全国大联考2020届高三4月联考理科数学试题 PDF版含答案.pdf

理科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20·LK4·QG 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 理科数学试卷 注意事项： 1．考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。 2．考试时间 120 分钟，满分 150 分。 3．本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。 4．考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 不等式 成立的充分不必要条件是 A. B. C. 或 D. 2. 复数 z=1+2i 的共轭复数是푧，则 z·푧= A. √3 B. 3 C. 5 D. √5 3. 已知随机变量 ),2(~ 2NX ，若 36.0)31 = XP（ ，则 = )3XP（ A．0.64 B．0.32 C．0.36 D．0.72 4. 设 m,n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是 A. 若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α B. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n C. 若 α∥β，m⊂ α，则 m∥β D. 若 m∥β，m ⊂ α，则 α∥β 5. 已知 ，则 A. B. C. D. - 6. 如图是某高校用于计算 500 名学生某学科（满分为 100 分） 期末考试及格率 q 的程序框图，图中空白框内应填入 A. M Nq = B. N Mq = C. NM Nq += D. NM Mq += 7. 右图是某几何体的三视图，该几何体的体积为 011 − x 1x 1−x 1−x 10  x 11x−   3sin 3 2 2 − = − cos 3  += 3 2 3 2− 1 2 1 2理科数学试卷 第 2 页（共 4 页） 20·LK4·QG A. 1 12 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 2 8. 设不等式组 0 2 2 0 1 xy xy x −  − +    表示的平面区域为 m，则 A. m 的面积为 9 2 B. m 内的点到 x 轴的距离有最大值 C. 点 A(x,y)在 m 内时， x x+2＜2 D. 若点 p(x0,y0)∈m，则 x0+y0≠2 9. 已知 21 33 3 11, , log34a b c    = = =       ，则 cba ,, 的大小关系为 A. cba  B. bca  C. bac  D. abc  10. 函数 y=f(x)的定义域为 R，且 φ(x)-f(x)-f(x+a)，对任意 a＜0，φ(x)在 R 上是增函数，则函 数 y=f(x)的图象可以是 A B C D 11. 双曲线 的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作一条直线与 两条渐近线分别相交于 A，B 两点，若 ， ，则该双曲线的离 心率为 A． B． C．2 D．3 12. 已知函数 f(x)=alnx+(a-1)x2+1(a＜0)，在函数 f(x)图象上任取两点 A，B，若直线 AB 的斜 率的绝对值都不小于 5，则实数 a 的取值范围是 A.（-∞，0） B.（-∞，2-3√6 4 ） C.（-∞，-2-3√6 4 ） D.（2-3√6 4 ，0） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+……+a5x5，则 a1+a3+a5= 14. 已知 P 是抛物线 xy 42 = 上的动点， ）（ 15,2A ，若点 到 y 轴的距离为 1d ，点 到 点 A 的距离为 2d ，则 21 dd + 的最小值是_________. ( )0,01: 2 2 2 2 =− bab y a xE AFBF 11 2= OBFF 221 = 2 3理科数学试卷 第 3 页（共 4 页） 20·LK4·QG 15. 已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=0，且 f(x)的导函数 f’(x)满足 f’(x)+1＜0，则 不等式 f(lnx)+lnx＞1 的解集为_______.（结果用区间表示） 16. 如图,点 P 是正方形 ABCD-A1B1C1D1 外的一点,过点 P 作 直线 l,记直线 l 与直线 AC1，BC 的夹角分别为 ， ， 若 ，则满足条件的直 线 l 有 条。 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（共 60 分） 17.（12 分）在 ABC△ 中,角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc,且 sin 3 cosc A a C= . （1）求角 C 的值; （2）若 23ABCS =△ , 6ab+=,求 c 的值. 18.（12 分）现有甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不 小于 82 分的为合格品,否则为次品.现随机抽取两种产品各 100 件进行检测,其结果如下: 测试指标分数 [70,76) [76，82) [82,88) [88,94) [94,100) 甲产品 8 12 40 32 8 乙产品 7 18 40 29 6 （1）根据以上数据,完成右边的 2×2 列联表,并 判断是否有 95%的有把握认为两种产品的质量有 明显差异？ （2）已知生产 1 件甲产品,若为合格品,则可盈 利 40 元,若为次品,则亏损 5 元;生产 1 件乙产品,若为合格品,则可盈利 50 元,若为次品,则亏 损 10 元.记 X 为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学 期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率） 参考公式： ( )( )( )( ) 2 2 ()n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.