【数学】20.4.docx

绝密★考试结束前 ‎ ‎ 数学（四）‎ 考生须知：‎ 1. 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。‎ 2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。‎ 3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。‎ 4. 考试结束后，只需上交答题卷。‎ 选择题部分 ‎ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） ‎ ‎1．已知a, b Î R, i 是虚数单位，若 a + i 与1+ bi 互为共轭复数，则（ ） ‎ i B. a + b = 0 ‎ ‎ A. a - b = 0 ‎ C. a = 1 ‎ D. b = 1 ‎ ìx - 2 y ³ -2‎ ï ‎2. 已知实数 x, y 满足 x + y £ 1 ，则 x + y 的最大值为（ ） ‎ í ï y ³ 0‎ î ‎ A. 4 ‎ B. 3 ‎ C. 2 ‎ ‎”成立的（ ） ‎ D.1 ‎ ‎3. 已知a, b Î R ，则 “ ea > eb ”是“ a ‎ A．充分非必要条件 ‎ ‎ C．充要条件 ‎ > b B．必要非充分条件 ‎ D．既非充分也非必要条件 ‎ ‎4.在正三棱柱 ABC - A1 B1C1 中， AB = AA1 = 2 ， M 是棱 AA1 上的动点，则三棱锥 M - BCB1 的体积为 ‎（ ） ‎ D． 4 ‎ ‎3‎ B． 2‎ ‎3 ‎ C． 2‎ ‎2 ‎ ‎ ‎ A．不确定 ‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5．已知函数 f (x) = 2sin(wx - p )(w > 0) 和 g(x) = cos(3x + j)(| j |< p ) 的图象的对称轴完全相 ‎6‎ ‎2‎ 同，则（ ） ‎ A. w = 2 ，j = p B. w = 3 ， j = p C. w = 2 ， j = p D. w = 3 ，j = p ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎6．若函数 f ( x) = x2 在区间[a, b] 上的值域为[t, t +1](t Î R) ，则b - a （ ） ‎ A.有最大值，但无最小值 ‎ C.无最大值，但有最小值 ‎ B. 既有最大值，也有最小值 ‎ D. 既无最大值，也无最小值 ‎ 第1页（共 4 页）‎ ‎2019 æ 22‎ ‎22019 ö ‎23‎ ‎7.设 an 是(2 + x) n ‎( n ³ 2 ，且 n Î N )的展开式中 x 项的系数，则 ‎2‎ + + + ç ÷ 的 ‎2018 è a2 a3‎ a2019 ø 值 为 （ ） ‎ B. 2006 ‎ D. 1003 ‎ ‎ A. 4 ‎ C. 8 ‎ ‎2017‎ ‎2017‎ ‎8．如图，点 P 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 的表面上运动，且 P 到直线 BC 与点 D1 的距离相等．如 果将正方体在平面内展开，那么动点 P 的轨迹在展开图中的形状是（ ） ‎ D1‎ C1‎ A1‎ C A B ‎ ‎ ‎9. 已知平面向量a, b, c 满足： a - b = 4 ，且(a - c) × (b - c) = -3 ，则c × (a + b) 的最小值为（ ） ‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ C. - ‎ ‎4‎ D. - ‎ ‎2‎ ‎ A. ‎ ‎4‎ B. ‎ ‎2‎ ‎10.已知抛物线C : y2 = x ，以 M (1,1) 为直角顶点作该抛物线的内接直角DMAB ，则点 M 到直线 AB 的距离的最大值为（ ） ‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎5‎ ‎ ‎ C． 6 ‎ ‎7 ‎ A．‎ B．‎ D．‎ 非选择题部分 ‎ 二、 填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每小题 6 分, 单空题每小题 4 分,共 36 分． ‎ ‎11.集合 A = {x | -1 £ x £ 2},B = {x |1 < x < 4} ，则 A B = ， A I (CR B) = ． ‎ 第2页（共 4 页）‎ P B ‎1‎ D ‎12.