2020年4月【开学摸底考】高三数学（山东）A卷（解析版）

2020 年 4 月【开学摸底考】高三数学（山东）A 卷 一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合 ， ， ，若 为空集，则方程 无解，解得 ； 若 不为空集，则 ；由 解得 ，所以 或 ，解得 或 ， 综上，由实数 的所有可能的取值组成的集合为 . 2．若 （其中 是虚数单位），则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 复数 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限，故选 D. 3．函数 的图象大致为（ ） A． B． { 1,2}A = − { | 1}B x ax= = B A⊆ a 11, 2     11, 2  −   10,1, 2     11,0, 2  −   { 1,2}A = − { | 1}B x ax= = B A⊆ B 1ax = 0a = B 0a ≠ 1ax = 1x a = 1 1a = − 1 2a = 1a = − 1 2a = a 11,0, 2  −   1iz i= + i z i 1 iz = − + ( )( ) 2 1 i i1 i 1 ii iz − + −− += = = +− 1z i= − ∴ z ( )1, 1− ( )( ) 2 2 lnx xf x x−= +C． D． 【答案】B 【解析】 定义域为 ，且 为偶函数，关于 轴对称，排除 ； 当 时， ， ，可知 ，排除 . 4．《九章算术 衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱 出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、 乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说 法中错误的是（ ） A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲 C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少 【答案】B 【解析】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的 不超过甲．可知 错误:乙应出的税钱为 .可知 正确. 5．若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 由 ，可得 ( )f x { }0x x ≠ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ln 2 2 lnx x x xf x x x f x− −− = + − = + = ( )f x∴ y D ( )0,1x∈ 2 2 0x x−+ > ln 0x < ( ) 0f x < ,A C ⋅ 560 350 180 100 32 ,A D 35 1 100 2 < B 350100 32560 350 180 × ≈+ + C ( ) 2sin 75 3 α° + = ( )cos 30 2α° − = 4 9 4 9 − 5 9 5 9 − 75 α θ° + = 75α θ °= − ( ) 2sin 75 3 α° + = 2sin 3 θ = ( ) ( )cos 30 2 cos 30 2 75θα° ° °−− − =   ( ) ( )2cos 180 2 cos2 1 2sinθ θ θ°= − = − = − −6．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时， 甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四 名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】若甲阅读了语文老师推荐的文章， 则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意； 若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意； 若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 7．若 ， ， 满足 ， ， .则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选 A. 8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限 内的交点为 M，若 ．则该双曲线的离心率为 A．2 B．3 C． D． [来源:Z.Com] 【答案】D 【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过 点作 垂线交 于点 ，然后通过圆与双曲线的 相关性质判断出三角形 的形状并求出高 的长度， 的长度即 点纵坐标，然后将 点 纵坐标带入圆的方程即可得出 点坐标，最后将 点坐标带入双曲线方程即可得出结果． 【详解】 2 2 51 2 3 9    = − − × = −      a b c 2 3a = 2log 5b = 3 2c = c a b< < b c a< < a b c< < c b a< <  2 3a = 1 22 3 2< < ∴1 2a< <  2 2log 5 log 4b = > ∴ 2b >  3 2c = 0 13 2 3< < ∴ 0 1c< < ∴ c a b< < ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1 2F F、 2 2 2x y b+ = 1 23MF MF= 2 3 M 1 2F F 1 2F F H 2OMF MH MH M M M M根据题意可画出以上图像，过 点作 垂线并交 于点 ， 因为 ， 在双曲线上， 所以根据双曲线性质可知， ，即 ， ， 因为圆 的半径为 ， 是圆 的半径，所以 ， 因为 ， ， ， ， 所以 ，三角形 是直角三角形， 因为 ，所以 ， ，即 点纵坐标为 ， 将 点纵坐标带入圆的方程中可得 ，解得 ， ， 将 点坐标带入双曲线中可得 ， 化简得 ， ， ， ． 