y tk k tx x y y y y ++ = + = + = = = −− 2 1t− = 1 2t = − 1 2 y− ( ),x y x y ( ),x y x y+ ( ),x y 2018 54【分析】 设 ， ，分别列举出满足条件 的 自然数对 、 、 、 ，然后利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】 设 ， ， 则 ， 根据题意得 ，其中 、 、 、 均为自然数， 满足条件 的自然数对 有： 、 、 ，共 对； 满足条件 的自然数对 只有 ； 满足条件 的自然数对 有： 、 ，共 对； 满足条件 的自然数对 有： 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 对. 由分步乘法计数原理可知，和为 的“中国梦数对”的个数为 . 故答案为： . 【点睛】 本题排列组合中的新定义，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题 17．在等差数列 中， ，公差 ，记数列 的前 项和为 ． （1）求 ； （2）设数列 的前 项和为 ，若 成等比数列，求 ． 1 1 1 11000 100 10x a b c d= + + + 2 2 2 21000 100 10y a b c d= + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 1 8 a a b b c c d d + =  + = + =  + = ( )1 2,a a ( )1 2,b b ( )1 2,c c ( )1 2,d d 1 1 1 11000 100 10x a b c d= + + + 2 2 2 21000 100 10y a b c d= + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21000 100 10x y a a b b c c d d+ = + + + + + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 1 8 a a b b c c d d + =  + = + =  + = ia ib ic ( )1,2id i = 1 2 2a a+ = ( )1 2,a a ( )0,2 ( )1,1 ( )2,0 3 1 2 0b b+ = ( )1 2,b b ( )0,0 1 2 1c c+ = ( )1 2,c c ( )0,1 ( )1,0 2 1 2 8d d+ = ( )1 2,d d ( )0,8 ( )1,7 ( )2,6 ( )3,5 ( )4,4 ( )5,3 ( )6,2 ( )7,1 ( )8,0 9 2018 3 1 2 9 54× × × = 54 { }na 3 4 12a a+ = 2d = { }2 1na − n nS nS 1n n n a S+       n nT 2 5, , ma a a mT【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列通项公式列出方程求出首项 ，由此能求出前 项和 . （2）由 成等比数列，得 ，再由 ，利用裂 项求和法能求出 . 【详解】 （1） 在等差数列 中， ，公差 ， ， 解得 ， ． 数列 的前 项和为 ， ， 是 1 为首项，4 为公差的等差数列， （2） 成等比数列， ， ， 解得 ． ， ． 22nS n n= − 14 29mT = 1 1a = n nS 2 5, , ma a a 14m = ( )( )1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n a S n n n n+  = = − − + − +  mT  { }na 3 4 12a a+ = 2d = 1 1( 2 2) ( 3 2) 12a a∴ + × + + × ＝ 1 1a = 1 ( 1) 2 2 1na n n∴ + − × = −= ∴ 2 1{ }na − n nS 2 1 2(2 1) 1 4 3na n n− = − − = − 2 1{ }na −∴ ( ) 21 4 3 22n n n nnS + −∴ = −= 2 5 ma a a ， ， 2 2 5ma a a∴ = 23(2 1) 9m∴ − ＝ 14m = ( )( )1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n a S n n n n+  = = − − + − +  14 1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 5 7 27 29mT T  ∴ = − + − + − + + −  ＝ 1 1 1412 29 29  = − =   14 29mT∴ =【点睛】 本题考查（1）等差数列的判定和前 项和公式；（2）裂项相消法求和，考查计算能力，考查转化与化归 思想，属于中等题型. 18．如图，在三棱锥 中，底面 是等腰直角三角形， ， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，且 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） ． 【解析】 【分析】 （1）推导出 ， ， ，由此能证明 平面 ． （2）推导出 平面 ， ， 平面 ，以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】 （1）证明： ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ． （2）解：由（1）知 平面 ， ， 平面 ， 又 是等腰直角三角形， 是 中点， ， 以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 则 n P ABC− ABC∆ 8AB BC= = D E F PC AC AB PA AC⊥ 6PA = 5DF = PA ⊥ ABC PB DEF 4 5 DE EF⊥ PA EF⊥ PA AC⊥ PA ⊥ ABC PA ⊥ ABC / /DE PA DE ⊥ ABC E EA EB ED x y z PB DEF D E F PC AC AB 1 32DE PA∴ = = / /DE PA 1 42EF BC= = 5DF = 2 2 2DE EF DF∴ + = DE EF⊥ / /DE PA PA EF∴ ⊥ PA AC⊥ AC EF E= AC EF ⊂ ABC PA∴ ⊥ ABC PA ⊥ ABC / /DE PA DE∴ ⊥ ABC ABC∆ E AC BE AC∴ ⊥ E EA EB ED x y z (0,4 2,0), (0,0,3), (0,0,0), (2 2,2 2,0), (4 2,0,6)B D E F P则 设平面 的法向量 ， ， ， 则 ，取 ，得 ， ， ， ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点睛】 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的 个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一 个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当 取何值时，有 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当 时，用 表示要补播种的坑的个数，求 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当 或 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）将有 3 个坑需要补种表示成 n 的函数，考查函数随 n 的变化情况，即可得到 n 为何值时有 3 个坑要补 播种的概率最大．