（12 分）如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形，△GAD 为等边三角形，BF⊥平 面 ABCD，∠GDC＝90°，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点． （1）若点 P 为线段 GD 的中点，证明：AP⊥平面 GCD； （2）若二面角 B－DE－C 的余弦值为√7 7 ，试通过计算说明点 E 的位置． 1 2 1sin( 50 ) − 2 1cos(140 )= 2=  − 甲产品 乙产品 合计 合格品 次品 理科数学试卷 第 4 页（共 4 页） 20·LK4·QG 20.（12 分）设 12,FF分别是椭圆 22 2:14 xyE b+=的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动 点, 12PF PF 的最大值为1. （1）求椭圆 E 的方程; （2）设直线 :1l x ky=−与椭圆交于不同的两点 ,?AB,且 AOB 为锐角(其中 O 为坐标原 点),求 k 的取值范围. 21.（12 分）已知函数 ( ) ( )2 8 ln Rf x x x a x a= − +  （1）当 1x = 时, ( ) fx取得极值,求 a 的值并判断 1?x = 是极大值点还是极小值点 （2）当函数 ( ) fx有两个极值点 ( )1 2 1 2,x x x x ,且 1 1x  时,总有 ( )21 11 1 ln 431 ax t x xx  + −− 成 立,求t 的取值范围. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第 一题记分。 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 1 2 31 2 xt yt  =  =− (t 为参数).以坐标原点为极 点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为 2sinp = （1）判断直线l 与圆C 的交点个数 （2）若圆C 与直线l 交于 ,AB两点,求线段 AB 的长度 23.【选修 4-5:不等式选讲】（12 分） 已知函数 ( ) 5 3f x x x= − − + . （1）解不等式 ( ) 1f x x+; （2）记函数f ( )x 的最大值为 m ,若 0, 0,ab 44a b ab me e e −= ,求 ab 的最小值. 理科数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 20·LK4·QG 秘密★考试结束前 [考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00~17:00] 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B C C D D C D A C B 12.【解析】f’(x)=2(a-1)x2+a x ＜0，f(x)在（0, +∞）单调递减. A(x1,y1), B(x2,y2)，|f(x1)-f(x2) x1-x2 |≥5. 设 x1＞x2＞0，则 f(x1)≤f(x2)+5x2， 设 g(x)= f(x)+5x，则 g(x)在(0, +∞)上单调递减， 则 g’(x)=2(a-1)x2+5x+a x ≤0 对 x∈(0, +∞)恒成立. 则 2(a-1)x2+5x+a 对 x∈(0, +∞)恒成立，则△≤0，即 8a2-8a-25≥0, 解得 a≤2-3√6 4 或 a≥2+3√6 4 .又 a＜0，所以 a≤2-3√6 4 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．528 14．3 15．(0, e) 16．4 三、解答题：共 70 分． 17.（12 分） 解：（1）在 ABC△ 中, sin 3 cosc A a C= , ∴结合正弦定理得sin sin 3sin cosC A A C= , ∵ 0 πA,∴sin 0A  , ∴sin 3cosCC= , 又∵sin 0C  , ∴ tan 3C = ,∴ π 3C = . （2）∵ 23ABCS =△ , π 3C = , 理科数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 20·LK4·QG ∴ 1 sin 2 32 ab C = , ∴ 8ab = , 又 6ab+=, ∴ 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ( )2 2 2 cosa b ab ab C= + − − 36 16 8 12= − − = . ∴ 23c = . 18.（12 分） 解：（1）列联表如下: 甲产品 乙产品 合计 合格品 80 75 155 次品 20 25 45 合计 100 100 200 ( )2 2 200 80 25 75 20 0.717 3.841100 100 155 45K   − =     ∴没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异 （2）依题意,生产一件甲,乙产品为合格品的概率分别为 43,54, 随机变量 X 可能取值 90,45,30,-15 ( ) 1 3 345 5 4 20PX= =  = ( ) 4 1 130 5 4 5PX= =  = ( ) 1 1 115 5 4 20PX= − =  = X 的分布列为: X 90 45 30 -15 P 3 5 3 20 1 5 1 20 ∴ ( ) 3 3 1 190 45 30 15 665 20 5 20EX=  +  +  −  = 理科数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 20·LK4·QG 19.（12 分） 解：（1）因为△GAD 是等边三角形，点 P 为线段 GD 的中点，故 AP⊥GD， 因为 AD⊥CD，GD⊥CD，且 AD∩GD＝D，故 CD⊥平面 GAD， 又 AP⊂平面 GAD，故 CD⊥AP， 又 CD∩GD＝D，故 AP⊥平面 GCD. （2）取 AD 的中点 O，以 OA 所在直线为 x 轴，过 O 点作平行于 AB 的直线为 y 轴， OG 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AD＝2，则 G(0,0， 3)，C(－1,2,0)，故GC→ ＝(－1,2，－ 3)， 设GE→ ＝λGC→ ＝(－λ，2λ，－ 3λ)(0