【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练 提升套餐练02（解析版）

提升套餐练 02 一、多选题 1．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图 所示，其中支出在 元的学生有 60 人，则下列说法正确的是（ ） A．样本中支出在 元的频率为 0.03 B．样本中支出不少于 40 元的人数为 132 C．n 的值为 200 D．若该校有 2000 名学生，则定有 600 人支出在 元 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定. 【详解】 样本中支出在 元的频率为 ，故 A 错误； 样本中支出不少于 40 元的人数为 ，故 B 正确； ，故 n 的值为 200，故 C 正确； 若该校有 2000 名学生，则可能有 600 人支出在[50，60）元，故 D 错误. 故选：BC. 【点睛】 此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征. 2．下列有关说法正确的是（ ） A．当 时， ； [ )50,60 [ )50,60 [ )50,60 [ )50,60 ( )1 0.01 0.024 0.036 10 0.3− + + × = 0.036 60 60 1320.03 × + = 60 2000.3n = = 0.3 2000× = 0x > 1lg 2lgx x + ≥B．当 时， ； C．当 时， 的最小值为 ； D．当 ， 时， 恒成立 【答案】BD 【解析】 【分析】 由基本不等式的条件和结论判断． 【详解】 A. 当 时， ， 不成立，错误； B. 当 时， ， ，正确； C. 当 时，设 ，则 ， ，函数 在 上递减，无 最小值，C 错，实际上 ，取等号时 ，即 ，这 是不可能的，即 这个最小值取不到； D. 当 ， 时， ， ，∴ 恒成立，D 正确、 故选：BD． 【点睛】 本题考查基本不等式，解题时注意基本不等式的条件，特别注意在用基本不等式求最值时，等号成立的条 件能否满足． 3．已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A．函数 的最小正周期是 0x > 1 2x x + ≥ 0, 2 πθ  ∈   2sin sin θ θ+ 2 2 0a > 0b > 1 1 4a ba b   + + ≥     0 1x< < lg 0x < 1lg 2lgx x + ≥ 0x > 0x > 1 2x x + ≥ 0, 2 πθ  ∈   sint θ= 0 1t< < 2sin sin θ θ+ 2t t = + 2y t t = + (0,1) 2 2sin 2 sin 2 2sin sin θ θθ θ+ ≥ ⋅ = 2sin sin θ θ= sin 2θ = 2 2 0a > 0b > 1 2a a + ≥ 1 2b b + ≥ 1 1 4a ba b   + + ≥     2( ) sin 2 2sin 1f x x x= − + ( )f x 2πB．函数 在区间 上是减函数 C．函数 的图象关于直线 对称: D．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到 【答案】BC 【解析】 【分析】 先将 化简为 ，再逐个选项判断即可． 【详解】 A 选项，因为 ，则 的最小正周期 ，结论错误； B 选项，当 时， ，则 在区间 上是减函数，结论正确； C 选项，因为 为 的最大值，则 的图象关于直线 对称，结论正确； D 选项，设 ，则 ，结论错误． 故选：BC． 【点睛】 本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题. 4．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 、 ，且 ，则下列结 论中正确的是（ ） ( )f x 5,8 8 π π     ( )f x 8x π= ( )f x 2 sin 2y x= 4 π ( ) 22 2 1f x sin x sin x= − + ( ) 2sin 2 4f x x π = +   2( ) sin 2 2sin 1 sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x x x π = − + = + = +   2ω = ( )f x T π= 5,8 8x π π ∈   32 ,4 2 2x π π π + ∈   ( )f x 5,8 8 π π     28f π  =   ( )f x ( )f x 8x π= ( ) 2sin 2g x x=  ( )2sin 2 2sin 2 2cos 24 4 2g x x x x f x π π π     + = + = + = ≠            1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D E F 1 2EF =A． B． 平面 C． 的面积与 的面积相等 D．三棱锥 的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】 对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】 可证 平面 ，从而 ，故 A 正确；由 平面 ，可知 平面 ， B 也正确；连结 交 于 ，则 为三棱锥 的高， ，三棱锥 的体积为 为定值，D 正确；很显然，点 和点 到的 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题. AC BE⊥ / /EF ABCD AEF BEF A BEF− AC ⊥ 1 1D DBB AC BE⊥ 1 1 / /B D ABCD / /EF ABCD BD AC O AO A BEF− 1 1 112 2 4BEFS = × × =△ A BEF− 1 1 2 2 3 4 2 24 × × = A B EF二、解答题 5．