（2）n＝4 时，X 的所有可能的取值为 0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率， 列出分布列，求期望即可． 【详解】 （1）对一个坑而言，要补播种的概率 ， ( 4 2,4 2, 6), (0,0, 3), (2 2,2 2,0)PB DE EF= − − = − =   DEF (m x= y )z 3 0 2 2 2 2 0 m DE z m EF x y  = − = = + =   1x = (1m = 1− 0) 8 2 4cos , 5| | | | 100 2 PB nPB m PB n ⋅ −∴ < >= = = − ⋅ ⋅      ∴ PB DEF 4 5 *( )n n N∈ 1 2 n 4n = X X 5n = 6n = 5 16 3 3 0 1 3 3 1 1 1 2 2 2P C C   = + =      有 3 个坑要补播种的概率为 . 欲使 最大，只需 ， 解得 ，因为 ，所以 当 时， ； 当 时， ； 所以当 或 时，有 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 . （2）由已知， 的可能取值为 0，1，2，3，4. ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望 . 【点睛】 本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中 档题． 20．已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆上一点，且 到两焦点的距离之和为 4． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 的直线交椭圆 于点 ， ，且满足 为坐标原点），求线段 的长度． 3 1 2 n nC      3 1 2 n nC      1 3 3 1 1 3 3 1 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n C C C C − − + +     ≥             ≥        5 6n≤ ≤ *n N∈ 5,6,n = 5n = 5 3 5 1 5 2 16C   =   6n = 6 3 6 1 5 2 16C   =   5n = 6n = 5 16 X 14, 2X B ∼    X X P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X 14 22EX = × = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 P P C (3,0)A C M N 3 (OM ON OP O+ =   MN【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）直接由离心率及定义和 ， ， 之间的关系可得椭圆的标准方程； （2）设直线 的方程与椭圆联立的两根之和及之积，再由向量的关系得 的坐标，代入椭圆的参数的 值，由弦长公式求出线段 的长． 【详解】 （1）由题意得： ， ， ， ， ， ∴椭圆 的标准方程为： ； （2）由题意可得直线 的斜率不为零， ∴由题意设直线 为： ， ， ， 联立直线与椭圆的方程整理得： ， ∵△ ， ， ， ， ∴设中点 ， ， 再由 得： ， ∴点 ， ， 而点 在椭圆上，∴ ， 整理得： ，解得： ； ∴线段 的长为 ． 【点睛】 本题考查直线与椭圆的综合，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力， 2 2 14 x y+ = 3 a b c MN P MN 3 2 ce a = = 2 4a = 2a∴ = 3c = 2 2 2 1b a c= − = C 2 2 14 x y+ = MN MN 3x my= + ( , )M x y ( , )N x y′ ′ 2 2(4 ) 6 5 0m y my+ + + = 0> 2 6 4 my y m −′+ = + 2 5 4yy m ′ = + 2 24( ) 6 4x x m y y m ′ ′+ = + + = + 2 12(4D m+ 2 3 )4 m m − + 3OM ON OP+ =   2 3OD OP=  2 24( 3(4 ) P m+ 2 6 ) 3(4 ) m m − + P 2 2 2 2 2 2 24 36 14 3 (4 ) 3(4 ) m m m + =⋅ ⋅ + + 4 24 32 0m m− − = 2 8m = 2 2 2 2 2 2 2 2 36 5| | 1 | | 1 ( ) 4 1 4 3(4 ) 4 mMN m y y m y y yy m m m ′ ′ ′= + − = + + − = + ⋅ − ⋅ =+ + MN 3求解时注意坐标法的应用. 21．已知函数 ， 。 （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有极小值，求该极小值的取值范围。 【答案】（Ⅰ）：当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增 区间为 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ） 【解析】 试题分析:(1)对函数求导得到导函数，根据导函数的正负求得函数的单调性；（2）结合第一问得到当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ,所以 ，对此表达式进行求导，研究单调性，求最值即可. 