二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9．下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（） A．该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B．该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 M 1 2F F 1 2F F H 1 23MF MF= M 1 2 2MF MF a- = 2 23 2MF MF a- = 2MF a= 2 2 2x y b+ = b OM 2 2 2x y b+ = OM b= OM b= 2MF a= 2OF c= 2 2 2+ =a b c 2 90OMFÐ =  2OMF 2MH OF^ 2 2OF MH OM MF´ = ´ ab cMH = M ab c M 2 2 2 2 2a b cx b+ = 2b cx = ( )2 ,b ab c cM M 4 2 2 2 2 1b a a c c- = 4 4 2 2b a a c- = ( ) 22 2 4 2 2c a a a c- - = 2 23c a= 3ce a= =C．该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】ACD 【解析】根据表中数据知，该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A 正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定 相同，B 错误； 该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为 95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 不是周期函数 B． 奇函数 C． 的图象关于直线 对称 D． 在 处取得最大值 【答案】AC 【解析】作出函数 的图象如图：则由图象知函数 不是周期函数，故 正确； 不是奇函数，故 错误， 若 ， ， ， 此时 ， 若 ， ， ，此时 ， 综上恒有 ，即图象关于直线 对称，故 正确， 在 处 不是最大值，故 错误， sin , 4( ) cos , 4 x x f x x x π π  ≤=   > ( )f x ( )f x ( )f x 4x π= ( )f x 5 2x π= ( )f x ( )f x A B 0x > 2( ) cos( ) cos cos sin sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π+ = + = − = − 2( ) sin( ) sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π− = − = − = − ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − 0x 2( ) sin( ) sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π+ = + = + = + 2( ) cos( ) cos cos sin sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π− = − = + = + ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − 4x π= C ( )f x 5 2x π= 5 5( ) ( ) cos 02 2f x f π π= = = D11．设 A，B 是抛物线 上的两点， 是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，直线 AB 过定点 C．若 ， 到直线 AB 的距离不大于 1 D．若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且 ，则 【答案】ACD 【解析】B.设直线 方程为 ， ， ， ， ， 将直线 方程代入抛物线方程 ，得 ， 则 ， ， ， ， ． 于是直线 方程为 ，该直线过定点 ．故 不正确； C. 到直线 的距离 ，即 正确； A. ． 正确； D.由题得 ,所以 ，不妨取 . 所以 ，所以直线 AB 的方程为 ，所以 . 2y x= O OA OB⊥ 2OA OB ≥ OA OB⊥ (1,0) OA OB⊥ O 1 3AF = | | 1BF = AB y kx b= + 1(A x 1)y 2(B x 2 )y AB 2y x= 2 0x kx b− − = 1 2x x k+ = 1 2x x b= − OA OB⊥ 1OA OBk k b∴ = − = − 1b = AB 1y kx= + (0,1) B O AB 2 1 1 1 d k = +  C 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2| || | ( )( ) ( )( ) (1 )(1 )OA OB x y x y x x x x x x= + + = + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 4 ( )x x x x x x x x= + + + = + + = + + | | | | 2OA OB∴   1 1 1 1 1,4 3 12y y+ = ∴ = 2 1 1 3= =12 6x x∴ ±， 3 6x = 1 1 312 4 33 6 k − = = − 3 1 3 4y x= − + 1 4b =由题得 = . 所以 .所以 D 正确. 12．如图，矩形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连结 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正 确的是（ ） A．存在某个位置，使得 B．翻折过程中， 的长是定值 C．若 ，则 D．