（本题满分 12 分）已知 分别是 的角 所对的边，且 ， ． （Ⅰ）若 的面积等于 ，求 ; （Ⅱ）若 ，求 的值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由 的面积等于 及 可得 ，再由余弦定理可得 ，解得 ；（Ⅱ）先对 进行三角变换，化简得 ，由 此可得 或 ，分别得 或 ． 试题解析：（Ⅰ）根据三角形面积公式可知： 推得 ； 又根据三角形余弦公式可知： 推得 ．[ 综上可得 ． （Ⅱ） ， 当 时， 当 时， ，由正弦定理得 ， 联立 ，得 ， ， 综上 或 ． 解二： ， 当 时， 当 时， ， , ,a b c ABC∆ , ,A B C 2c = 3C π= ABC∆ 3 ,a b sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = A 2a b= = 2A π= 6A π= ABC∆ 3 3C π= 333 − 2 2 8a b+ = 2a b= = sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = sin cos 2sin cosB A A A= cos 0A = sin 2sinB A= 2A π= 6A π= 1 1 33 sin2 2 2S ab C ab= = = 333 − 2 2 2 2 21 4cos 2 2 8 a b c a bC ab + − + −= = = 2 2 8a b+ = 2a b= = sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = sin( ) sin( ) 4sin cosB A B A A A∴ + + − = sin cos 2sin cosB A A A= cos 0A = 2A π= cos 0A ≠ sin 2sinB A= 2b a= 2 2 4{ 2 a b ab b a + − = = 2 3 4 3,3 3a b= = 2 2 2b a c∴ = + ,3 6C A π π= ∴ = 2A π= 6A π= sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = sin( ) sin( ) 4sin cosB A B A A A∴ + + − = sin cos 2sin cosB A A A= cos 0A = 2A π= cos 0A ≠ 2 3 12sin sin sin( ) cos sin3 2 2A B A A Aπ= = − = +综上 或 ． 考点：1 正弦定理与余弦定理；2．三角变换；3．三角形面积公式． 6．公差不为 0 的等差数列 ， 为 ﹐ 的等比中项，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 . 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 【分析】 (1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 (1)设等差数列 的公差为 则因为 为 , 的等比中项, 故 ,化简得 . 又 故 .故 , . 即 . (2) ,故 . 【点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题. 3 3sin cos 02 2 3sin( ) 0,6 50 , ,6 6 6 0 .6 6 A A A A A A A  即 π π π ππ π π ∴ − = ∴ − = < < ∴− < − < ∴ − = = 2A π= 6A π= { }na 2a 1a 4a 3 6S = { }na 2n n nb a= + { }nb nT na n= 2n nb n= + ( ) ( )1 2 2 12 n n n nT += + − { }na d 2a 1a 4a ( ) ( )22 2 1 4 1 1 1 3a a a a d a a d= ⋅ ⇒ + = ⋅ + 1a d= 3 6S = 1 13 3 6 2a d a d+ = ⇒ + = 1 1a d= = ( )1 1na a n d n= + − = na n= 2 2n n n nb a n= + = + ( ) ( )1 2 1 21 2 2 2 ... 2 1 2 ... 2 2 ...2n n nT n n= + + + + + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 2 n nn n n n−+= + =− + + −7．如图，在平行四边形 中， ， .现沿对角线 将 折起，使点 到达 点 .点 、 分别在 、 上，且 、 、 、 四点共面. （1）求证： ； （2）若平面 平面 ，平面 与平面 夹角为 ，求 与平面 所成角的正弦 值. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】 (1)本题首先可以设 ，通过题意即可得出 的长，然后根据余弦定理即可计算出 的长并根据 勾股定理判断出 ，最后根据线面平行的相关性质即可得出 并证得 ； (2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出 与平面 所成角的正弦值。 【详解】 （1）不妨设 ，则 ， 在 中，根据余弦定理可得 ，计算得 ， 因为 ，所以 . 因为 ，且 、 、 、 四点共面，所以 平面 . ABCD 2=AD AB 60A∠ = ° BD ABD∆ A P M N PC PD A B M N / / ,a b PBD ⊥ BCD BMN BCD 30° PC BMN 15 5 2AB = AD BD AB BD⊥ / /AB MN MN BD⊥ PC BMN 2AB = 4AD = ABD∆ 2 2 2 2BD AB AD AB AD COSA= + +   2 3BD = 2 2 24 12 16AB BD AD+ = + = = AB BD⊥ / /CD AB A B M N / /CD ABMN又平面 平面 ，所以 . 