2017级高三二诊数学(理)答案.pdf

数学(理科)“二诊”考试题参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ５ 页) 成都市 ２０１７ 级高中毕业班第二次诊断性检测 数学(理科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷 　(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １．C ; ２．A ; ３．B ; ４．D ; ５．C ; ６．B ; ７．B ; ８．C ; ９．A ; １０．B ; １１．D ; １２．C ． 第 Ⅱ 卷 　(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３．６;　　１４．３ ２ ;　　１５．３６;　　１６．０． 三、解答题:(共 ７０ 分) １７． 解:(Ⅰ)设数列 a n{ } 的公比为q ．由题意及a １＝１,知q ＞１． ∵２a ２,３ ２ a ３,a ４ 成等差数列,∴３a ３＝a ４＋２a ２． ∴３q ２ ＝q ３ ＋２q ,即q ２ －３q ＋２＝０． ƺƺ２ 分 解得q ＝２ 或q ＝１(舍去)． ƺƺ４ 分 ∴q ＝２． ƺƺ５ 分 ∴ 数列 a n{ } 的通项公式为a n ＝２ n －１． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)∵b n ＝ １ log ２a n ＋１Űlog ２a n ＋３＝ １n (n ＋２)＝１ ２(１n － １n ＋２), ƺƺ８ 分 ∴S n ＝１ ２[(１－１ ３)＋(１ ２－１ ４)＋(１ ３－１ ５)＋ƺ＋( １n －１－ １n ＋１)＋(１n － １n ＋２)] ＝１ ２(３ ２－ １n ＋１－ １n ＋２)＝３ ４－１ ２( １n ＋１＋ １n ＋２) ƺƺ１１ 分 ＝３ ４－ ２n ＋３ ２(n ＋１)(n ＋２) ． ƺƺ１２ 分 １８．解:(Ⅰ)∵A B C D 为正方形,∴A C ⊥B D ． ƺƺ１ 分 ∵P O ⊥ 平面 A B C D ,A C ⊂ 平面 A B C D , ∴P O ⊥A C ． ƺƺ２ 分 ∵O P ,B D ⊂ 平面P B D ,且O P ∩B D ＝O , ∴A C ⊥ 平面P B D ． ƺƺ４ 分 又 A C ⊂ 平面P A C ,∴ 平面P A C ⊥ 平面P B D ． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)取 A B 的中点M ,连结O M ,O E ． ∵A B C D 是正方形,易知O M ,O E ,O P 两两垂直． 分别以O M ,O E ,O P 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系O xyz ． ƺƺ６ 分数学(理科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ５ 页) 在 Rt △P O E 中,∵O E ＝２,P E ＝３,∴P O ＝ ５． ∴B (２,２,０),D (－２,－２,０),P (０,０, ５), E (０,２,０)． 设平面P B E 的一个法向量m ＝(x １,y １,z １), B E→＝(－２,０,０),P E→＝(０,２,－ ５)． 由 m ŰB E→＝０ m ŰP E→＝０ { ,得 x １＝０ ２y １－ ５z １＝０ { ． 取 m ＝(０, ５,２)． ƺƺ９ 分 设平面P D E 的一个法向量n ＝(x ２,y ２,z ２), D E→＝(２,４,０),P E→＝(０,２,－ ５)． 由 n ŰD E→＝０ n ŰP E→＝０ { ,得 ２x ２＋４y ２＝０ ２y ２－ ５z ２＝０ { ． 取n ＝(－２ ５, ５,２)． ƺƺ１０ 分 ∴cos ‹m ,n ›＝ m Űn m n ＝ ９ ３ ２９ ＝３ ２９ ２９ ． ƺƺ１１ 分 ∵ 二面角 D －P E －B 为钝二面角, ∴ 二面角 D －P E －B 的余弦值为 －３ ２９ ２９ ． ƺƺ１２ 分 １９．