若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积是 【答案】BD 【解析】如图 1，取 中点 ，取 中点 ，连结 交 于点 ，连结 ， ， , 则易知 ， ， ， ， ， 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1| | ( ) 2 24 4 2 2 2AB y y y y k x x b k b= + + + = + + = + + + = + + 1 1 1 4+ + =3 2 2 3 4 1| | 13 3BF = − = ABCD M BC ABM AM 1AB M 1B D N 1B D CN AB⊥ CN AB BM= 1AM B D⊥ 1AB BM= = 1B AMD− 1B AMD− 4π AD E 1AB K EC MD F NF KN BK 1//NE AB 1//NF B M //EF AM //KN AD 1 1 2NE AB= EC AM=由翻折可知， ， ， 对于选项 A，易得 ，则 、 、 、 四点共面，由题可知 ，若 ，可 得 平面 ，故 ，则 ，不可能，故 A 错误； 对于选项 B，易得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 整理得 ， 故 为定值，故 B 正确； 如图 2，取 中点 ，取 中点 ，连结 ， ， ， ，， 对于选项 C，由 得 ，若 ，易得 平面 ，故有 ，从而 ，显然不可能，故 C 错误； 对于选项 D，由题易知当平面 与平面 垂直时，三棱锥 B1﹣AMD 的体积最大，此时 平面 ，则 ，由 ，易求得 ， ，故 ，因此 ， 为三棱锥 的外接球球心，此外接球半径为 ，表面积为 ，故 D 正确. 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知两个单位向量 的夹角为 ， ，则 ______． 【答案】 1MAB MAB∠ = ∠ 1AB AB= //KN BC K N C B AB BC⊥ CN AB⊥ AB ⊥ BCNK AB BK⊥ 2 2AK AB BK AB= + > 1NEC MAB∠ = ∠ NEC 2 2 2 cosCN CE NE NE CE NEC= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 2 2 2124 2 2 AB AB ABCN AM AM BC ABAM = + − ⋅ ⋅ = + CN AD E AM O 1B E OE 1B O DO AB BM= 1B O AM⊥ 1AM B D⊥ AM ⊥ 1B OD AM OD⊥ AD MD= 1AB M AMD 1B O ⊥ AMD 1B O OE⊥ 1AB BM= = 1 2 2BO = 2DM = 2 2 2 2 1 1 2 2 12 2B E OB OE    = + = + =          1EB EA ED EM= = = E 1B AMD− 1 4π a b ， 30 (1 ) , 0c ma m b b c= + − ⋅ =    m = 4 2 3+【解析】 ， 所以 ， 14．已知曲线 （ ， ）的一条渐近线 经过点 ，则该双曲线的离心率为 ____________. 【答案】2 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ， 由题意可得 ，即 ， 即有双曲线的 ． 15．若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】 . 【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下： 设圆柱的底面圆半径为 ，则 ，所以轴截面的面积为 ，解得 ， 因此，该圆柱的外接球的半径 ， 所以球的表面积为 . 16．已知函数 ，若 ，则不等式 的解集为__________，若存在实数 ，使 函数 有两个零点，则 的取值范围是__________． 2 2 3[ (1 ) ] (1 )( ) | || | cos30 (1 ) | | 1 02b c b ma m b ma b m b m a b m b m m°⋅ = ⋅ + − = ⋅ + − = + − = + − =           4 2 3m = + 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( 2, 6) 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > by xa = ± 2 6b a = 3b a= 2 21 1 3 2c be a a = = + = + = 8π r 2BC r= ( )22 4ABCDS r= =正方形 1r = 2 22 2 22 2 BDR += = = ( )2 4 2 8S π π= = ( ) 2 2 , , x x af x x x a  ≤=  > 1a = ( ) 2f x ≤ b ( ) ( )g x f x b= − a【答案】 【解析】由题意得： ，当 a=1 时， ， 可得：（1）当 时， ，可得 ；（2）当 时， ，可得 ，综合可 得 的解集为 ； 由 ， 只有一个零点时， ，可得 ，当 时， 此时 ， 只有一个零点，当 时，有两个零点，同理，当 时，此时 ， 只有一个零点，当 时，有两个零点， 故可得 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）给定数列{An}，若对任意 m，n∈N*且 m≠n，Am+An 是{An}中的项，则称{An}为“H 数列”．设 数列{an}的前 n 项和为 Sn． （1）请写出一个数列{an}的通项公式 ，此时数列{an}是“H 数列”； （2）设{an}既是等差数列又是“H 数列”，且 a1＝6，a2∈N*，a2＞6，求公差 d 的所有可能值； 【解析】（1）an＝2n；（2）2，3，6． 【解析】如：an＝2n． 对任意 m，n∈N*且 m≠n，an+am＝2（n+m）＝am+n∈{an}． 因此数列{an}为“H 数列”． （2）设{an}既是等差数列又是“H 数列”，且 a1＝6，a2∈N*，a2＞6， an＝6+（n﹣1）d，6+d＞6，即 d＞0．且 d∈N*， a1+a2＝6+6+d＝12+d， 则 a1+a2＝ak， 若 a1+a2＝a3 ＝6+2d，则 d＝6．an＝6n，{an}是“H 数列”， 若 a1+a2＝a4＝6+3d，则 d＝3．