而 ，故 . （2）因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ， ， 因为 ，所以 平面 ， ， 因为 ，平面 与平面 夹角为 ，所以 ， 从而在 中，易知 为 的中点， 如图，建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则由 ， 得 ，令 ，得 . 设 与平面 所成角为 ，则 。 【点睛】 本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合 思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。 8．某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表： 每 分 钟 跳 绳 个 数 得分 16 17 18 19 20 年级组为了解学生的体质，随机抽取了 100 名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直 方图. ABMN ∩ PCD MN= / /CD MN CD BD⊥ MN BD⊥ PBD ⊥ BCD PB BD⊥ PB ⊥ BCD PB AB⊥ AB BD⊥ AB ⊥ PBD BN AB⊥ BD AB⊥ BMN BCD 30° 30DBN∠ = ° Rt PBD∆ N PD ( )0,0,0B ( )0,0,2P ( )2,2 3,0C ( )0, 3,1N ( )1, 3,1M ( )1,0,0NM = ( )0, 3,1BN = ( )2,2 3, 2PC = − BMN ( ), ,n x y z= 0 0 n NM n BN  ⋅ = ⋅ =   0 3 0 x y z = + = 1y = ( )0,1, 3n = − PC BMN θ ( ) 15sin 90 5 n PC cos n PC θ θ° ⋅ = − = = ⋅   [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185, )+∞（1）现从样本的 100 名学生跳绳个数中，任意抽取 2 人的跳绳个数，求两人得分之和小于 35 分的概率； （用最简分数表示） （2）若该校高二年级共有 2000 名学生，所有学生的一分钟跳绳个数 近似服从正态分布 ，其 中 ， 为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的 正态分布模型，解决以下问题： （i）估计每分钟跳绳 164 个以上的人数（结果四舍五入到整数）； （ii）若在全年级所有学生中随机抽取 3 人，每分钟跳绳在 179 个以上的人数为 ，求随机变量 的分布列 和数学期望与方差. 附 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ， ， . 【答案】（1） ；（2）（i）1683；（ii） . 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图得到 16 分，17 分，18 分的人数，再根据古典概率的计算公式求解． （2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解． 【详解】 （1）设“两人得分之和小于 35 分”为事件 ，则事件 包括以下四种情况： ①两人得分均为 16 分；②两人中一人 16 分，一人 17 分； ③两人中一人 16 分，一人 18 分；④两人均 17 分. 由频率分布直方图可得，得 16 分的有 6 人，得 17 分的有 12 人，得 18 分的有 18 人， 则由古典概型的概率计算公式可得 . X ( )2,N µ σ 2 225σ ≈ µ ξ ξ X ( )2,N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9554P Xµ σ µ σ− < < + = 3 3 0 9( ) .9 74P Xµ σ µ σ− < < + = 29 550 3 3,2 4 A A 2 2 1 1 1 1 6 12 6 12 6 18 2 100 29( ) 550 C C C C C CP A C + + += =所以两人得分之和小于 35 的概率为 . （2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数 的估计值为： （个）. 又由 ，得标准差 ， 所以高二年级全体学生的跳绳个数 近似服从正态分布 . （i）因为 ，所以 ， 故高二年级一分钟跳绳个数超过 164 个的人数估计为 （人）. （ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在 179 以上的概率为 ， 所以 ， 的所有可能的取值为 0，1，2，3. 所以 ， ， ， ， 故 的分布列为： 0 1 2 3 所以 ， . 【点睛】 29 550 X (0.006 150 0.012 160 0.018 170X = × + × + × + 0.034 180 0.016 190 0.008 200× + × + × 0.006 210) 10 179+ × × = 2 225σ ≈ 15σ ≈ X ( )2179,15N 179 15 164µ σ− = − = 1 0.6826( 164) 1 0.84132P X −> = − = 2000 0.8413 1682.6 1683× = ≈ 1 2 1~ 3, 2Bξ      ξ 0 3 0 3 1 1 1( 0) 12 2 8P Cξ    = = × × − =       2 1 3 1 1 3( 1) 12 2 8P Cξ  = = × × − =   2 1 2 3 1 1 3( 2) C 12 2 8P ξ    = = × × − =       3 3 3 01 1 1( 3) 12 2 8P Cξ    = = × × − =       ξ ξ P 1 8 3 8 3 8 1 8 1 3( ) 3 2 2E ξ = × = 1 1 3( ) 3 12 2 4D ξ  = × × − =  本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望 的计算问题． 