解:(Ⅰ)根据表中数据,计算可得x－ ＝４,y－ ＝４３,∑ ７ i ＝１(x i －x－ )(y i －y－ )＝１４０． ƺƺ３ 分 又 ∑ ７ i ＝１(x i －x－ )２ ＝２８,∴ ^b ＝ ∑ ７ i ＝１(x i －x－ )(y i －y－ ) ∑ ７ i ＝１(x i －x－ )２ ＝５． ƺƺ５ 分 ∵a^ ＝y－ －b^ x－ ,∴a^ ＝４３－５×４＝２３． ƺƺ６ 分 ∴y 关于x 的线性回归方程为y^ ＝５x ＋２３． ƺƺ７ 分 将x ＝８ 代入,∴y^ ＝５×８＋２３＝６３(亿元)． ∴ 该公司 ２０２０ 年的年利润的预测值为 ６３ 亿元． ƺƺ８ 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ２０１３ 年至 ２０２０ 年的年利润的估计值分别为 ２８,３３,３８,４３,４８,５３,５８, ６３(单位:亿元)．其中实际利润大于相应估计值的有 ３ 年． 故这 ８ 年中被评为 A 级利润年的有 ３ 年,评为B 级利润年的有 ５ 年． ƺƺ１０ 分 记“从 ２０１３ 年至 ２０２０ 年这 ８ 年的年利润中随机抽取 ２ 年,恰有 １ 年为 A 级利润年”的 概率为P ． ∴P ＝C １ ５C １ ３ C ２ ８ ＝１５ ２８． ƺƺ１２ 分 ２０． 解:(Ⅰ)∵ 点P 在椭圆上,∴ P F １ ＋ P F ２ ＝２a ． ∵ P F １ ＝３ P F ２ , ∴ P F ２ ＝ a ２, P F １ ＝３a ２ ． ƺƺ２ 分 ∵P F ２⊥F １F ２,∴ P F ２ ２ ＋ F １F ２ ２ ＝ P F １ ２, 又 F １F ２ ＝２,∴a ２ ＝２． ƺƺ３ 分数学(理科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ５ 页) ∵c ＝１,b ２ ＝a ２ －c ２．∴b ２ ＝１． ∴ 椭圆E 的标准方程为x ２ ２＋y ２ ＝１． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)设 A (x １,y １),B (x ２,y ２)． 联立 x ＝m y ＋１ x ２ ＋２y ２ ＝２ { ,消去x ,得(m ２ ＋２)y ２ ＋２m y －１＝０． ∴Δ＝８m ２ ＋８＞０,y １＋y ２＝－ ２m m ２ ＋２ ,y １y ２＝－ １m ２ ＋２ ． ƺƺ６ 分 ∴ A B ＝ １＋m ２ y １－y ２ ＝２ ２(m ２ ＋１) m ２ ＋２ ． ƺƺ７ 分 设圆x ２ ＋y ２ ＝２ 的圆心O 到直线l 的距离为d ,则d ＝ １ m ２ ＋１ ． ∴ C D ＝２ ２－d ２ ＝２ ２m ２ ＋１m ２ ＋１ ． ƺƺ８ 分 ∴ A B Ű C D ２ ＝４Ű２m ２ ＋１m ２ ＋１ Ű２ ２(m ２ ＋１) m ２ ＋２ ＝８ ２(２m ２ ＋１) m ２ ＋２ ＝８ ２(２－ ３m ２ ＋２ )． ƺƺ１０ 分 ∵０＜ ３m ２ ＋２≤３ ２,∴１ ２≤２－ ３m ２ ＋２＜２． ƺƺ１１ 分 ∴４ ２≤ A B Ű C D ２ ＜１６ ２． ∴ A B Ű C D ２ 的取值范围为[４ ２,１６ ２)． ƺƺ１２ 分 ２１．解:(Ⅰ)当 m ＞０ 时,f′(x )＝２x ＋２－ m x ＋１＝２(x ＋１)２ －m x ＋１ ,x ＞－１． ƺƺ１ 分 令f′(x )＝０,解得x １＝－ ２m ２ －１(舍去),x ２＝ ２m ２ －１． ƺƺ２ 分 当x ∈(－１, ２m ２ －１)时,f′(x )＜０．∴f (x )在(－１, ２m ２ －１)上单调递减; 当x ∈( ２m ２ －１,＋∞)时,f′(x )＞０．∴f (x )在( ２m ２ －１,＋∞)上单调递增． ∴f (x )的单调递减区间为(－１, ２m ２ －１),单调递增区间为( ２m ２ －１,＋∞)． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)由题意,可知x ２ ＋２x －m ln (x ＋１)＞ １x ＋１－１ e x 在(０,＋∞)上恒成立． (i)若 m ≤０,∵ln (x ＋１)＞０,∴－m ln (x ＋１)≥０． ∴x ２ ＋２x －m ln (x ＋１)－ １x ＋１＋１ e x ≥x ２ ＋２x － １x ＋１＋１ e x ． 构造函数G (x )＝x ２ ＋２x － １x ＋１＋１ e x ,x ＞０．则G′(x )＝２x ＋２＋ １ (x ＋１)２－１ e x ．数学(理科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ５ 页) ∵x ＞０,∴０＜１ e x ＜１,∴－１＜－１ e x ＜０． 又 ∵２x ＋２＋ １ (x ＋１)２＞２x ＋２＞２,∴G′(x )＞０ 在(０,＋∞)上恒成立． ∴G (x )在(０,＋∞)上单调递增．