an＝3n+3，{an}是“H 数列”， 若 a1+a2＝a5＝6+4d，则 d＝2．an＝2n+4，{an}是“H 数列”， ( , 2]−∞ ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞ ( ) 2 2 , , x x af x x x a  ≤=  > ( ) 2 2 , 1 , 1 x xf x x x  ≤=  > 1x ≤ ( ) 2f x ≤ 1x ≤ 1x > ( ) 2f x ≤ 2x ≤ ( ) 2f x ≤ ( , 2]−∞ ( ) 2 2 , , x x af x x x a  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − 22x x= 2 =4x x= 或 2a = ( ) 2 2 , 2 , 2 x xf x x x  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − 2a < 4a = ( ) 2 2 , 4 , 4 x xf x x x  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − 4a > a ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞若 a1+a2＝a6＝6+5d，则 d＝ ∉N*，舍去． k≥6 时，{an}不是“H 数列”． 公差 d 的所有可能值为：2，3，6． 18．（12 分）已知在 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，且 ． （1）求角 A 的值； （2）若 ，设角 ， 周长为 y，求 的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由已知 可得 ， 结合正弦定理可得 ，∴ ， 又 ，∴ ． （2）由 ， 及正弦定理得 ， ∴ ， ， 故 ，即 ， 由 ，得 ， ∴当 ，即 时， ． 19．（12 分）如图，已知三棱柱 中， 是全等的等边三角形， （1）求证： ； （2）若 ，求二面角 的余弦值． ABC△ sin sin sin sin a A c Cb B C −= − 3a = B θ= ABC△ ( )y f θ= π 3 max 3 3y = sin sin sin sin a A c Cb B C −= − sin sin sin sinb B b c a A c C− = − 2 2 2b c a bc+ = + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = (0,π)A∈ π 3A = 3a = π 3A = 2sin sin sin b c a B C A = = = 2sin 2sinb B θ= = 2π 2π2sin 2sin( ) 2sin( )3 3c C B θ= = − = − 2π3 2sin 2sin( )3y a b c θ θ= + + = + + − π2 3 sin( ) 36y θ= + + 2π0 3 θ< < π π 5π 6 6 6 θ< + < π π 6 2 θ + = π 3 θ = max 3 3y = 1 1 1ABC A B C− 1ABC B BC△ 与△ 1BC AB⊥ 1 1cos 4BB A∠ = 1B B C A− − 2 3【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）取 BC 的中点 O，连接 ， ， 由于 是等边三角形，所以有 ， ，且 ， 所以 ， ，所以 ． （2）设 ， 是全等的等边三角形， 所以 ， 又 ，由余弦定理可得 ， 在 中，有 ， 所以以 ， ， 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， 又平面 的一个法向量为 ， 所以二面角 的余弦值为 ． 20．（12 分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用 5 5 AO 1B O 1ABC B BC△ 与△ AO BC⊥ 1B O BC⊥ 1AO B O O= 1BC B AO⊥ 平面 1 1AB B AO⊂ 平面 1BC AB⊥ AB a= 1ABC B BC△ 与△ 1 1BB AB BC AC B C a= = = = = 1 1cos 4BB A∠ = 2 2 2 2 1 1 32 4 2AB a a a a a= + − ⋅ × = 1AB C△ 2 2 2 1 1AB AO B O= + OA OB 1OB 3( ,0,0)2A a (0, ,0)2 aB 1 3(0,0, )2B 1ABB ( , , )x y z=n 1 3 1 00 2 2 0 3 3 02 2 ax ayAB AB ax az − + = ⋅ = ⇒ ⋅ =  − + =   n n 1x = (1, 3,1)=n 1BCB (1,0,0)=m 1B B C A− − 5cos 5 θ ⋅= =⋅ n m n m移动支付的年龄结构，随机对 100 位市民做问卷调查得到 列联表如下： 35 岁以下（含 35 岁） 35 岁以上[ 合计 使用移动支付 40 50 不使用移动支付 40 合计 100 （1）将上 列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过 0．10 的前提下，认为支付方式与 年龄是否有关？ （2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取 10 人做进一步的问卷调查，从这 10 人随机中 选出 3 人颁发参与奖励，设年龄都低于 35 岁（含 35 岁）的人数为 ，求 的分布列及期望． （参考公式： （其中 ） 【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过 0．10 的前提下，认为支付方式与年龄有关； （2）分布列见解析， ． 【解析】（1）根据题意及 列联表可得完整的 列联表如下： 35 岁以下（含 35 岁） 35 岁以上 合计 使用移动支付 40 10 50 不使用移动支付 10 40 50 合计 50 50 100 根据公式可得 ， 所以在犯错误的概率不超过 0．10 的前提下，认为支付方式与年龄有关．