2020年4月【开学摸底考】高三数学（山东）B卷（解析版）

2020 年 4 月【开学摸底考】高三数学（山东）B 卷 一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．若集合 A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2＞1}，则 A∩B=（ ） A．{x|x＜﹣1 或 x＞1} B．{﹣2，2} C．{2} D．{0} 【答案】B 【解析】由 B 中不等式解得：x＞1 或 x＜﹣1，即 B={x|x＞1 或 x＜﹣1}， ∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={﹣2，2}， 2．已知复数푧满足3 ― 푧 = 1 ― 푖（i为虚数单位），则复数푧的模为（ ） A．2 B． 2 C．5 D． 5 【答案】D 【解析】因为푧 = 3 ― 1 + 푖 = 2 + 푖，所以|푧| = 5． 3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几 何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈 尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离 三尺，问折断处离地面的高是（ ） A．2.55 尺 B．4.55 尺 C．5.55 尺 D．6.55 尺 【答案】B 【解析】已知一直角边为 3 尺，另两边和为 10 尺，设另一直角边为 尺，则斜边为 尺，由勾股 定理可得： ，可得 尺.故选：B. 4．函数 的零点所在区间为（ ） 10= x 10 x− ( )22 23 10x x+ = − 4.55x = ( ) 3 1 2 x f x x  = −  A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， ， ， ，由 . 5．三个数 ， ， 的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ，故 . 6．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独 立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A， 即仅第一个实习生加工一等品为事件 ， 仅第二个实习生加工一等品为事件 两种情况， 则 ，[来源:学.科.网] 7．设 是非零向量，则 是 成立的（ ）[来源:学,科,网 Z,X,X,K] A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B ( )1,0− 10, 2      1 ,12      ( )1,2 3 11( 1) ( 1) ( ) 3 02f −− = − − = − < 3 01(0) 0 ( ) 1 02f = − = − < 1 3 21 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 02 2 2 8 2f = − = − < 3 11 1 1(1) 1 ( ) 1 02 2 2f = − = − = > 3 21 1 15(2) 2 ( ) 8 02 2 2f = − = − = > ( )1 1 02f f ⋅ 70 0.8 1< < 0.8log 7 0< 7 0.8 0.8log 7 0.8 7< < 5 6 3 4 1 2 1 3 5 12 1 6 1A 2A ( ) ( ) ( )1 2 5 1 1 3 1 6 4 6 4 3P A P A P A= + = × + × = ,a b  2a b=  a b a b =    【解析】由 可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量 所以 成立;反之不成立. 8．已知四棱锥 的体积是 ，底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平 面 ，则四棱锥 外接球体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 的中点为 ，因为 是等边三角形，所以 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ， 四棱锥 的体积是 ， ，所以边长 ， ，设 ， ， ， ， ， . 故选：A. 二、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9．在平面直角坐标系 中，角 顶点在原点 ，以 正半轴为始边，终边经过点 ，则 2a b=  a b， a b a b   ， a b， a b a b =   P ABCD− 36 3 ABCD PAB∆ PAB ⊥ ABCD P ABCD− 28 21π 99 112 π 63 72 π 108 3π AB Q PAB∆ PQ AB⊥ PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB= PQ ⊥ ABCD P ABCD− 36 3 136 3 3 AB AB PQ= × × × 1 336 3 3 2AB AB AB= × × × 6AB = 3 3PQ = OH x= 3 3OM x= − ( ) ( )2 22 2 2 2 3 3 3 2R OA OM AM x= = + = − + 2 2 2 2 2 23R OP OH PH x= = + = + 2 3x = 2 212 3 21R = + = 34 28 213V Rπ π= =球 xOy α O x ( )( )1, 0P m m t an 0α < sin 0tan α α > cos sin 0α α− > sin cos 0α α < sin cosα α+ R ( )y f x= ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1y f x= − ( )y f x= ( )y f x= ( )1,0− ( )y f x= R ( )y f x= R【答案】ABC 【解析】因为 ，所以 ，即 ，故 A 正确； 因为函数 为奇函数，所以函数 图像关于原点成中心对称，所 以 B 正确； 又函数 为奇函数，所以 ，根据 ，令 代 有 ，所以 ，令 代 有 ，即函数 为 上的偶函 数，C 正确； 因为函数 为奇函数，所以 ，又函数 为 上的偶函数， ，所以 函数不单调，D 不正确. 12．