秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00~17:00]
全国大联考 2020 届高三 4 月联考
文科数学试卷
注意事项：
1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。
2．考试时间 120 分钟，满分 150 分。
3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。
4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. 不等式 0 成立的充分不必要条件是
A. x>1 B. x>−1 C.xb>c B. a>c>b C. c>a>b D. c>b>a
8. 下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（即各
面所标序号相对位置相同）的是
A. (I)和(IV) B. (I)和(III) C. (II)和(III) D. (II)和(IV)
9. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC,CB 的长，
则该矩形面积大于 20cm2 的概率为
A. B. C. D.
10 双曲线 E: =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作一条直线与两条渐
近线分别相交于 A，B 两点，若 ， ，则该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．3
11. 已知直线 x=t 分别与函数 f(x)=log2(x+1)和 g(x)=2log2(x+2)的图象交于 P，Q 两点，则
P，Q 两点间的最小距离为
A. 4 B. 1 C. D. 2
,log,4
1,3
1
3
3
1
3
2
π=
=
= cba
6
1
3
1
5
4
3
2
2
2
2
2
b
y
a
x −
AFBF 11 2= ||2|| 21 OBFF =
2 3
212. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)，且对任意的不相等的实数 x1，x2∈[0,+∞)有
＜0 成立，若关于 x 的不等式 f(2mx-lnx-3)≥2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在 x∈[1,3]恒
成立，则实数 m 的取值范围是
A. [ ,1+ ] B. [ ,2+ ] C. [ ,2+ ] D. [ ,1+ ]
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 某班级有 50 名学生，现采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名，将这 50 名
学生随机编号 1～50 号，并分组，第一组 1～5 号，第二组 6～10 号，…，第十组 46～
50 号，若在第三组中抽得号码为 12 号的学生，则在第八组中抽得号码为____的学生.
14. 某公司计划在 2020 年春季校园双选招聘会招收 x 名女性，y 名男性，若 x, y 满足约束条
件 ，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为________.
15. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 x∈R 都有 f(x+3)=f(x)且 f(−1)=4，则 f(1)的值
为_______.
16. 过 抛 物 线 C：x2=2py（p>0） 的 焦 点 F 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 A 、B 两 点 ， 若
4|AF|=|BF|， O 为坐标原点，则 _______.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：（共 60 分）
17.（12 分）在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 csinA= acosC.
（1）求角 C 的值;
（2）若 S△ABC=2 ,a+b=6,求 c 的值.
18.（12 分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要
因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据
机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组
织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列
联表：
21
21 )()(
xx
xfxf
−
⋅
e2
1
6
3ln
e
1
3
6ln
e
1
3
3ln
e2
1
6
6ln
≤
≤−
≥−
6
2
52
x
yx
yx
=
||
||
OF
AF
3
3（1）若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 0.6，问是否有
的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？
（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据，
并制成如图 7 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放的尾
气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号的汽车
使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍．
附：
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
19.（12 分）
如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长 2 的菱形,∠BAD=60 º.已知.PB=PD=2,PA=
（1）证明: PC⊥BD
（2）若 E 为 PA 的中点，求三棱锥 P-BCE 的体积.
20.（12 分）设 F1,F2 分别是椭圆 E: =1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动
6
2
22
4 b
yx +点, 的最大值为 1.
（1）求椭圆 E 的方程;
（2）设直线 l:x=ky−1 与椭圆交于不同的两点 AB,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),
求 k 的取值范围.
21.（12 分）设 n∈N*,函数 f( x) = ,函数 g(x)= (x>0).
（1）当 n=1 时,求函数 y=f(x)的零点个数;
（2）若函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象分别位于直线 y=1 的两侧，求 n 的取值集合 A;
（3）对于 nA,xx (0,+),求 f(x1)−g(x2)的最小值.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的
第一题记分。
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).以坐标原点为极
点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为ρ=2sinθ
（1）判断直线 l 与圆 C 的交点个数
（2）若圆 C 与直线 l 交于 AB 两点,求线段 AB 的长度 ,
23.【选修 4-5:不等式选讲】（12 分）
已知函数 f(x)=| x−5|− |x+3|.
（1）解不等式 f(x) ≥x+1;
（2）记函数 f(x)的最大值为 m,若 a>0,b>0,ea▪e4b=e4ab−m,求 ab 的最小值.
21 PFPF ⋅
nx
xln
n
x
x
e
),0(,, 21 +∞∈∀∈∀ xxAn
−=
=
ty
tx
2
31
2
1
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