详解： （Ⅰ）函数 的定义域为 ， ， ①当 时， ，函数 在 内单调递增， ②当 时，令 得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 综上所述：当 时，函数 的单调递增区间为 ； 当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （Ⅱ）①当 时， ，函数 在 内单调递增，没有极值； ②当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 , 所以 ， 记 ，则 ，由 得 ， 所以 ， 所以函数 的极小值的取值范围是 2( ) 2 ln 2f x x m x m= − − m R∈ ( )f x ( )f x 0m ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0m > ( )f x ( ),m +∞ ( )0, m ( 2,e− −∞  0m > ( )f x ( ),m +∞ ( )0, m ( ) ( ) ( )ln 1f x f m m m= = − + 极小值 ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )2222 x mmf x x x x − = − =′ 0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 0m > ( ) 0f x′ = x m= 0 x m< < ( ) 0f x′ < ( )f x x m> ( ) 0f x′ > ( )f x 0m ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0m > ( )f x ( ),m +∞ ( )0, m 0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 0m > ( )f x ( ),m +∞ ( )0, m ( ) ( ) ( )ln 1f x f m m m= = − + 极小值 ( ) ( ) ( )ln 1 , 0h m m m m= − + > ( ) ( )2 lnh m m′ = − + ( ) 0h m′ = 2m e−= ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2lnh m h e e e e e− − − − −≤ = − + = ( )f x ( 2,e− −∞ 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变 号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，还有 就是求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。 22．已知曲线 ，直线 为参数）． （1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值． 【答案】（1） ，（θ 为参数）， ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）根据题意，由参数方程与普通方程的转化方法分析即可得答案； （2）根据题意，设曲线 上任意一点的坐标为 ，由点到直线的距离公式可得该点到直线 的距离 ，又由 ，结合三角函数的 性质分析可得答案． 【详解】 （1）根据题意，曲线 ，其参数方程为 ， 为参数）， 直线 ，变形可得 ，即 ； （2）根据题意，设曲线 上任意一点的坐标为 ， 该点到直线 的距离 ，其中 为锐角，且 ； 则 ， 当 时， 取得最大值，且其最大值为 ． 2 2 : 19 4 x yC + = 1: (1 2 x tl ty t = +  = − C l C P l 30° l A | |PA 3 2 x cos y sin θ θ =  = 2 3 0x y+ − = 20 2 6 5 5 + C (3cos ,2sin )θ θ l 5 5| 6cos 2sin 3| | 2 10 sin( ) 3|5 5d θ θ θ α= + − = + − | | sin30 dPA = ° 2 2 : 19 4 x yC + = 3cos 2sin x y =  = θ θ (θ 1: 1 2 x tl y t = +  = − 1 2( 1)y x− = − − 2 3 0x y+ − = C (3cos ,2sin )θ θ l 5 5| 6cos 2sin 3| | 2 10 sin( ) 3|5 5d θ θ θ α= + − = + − α tan 3α = 2 5| | | 2 10 sin( ) 3|sin30 5 dPA θ α= = + −° sin( ) 1θ α+ = − | |PA 20 2 6 5 5 +【点睛】 本题考查参数方程的应用，涉及普通方程与参数方程的转化，属于基础题． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）对 及 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ） . 【解析】 【详解】 详解：（Ⅰ） 当 时，由 ，解得 ； 当 时， 不成立； 当 时，由 ，解得 . 所以不等式 的解集为 . （Ⅱ）因为 ， 所以 . 由题意知对 ， ， 即 ， 因为 ， 所以 ，解得 . 【点睛】 ( ) 2f x x= − ( ) ( )2 1 6f x f x+ + ≥ ( )1 , 0a b a b+ = > x R∀ ∈ ( ) ( ) 4 1f x m f x a b − − − ≤ + m ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ 13 5m− ≤ ≤ ( ) ( ) 13 3 , ,2 12 1 2 2 1 1, 2,2 3 3, 2. x x f x f x x x x x x x  −   1 2x < 3 3 6x− ≥ 1x ≤ − 1 22 x≤ ≤ 1 6x + ≥ 2x > 3 3 6x − ≥ 3x ≥ ( ) 6f x ≥ ( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ ( )1 , 0a b a b+ = > ( )4 1 4 1 4 45 5 2 9b a b aa ba b a b a b a b  + = + + = + + ≥ + ⋅ =   x R∀ ∈ 2 2 9x m x− − − − − ≤ ( ) max 2 2 9x m x− − − − − ≤ ( ) ( )2 2 2 2 4x m x x m x m− − − − − ≤ − − − + = − − 9 4 9m− ≤ + ≤ 13 5m− ≤ ≤⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有： ①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法． ⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从 而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有： ① 为参数）恒成立 ② 为参数）恒成立 ． ( ) ( )(f x g a a< max( ) ( )g a f x⇔ > ( ) ( )(f x g a a> max( ) ( )g a f x⇔