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点， 为线段 的中点，则（ ） A．以线段 为直径的圆与直线 相离 B．以线段 为直径的圆与 轴相切 C．当 时， D． 的最小值为 4 【答案】ACD 【解析】对于选项 A，点 到准线 的距离为 ，于是以线段 为直 径的圆与直线 一定相切，进而与直线 一定相离： 对于选项 B，显然 中点的横坐标与 不一定相等，因此命题错误. 对于选项 C，D，设 ， ，直线 方程为 ，联立直线与抛物线方程可得 ， ， ，若设 ，则 ，于是 ， 最小值为 4；当 可得 ， ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + = 4T = ( )1y f x= − ( )1y f x= − ( )1y f x= − ( ) ( )1 1f x f x− − = − − ( ) ( )2f x f x+ = − 1x − x ( ) ( )1 1f x f x+ = − − ( ) ( )1 1f x f x+ = − − 1x − x ( ) ( )f x f x− = ( )f x R ( )1y f x= − ( )1 0f − = ( )f x R ( )1 0f = 2 4y x= F A B M AB AB 3 2x = − BM y 2AF FB=  9 2AB = AB M 1x = − ( )1 1 2 2AF BF AB+ = AB 1x = − 3 2x = − AB 1 2 BM ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1x my= + 2 4 4 0y my− − = 1 2 4y y = − 1 2 1=x x ( )24 ,4A a a 2 1 1,4B a a  −   2 1 2 2 14 24AB x x p a a = + + = + + AB 2AF FB=  1 22y y= −，所 ， . 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知 ，则 的值为______. 【答案】 【解析】因为 ，所以 . 14．二项式 的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 【答案】60 【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为： 令 可得 ，此时 . 15．已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的 四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为__________；双曲线 N 的离心率为__________． 【答案】 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线 N 的离心 率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ， 解得椭圆 M 的离心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ， 所以椭圆 M 的离心率为 本题考查了正弦型函数的对称性，考查了数学运算能力. 16．已知函数 ，当 时，把函数 的所有零点依次记为 ，且 ，记数列 的前 项和为 ，则 14 2a a  = − −   2 1 2a = 9 2AB = tan 3α = sin cos sin cos α α α α − + 1 2 tan 3α = sin cos tan 1 1 sin cos tan 1 2 α α α α α α − −= =+ + 2 61(2 )x x − ( )62 6 12 3 1 6 6 12 ( 1) 2 r rr r r r r rT C x C xx − − − +  = − = −   12 3 0r− = 4r = 2 4 5 62 60T C= = 2 2 2 2 1( 0)x yM a ba b + = > >： 2 2 2 2 1x yN m n − =： 3 1− 2 2,m n 3c c+ 3 2c c a+ = 3c c+ 3 2c c a+ = 2 3 1. 1 3 c a = = − + ( ) 9sin 2 6f x x π = −   [ ]0,10x π∈ ( ) ( ) 6F x f x= − 1 2 3, , , , nx x x x⋅⋅⋅ 1 2 3 nx x x x< < < ⋅⋅⋅ < { }nx n nS ( )12 n nS x x− + =______. 【答案】 【解析】由 得对称轴为 ，周期为 ， 根据正弦函数图像性质，得 ， ， ， ，…， ， ， .故答案为： 四、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在① 面积 ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 .如图，在平面四边形 中， ， ，______， ， 求 . 