[来源:学|科|网] （2）根据分层抽样，可知 35 岁以下（含 35 岁）的人数为 8 人，35 岁以上的有 2 人， 所以获得奖励的 35 岁以下（含 35 岁）的人数为 ， 则 的可能为 1，2，3，且 ， ， ， 2 2× 2 2× X X ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 12 5EX = 2 2× 2 2× ( )2 2 50 5 10 0 0 40 40 10 10 36 6.60 350 55k × × = >× × − ×= X X 1 2 8 2 3 10 C C 8( 1) C 120P X = = = 2 1 8 2 3 10 C C 56( 2) C 10P X = = = 3 8 3 10 C 56( 3) C 120P X = = =其分布列为 1 2 3 ． 21．（12 分）已知椭圆 ( )的离心率为 ，且 以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半 轴长为半径的圆与直线 相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线 l 过右焦点 F，且与椭圆 C 交于 A、B 两点，已知 Q 点坐标为 ，求 的值． 【解析】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由离心率为 ，可得 ， ，且以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆的方程为 ， 因与直线 相切，则有 ，即 ， ， ， 故而椭圆方程为 ． （2）①当直线 l 的斜率不存在时， ， ， 由于 ；[来源:Z.Com] ②当直线 l 的斜率为 0 时， ， ， 则 ； X P 8 120 56 120 56 120 8 56 56 121 2 3120 120 120 5EX = × + × + × = 2 2 2 2: 1x aC y b + = 0a b> > 2 2 2 0x y+ − = 5 ,04 （ ） QA QB⋅  2 2 12 x y+ = 7 16 − 2 2 2 2 ce a = = 2 2c a∴ = 2 2 2x y a+ = 2 0x y+ − = 2 2 a= 2a = 1c = 1b∴ = 2 2 12 x y+ = 21, 2A       21, 2B  −    5 2 5 2 71 , 1 ,4 2 4 2 16    − ⋅ − − = −          ( )2,0A ( )2,0B − 5 5 72 ,0 2 ,04 4 16    − ⋅ − − = −      ③当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 ， ， ， 由 及 ， 得 ，有 ，∴ ， ， ， ， ∴ ， 综上所述： ． 22．（12 分）已知函数 ． （1）若曲线 在 处的切线为 ，试求实数 ， 的值； （2）当 时，若 有两个极值点 ， ，且 ， ，若不等式 恒成立，试求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题可知 ， ， ，联立可得 ． （2）当 时， ， ， 有两个极值点 ， ，且 ， ， 是方程 的两个正根， ， ， 不等式 恒成立，即 恒成立， ， 1x ty= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1x ty= + 2 2 12 x y+ = 2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + − = 0Δ > 1 2 2 2 2 ty y t + = − + 1 2 2 1 2y y t = − + 1 1 1x ty= + 2 2 1x ty= + 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 1 1 1 1( , ) ( , ) ( )( ) ( 1) ( )4 4 4 4 4 16x y x y ty ty y y t y y t y y− ⋅ − = − − + = + = − + + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 7( 1) 2 4 2 16 2( 2) 16 16 t t tt tt t t − − += − + + ⋅ + = + = −+ + + 7 16QA QB⋅ = −  2( ) 2 2lnf x bx ax x= − + ( )y f x= (1, (1))f 2 4y x= + a b 1b = ( )y f x= 1x 2x 1 2x x< 5 2a ≥ 1 2( )f x mx≥ 6a b= = − 9 ln 28m ≤ − − (1) 2 1 4 6 2f b a= × + = = − 2( ) 2 2f x bx a x ′ = − + (1) 2 2 2 2f b a′∴ = − + = 6a b= = − 1b = 2( ) 2 2lnf x x ax x= − + 22 2( 1)( ) 2 2 x axf x x a x x − +′∴ = − + = ( )f x 1x 2x 1 2x x< 1x∴ 2x 2 1 0x ax− + = 1 2 5 2x x a∴ + = ≥ 1 2 1x x⋅ = 1 2( )f x mx≥ 1 2 ( )f xm x ≤ 2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 ( ) 2 2ln 2 2 ln 2( ) 2 lnf x x ax x x ax x x x x x x x xx x − +∴ = = − + = − + + 3 1 1 1 12 2 lnx x x x= − − +由 ， ，得 ， ， 令 ， ， 在 上是减函数， ，故 ． 1 2 5 2x x a∴ + = ≥ 1 2 1x x⋅ = 1 1 1 5 2x x + ≥ 1 10 2x∴ < ≤ 3 1( ) 2 2 ln ,(0 )2h x x x x x x= − − + < ≤ 2( ) 3 2ln 0h x x x′ = − + < ( )h x∴ 1(0, ]2 1 9( ) ( ) ln 22 8h x h∴ ≥ = − − 9 ln 28m ≤ − −