∴G (x )＞G (０)＝０． ∴ 当 m ≤０ 时,x ２ ＋２x －m ln (x ＋１)－ １x ＋１＋１ e x ＞０ 在(０,＋∞)上恒成立． ƺƺ６ 分 (ii)若 m ＞０,构造函数 H (x )＝e x －x －１,x ＞０． ∵H′(x )＝e x －１＞０,∴H (x )在(０,＋∞)上单调递增． ∴H (x )＞H (０)＝０ 恒成立,即 e x ＞x ＋１＞０． ∴ １x ＋１＞１ e x ,即 １x ＋１－１ e x ＞０． ƺƺ７ 分 由题意,知f (x )＞ １x ＋１－１ e x 在(０,＋∞)上恒成立． ∴f (x )＝x ２ ＋２x －m ln (x ＋１)＞０ 在(０,＋∞)上恒成立． 由(Ⅰ),可知f (x )最小值 ＝f (x )极小值 ＝f ( ２m ２ －１)．又 ∵f (０)＝０, 当 ２m ２ －１＞０,即m ＞２ 时,f (x )在(０, ２m ２ －１)上单调递减,f ( ２m ２ －１)＜f (０)＝０,不 合题意． ∴ ２m ２ －１≤０,即 ０＜m ≤２． ƺƺ９ 分 此时g (x )－ １x ＋１＝x ２ ＋２x －m ln (x ＋１)＋１ e x － １x ＋１≥x ２ ＋２x －２ln (x ＋１)＋１ e x － １x ＋１ ． 构造函数P (x )＝x ２ ＋２x －２ln (x ＋１)＋１ e x － １x ＋１,x ＞０． ∴P′(x )＝２x ＋２－ ２x ＋１－１ e x ＋ １ (x ＋１)２ ． ƺƺ１０ 分 ∵－１ e x ＞－ １x ＋１,x ＋１＞１, ∴P′(x )＞２x ＋２－ ３x ＋１＋ １ (x ＋１)２＝２(x ＋１)３ －３(x ＋１)＋１ (x ＋１)２ ＞２(x ＋１)２ －３(x ＋１)＋１ (x ＋１)２ ＝ x (２x ＋１) (x ＋１)２ ＞０． ∴P′(x )＞０ 恒成立．∴P (x )在(０,＋∞)上单调递增．∴P (x )＞P (０)＝０ 恒成立． 综上,实数 m 的最大值为 ２． ƺƺ１２ 分数学(理科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ５　　　　 页(共 ５ 页) ２２．解:(Ⅰ)由x ＝ρcosθ,y ＝ρsinθ,可得直线l 的直角坐标方程为x －y －１＝０． ƺƺ２ 分 由曲线C 的参数方程,消去参数 m ,可得曲线C 的普通方程为y ２ ＝４x ． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)易知点P (２,１)在直线l 上,直线l 的参数方程为 x ＝２＋ ２ ２ t , y ＝１＋ ２ ２ t ì î í ï ïï ï ïï (t 为参数)． ƺƺ６ 分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,并整理得t ２ －２ ２t －１４＝０．ƺƺ(∗) 设t １,t ２ 是方程(∗)的两根,则有t １＋t ２＝２ ２,t １t ２＝－１４． ƺƺ７ 分 ∴ １P M ＋ １P N ＝ １t １ ＋ １t ２ ＝ t １ ＋ t ２ t １ t ２ ＝ t １－t ２ t １t ２ ＝ (t １＋t ２)２ －４t １t ２ t １t ２ 　＝ (２ ２)２ ＋４×１４ １４ ＝４ ７ ． ƺƺ１０ 分 ２３．解:(Ⅰ)原不等式即 x －１ ＋ x ＋３ ≥６． ① 当x ≥１ 时,化简得 ２x ＋２≥６．解得x ≥２; ② 当 －３＜x ＜１ 时,化简得 ４≥６．此时无解; ③ 当x ≤－３ 时,化简得 －２x －２≥６．解得x ≤－４． 综上,原不等式的解集为(－∞,－４]∪[２,＋∞) ƺƺ４ 分 (Ⅱ)由题意f (x )＝ ２x ＋２,x ≥１ ４,０＜x ＜１ { ．设方程f (x )＝g (x )两根为x １,x ２(x １＜x ２)． ① 当x ２＞x １≥１ 时,方程 －x ２ ＋２ax ＝２x ＋２ 等价于方程 ２a ＝x ＋２x ＋２． 易知当a ∈( ２＋１,５ ２],方程 ２a ＝x ＋２x ＋２ 在(１,＋∞)上有两个不相等的实数根． 此时方程 －x ２ ＋２ax ＝４ 在(０,１)上无解．∴a ∈( ２＋１,５ ２]满足条件． ƺƺ６ 分 ② 当 ０＜x １＜x ２＜１ 时, 方程 －x ２ ＋２ax ＝４ 等价于方程 ２a ＝x ＋４x ． 此时方程 ２a ＝x ＋４x 在(０,１)上显然没有两个不相等的实数根． ƺƺ７ 分 ③ 当 ０＜x １＜１≤x ２ 时,易知当a ∈(５ ２,＋∞),方程 ２a ＝x ＋４x 在(０,１)上有且只有一 个实数根． 此时方程 －x ２ ＋２ax ＝２x ＋２ 在[１,＋∞)上也有一个实数根． ∴a ∈(５ ２,＋∞)满足条件． ƺƺ９ 分 综上,实数a 的取值范围为( ２＋１,＋∞)． ƺƺ１０ 分