若圆 x2 + y2 - 2x - 4 y - 4 = 0 关于直线 y = 3x + b 对称，则圆的半径为 ， b 的值为 ‎ . ‎ ‎2‎ + ‎8 = 1，则 x + y 的最小值是 ‎，此时( x, y ) = ‎13.已知正数 x, y 满足 ‎. ‎ x +1 y = 5 ， 则 ‎6‎ ‎14. 在矩形 ABCD 中， AB = 2, AD = 1 ， E, F 分别是边 AB, AD 上的动点， 且 S DCEF · BE = ，当ÐECF 最大时， DF 的长为 ． ‎ DF ‎15．用红黄蓝三种颜色给如图所示的六个圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜 色不能相同，则不同的涂色方案共有 . ‎ A B C D E F 第 15 题图 第 16 题图 ‎16.已知点 A 、 B 是曲线C : y = x + 1 ( x > 0 ) 上任意的两个不同点，分别过 A 、 B 作曲线C 的切 x 线交 y 轴和直线 y = x 于 P 、Q 、M 、N （如图），记这两条切线的交点为G ，则 SDPMG : SDQNG 的取值所构成的集合为 ． ‎ ‎17．设函数 f (x) =| ax2 - bx + 3 | ，若对任意的负实数a 和实数b ，总有 x Î[1, 2] ，使得 f (x ) ³ mx ，‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 则实数m 取值范围是 ． ‎ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） ‎ ‎18．（本题满分 14 分）设函数 f (x) = 3 sin wx coswx + cos2 wx ．其中1 £ w < 3 . ‎ ‎（Ⅰ）若 f (x) 的最小正周期为p ，求 f (x) 的单调增区间； ‎ ‎（Ⅱ）若函数 f (x) 的图象的一条对称轴为 x = ，求函数 f (x) 的对称中心． ‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ p 第3页（共 4 页）‎ ‎19．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB // CD ，‎ AB = AD = 1 ， BC ^ BD ， PA = 3EA ．‎ ‎（Ⅰ）求证： PC //平面 DBE ；‎ ‎（Ⅱ）若 PD = PC = 2 且二面角 P - DC - B = 5p ，求 PB ‎6‎ 与平面 PCD 所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. （本题满分 15 分）对任意的正整数n ，数列{an } 和{bn } 满足： a1 = 1 ，且 an + an-1 + an-2‎ a2 + a1‎ + + = T ‎ ‎ n b b b b b n-1 n ‎1 2‎ ‎3‎ n+2‎ ‎3‎ ‎3n 9‎ ‎，试问：{ } 是否为等比数列，若是，求公比q 的值； ‎ = n ， T = - - ‎（I）若 a b n n n ‎4 2 4‎ n = æ 1 ö + a = 3n ，求满足4T ‎， a - ‎3a ³ 2020 的正整数n 的最小值. ‎ ‎（II）若b n ç 3 ÷ n n+1‎ n n è ø ‎ ‎ ‎ ‎ x2‎ y2‎ ‎21 ．（ 本 题 满 分 15 分） 如图 所示 ， 已知 椭圆 C ： + = 1(a > b > 0) ，圆 O ：‎ a2 b2‎ x2 + y2 = r 2 (0 < r < b) ．椭圆C 的离心率为 6 且过点(0, 2) ． P 为椭圆上的一动点，过点 P ‎3‎ 作圆O 的两条切线l1 , l2 ，且两切线的斜率之积k1k2 为定值．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C 的方程与r 的值；‎ y l1‎ ‎（Ⅱ）若l 与椭圆C 交于 P, Q 两点，与圆O 切于点 A ，‎ l2‎ ‎1‎ P A 与 x 轴正半轴交于点 B ，且满足| PA |=| QB | ，求l1‎ 的方程．‎ O B x Q ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．（本题满分 15 分）已知 f (x) = ex-a+1, g ( x) = x2 + bx +1 ．‎ ‎（Ⅰ）当b = 0 时，证明：对任意的实数 a ，方程 f ( x) = g( x) 恒有解；‎ ‎（Ⅱ）当a = b 时， f ( x) ³ g ( x) 对任意的 x ³ 0 恒成立，求实数a 的取值范围．‎ 第4页（共 4 页） ‎