9．在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0, ），（0, ）的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y＝ kx+1 与 A 交于 A，B 两点. （1）写出 C 的方程； （2）若 ，求 k 的值. 【答案】（1）x2 1；（2）± 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件可判断动点轨迹为椭圆，结合题意写出椭圆方程即可； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及向量垂直，即可求得参数 . 【详解】 （1）设 P（x,y），由椭圆定义可知， 点 P 的轨迹 C 是以（0, ），（0, ）为焦点，长半轴为 2 的椭圆. 它的短半轴 b 1， 故曲线 C 的方程为 x2 1. （2）设 A（x1,y1），B（x2,y2）， 其坐标满足 ， 消去 y 并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3＝0， 故 x1+x2 ，x1x2 ， 若 ，即 x1x2+y1y2＝0. 而 y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1， 则 x1x2+y1y2 1＝0， 化简得﹣4k2+1＝0， 3− 3 OA OB⊥  2 4 y+ = 1 2 k 3− 3 4 3= − = 2 4 + =y 2 2 14 1 yx y kx  + =  = + 2 2 4 k k = − + 2 3 4k = − + OA OB⊥  2 2 2 2 2 3 3 2 4 4 4 k k k k k = − − − ++ + +解得 k＝± . 【点睛】 本题考查根据定义求解椭圆方程，以及直线与椭圆相交时，求参数的值，属综合基础题. 10．已知函数 ． （ ）若 ，求 在 处的切线方程． （ ）求 在区间 上的最小值． （ ）若 在区间 上恰有两个零点，求 的取值范围． 【答案】（ ） ．（ ）见解析．（ ） 【解析】 试题分析：（1）把 a=2 代入可得 ， ，进而可得方程，化为一般式即可； （2）可得 x= 为函数的临界点，分 ≤1，1＜ ＜e， ，三种情形来讨论，可得最值； （3）由（2）可知当 0＜a≤1 或 a≥e2 时，不合题意，当 1＜a＜e2 时，需 ，解之可得 a 的范围． 试题解析：（ ）当 时， ， ， ∴ ， ， ∴ 在 处的切线方程为 ，即 ． （ ） ． 由于 及定义域为 ，所以令 得 ． ①若 ，即 ，则 时， ， 在 上单调递增， 1 2 21( ) ln ( 0)2f x x a x a= − > 1 2a = ( )f x (1, (1))f 2 ( )f x [1,e] 3 ( )f x (1, )e a 1 2 2 3 0x y+ − = 2 3 21e, e2      ( )1 1f ′ = − ( ) 11 2f = a a a ea ≥ ( ) ( ) 2 1 1 02 11 02 1(e)= e 02 a lna f f a  −    − > 1 2a = ( ) 21 2ln2f x x x= − ( ) 2f x x x ′ = − ( )1 1f ′ = − ( ) 11 2f = ( )f x ( )( )1, 1f ( )1 12y x− = − − 2 2 3 0x y+ − = 2 ( ) 2a x af x x x x =′ −= − 0a > ( )0,+∞ ( ) 0f x′ = x a= 1a ≤ 0 1a< ≤ (1,e)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,e∴ 在区间 上的最小值为 ． ②若 ，即 ，则 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， ∴ 在区间 上的最小值为 ． ③若 ，即 ，则 时， ， 在 上单调递减， ∴ 在区间 上的最小值为 ． 综上所述，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． （ ）由（ ）可知当 或 时， 在 上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零 点． 当 ，要使 在区间 上恰有两个零点，则 ，即 ，故 ． 所以， 的取值范围为 点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解. ( )f x [1,e] ( ) 11 2f = 1 ea< < 21 ea< < ( )1,x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,e)x a∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x [1,e] ( ) 1 (1 ln2f a a a）= − ea ≥ 2ea ≥ (1,e)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x [1,e] ( )f x [1,e] 21(e)= e2f a− 0 1a< ≤ ( )min 1 2f x = 21 ea< < ( ) ( )min 1 1 ln2f x a a= − 2ea ≥ ( ) 2 min 1 e2f x a= − 3 2 0 1a< ≤ 2ea ≥ ( )f x ( )21,e 21 ea< < ( )f x (1,e) ( ) ( ) 2 1 1 02 11 02 1(e)= e 02 a lna f f a  −    − > 2 e 1< e2 a a >  21e< < e2a a 21e, e2     