【解析】选择①： ，所以 ； 由 余弦定理可得 所以 选择② 设 ，则 ， ， 在 中 ，即 ，所以 551 3 π 2 ,( )6 2x k k Z π ππ− = + ∈ 3 +2 ,( )6 kx k Zπ= ∈ π 20,n = 1 2 2 26x x π+ = × 2 3 5 26x x π+ = × 3 4 8 26x x π+ = × 2 3 11 26x x π+ = × 1918 53 26x x π+ = × 19 20 56 26x x π+ = × ( ) 2 3 3 4 41 1 2 18 195 9 201) ) )2 ( ( ( )( ) ( )(n nS x x x x x x x x x x x x x x− + = + + + + + + + + + + ++ 2 5 56 1 1 12 2 19 19 186 6 6 3 2 2 π π   = + +⋅⋅⋅+ = × + × × ×       551 3 π= 551 3 π ABC∆ 2ABCS∆ = 6ADC π∠ = AC ABCD 3 4ABC π∠ = BAC DAC∠ = ∠ 2 4CD AB= = AC 1 1 3sin 2 sin 22 2 4ABCS AB BC ABC BC π ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2BC = 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ 24 8 2 2 2 2 202  = + − × × × − =    20 2 5AC = = BAC CAD θ∠ = ∠ = 0 4 πθ< < 4BCA π θ∠ = − ABC∆ sin sin AC AB ABC BCA =∠ ∠ 2 3sin sin4 4 AC π π θ =  −   2 sin 4 AC π θ =  −  在 中， ，即 ，所以 . 所以 ，解得 ，[ 又 ，所以 ，所以 . 18．（12 分）已知数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵ ，∴ ， 两式相减得 ，∴ ． 又当 时， 满足上式，∴ ． ∴数列 的通项公式 ． （2）由（1）得 ， ∴ ， ∴ ． 19 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 侧 面 为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ， ， ． { }na 132 1 2 1 2 22 2 2 nn n a aaa + −+ + + + = − ( )n∈ *N 4logn nb a= { }na 1 1{ } n nb b +⋅ n nT 2 12 n na −= 4 2 1n nT n = + 132 1 2 1 2 22 2 2 nn n a aaa + −+ + + + = − 3 12 1 2 2 2 22 2 2 nn n a aaa − −+ + + + = − ( 2)n ≥ 1 1 2 2 22 n n nn n a + − = − = 2 12 n na −= ( 2)n ≥ 1n = 1 2a = 2 12 n na −= ( )n∈ *N { }na 2 12 n na −= 2 1 4 2 1log 2 2 n n nb − −= = 1 1 4 1 12( )(2 1)(2 1) 2 1 2 1n nb b n n n n+ = = −⋅ − + − + 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 12[(1 ) ( ) ( )]3 3 5 2 1 2 1n n n T b b b b b b n n+ = + + + = − + − + + −⋅ ⋅ − +  1 42(1 )2 1 2 1 n n n = − =+ + P ABCD− PAD ABCD 2 2AD BC= = 90BAD ABC∠ = ∠ = ° ACD∆ sin sin AC CD ADC CAD =∠ ∠ 4 sinsin 6 AC π θ= 2 sinAC θ= 2 2 sin sin 4 πθ θ =  −   2sin cosθ θ= 0 4 πθ< < 5sin 5 θ = 2 2 5sinAC θ= =（1）证明： ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）取 的中点为 ，连接 ， ， ∵ 为等边三角形，∴ ． 底面 中，可得四边形 为矩形，∴ ， ∵ ，∴ 平面 ， 平面 ， ． 又 ，所以 ． （2）由面 面 ， 知， ∴ 平面 ， ， ， 两两垂直，直线 与平面 所成角为 ， 即 ， 由 ，知 ，得 ． 分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，∴ ，则 ． PC BC⊥ PC PAD 30° B PC D− − 2 7 7 − AD O PO CO PAD△ PO AD⊥ ABCD ABCO CO AD⊥ 0PO CO = AD ⊥ POC PC ⊂ POC AD PC⊥ AD BC∥ PC BC⊥ PAD ⊥ ABCD PO AD⊥ PO ⊥ ABCD OP OD OC PC PAD 30° 30CPO∠ = ° 2AD = 3PO = 1CO = OC OD OP x y z O xyz− (0,0, 3)P (0,1,0)D (1,0,0)C (1, 1,0)B − (0,1,0)BC = (1,0, 3)PC = − ( 1,1,0)CD = − PBC ( , , )x y z=n 0 3 0 y x z = − = ( 3,0,1)=n设平面 的法向量为 ，∴ ，则 ． ， ∴二面角 的余弦值为 ． 20．（12 分）某学校共有 名学生，其中男生 人，为了解 该校学生在学校的月消费情况， 采取分层抽样随机抽取了 名学生进行调查，月消费金额分布在 之间．根据调查的结果 绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示： 将月消费金额不低于 元的学生称为“高消费群”． （1）求 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在 ， 内的两组学生中抽取 人，再 从这 人中随机抽取 人，记被抽取的 名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量 ，求 的 分布列及数学期望； （3）若样本中属于“高消费群”的女生有 人，完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认 为该校学 生属于“高消费群”与“性别”有关？ （参考公式： ，其中 ） PDC ( , , )x y z=m 0 3 0 x y x z − = − = ( 3, 3,1)=m 4 2 7| cos , | | || | 72 7 ⋅< > = = =m nm n m n B PC D− − 2 7 7 − 1000 400 100 450 ~ 950 750 a [550,650) [750,850) 10 10 3 3 X X 10 2 2× 97.5% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + +【答案】（1） ，平均数： 元；（2）分布列见解析， ；（3）列联表见解 析，有 的把握认为． 【解析】（1）由题意知 ，解得 ， 样本的平均数为： （元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为 元． （2）由题意，从 中抽取 人，从 中抽取 人． 随机变量 的所有可能取值有 ， ， ， ， ， 所以，随机变量 的分布列为 随机变量 的数学期望 ． （3）由题可知，样本中男生 人，女生 人，属于“高消费群”的 人，其中女生 人； 得出以下 列联表： ， 所以有 的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关． 21．（12 分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率 0.0035a = 670 9( ) 10E X = 97.5% 100(0.0015 0.0025 0.0015 0.001) 1a+ + + + = 0.0035a = 500 0.15 600 0.35 700 0.25 800 0.15 900 0.10 670x = × + × + × + × + × = 670 [550,650) 7 [750,850) 3 X 0 1 2 3 3 3 7 3 10 C C( ) C k k P X k − = = ( 0,1,2,3)k = X X 35 63 21 1 9( ) 0 1 2 3120 120 120 120 10E X = × + × + × + × = 40 60 25 10 2 2× 2 2 2 ( ) 100 (10 25 15 50) 50 5.556 5.024( )( )( )( ) 40 60 25 75 9 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = = ≈ >+ + + + × × × 97.5% 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > F 2 8y x=为 ，过 轴正半轴一点 且斜率为 的直线 交椭圆于 ， 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数 使以线段 为直径的圆经过点 ，若存在，求出实数 的值；若不存在说明 理由． 【答案】（1） ；（2）存在， ． 【解析】（1）∵抛物线 的焦点是 ，∴ ，∴ ， 又∵椭圆的离心率为 ，即 ， ∴ ， ，则 ，故椭圆的方程为 ． （2）由题意得直线 的方程为 ， 由 ，消去 得 ， 由 ，解得 ， 又 ，∴ ， 设 ， ，则 ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， 若存在 使以线段 为直径的圆经过点 ，则必有 ， 6 3 x ( ,0)m 3 3 − l A B m AB F m 2 2 16 2 x y+ = 3m = 2 8y x= (2,0) (2,0)F 2c = 6 3 6 3 c a = 6a = 2 6a = 2 2 2 2b a c= − = 2 2 16 2 x y+ = l 3 ( )3y x m= − − ( 0)m > 2 2 16 2 3 ( )3 x y y x m  + =  = − − y 2 22 2 6 0x mx m− + − = 2 24 8( 6) 0Δ m m= − − > 2 3 2 3m− < < 0m > 0 2 3m< < 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2x x m+ = 2 1 2 6 2 mx x −= 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1[ ( )] [ ( )] ( )3 3 3 3 3 m my y x m x m x x x x= − − ⋅ − − = − + + 1 1( 2, )FA x y= − 2 2( 2, )FB x y= − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 6 2 ( 3)( 2)( 2) ( ) 43 3 3 3 m m m mFA FB x x y y x x x x + −⋅ = − − + = − + + + =  m AB F 0FA FB⋅ = 即 ，解得 或 ． 又 ，∴ ，即存在 使以线段 为直径的圆经过点． 22．（12 分）已知函数 的两个零点为 ， ． （1）求实数 的取值范围； （2）求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， 当 时， ， 在 上单调递增，不可能有两个零点； 当 时，由 ，可解得 ；由 ，可解得 ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ， 要使得 在 上有两个零点，则 ，解得 ， 则 的取值范围为 ． （2）令 ，则 ， 由题意知方程 有两个根，即方程 有两个根， 不妨设 ， ，令 ， 则当 时， 单调递增， 时， 单调递减， 综上可知， ， 令 ，下面证 对任意的 恒成立， ， 2 ( 3) 03 m m − = 0m = 3m = 0 2 3m< < 3m = 3m = AB 1( ) ln 12 mf x xx = + − ( )m∈R 1x 2x 1 2( )x x< m 1 2 1 1 2 x x e + > (0, )2 e 2 2 1 2( ) 2 2 m x mf x x x x −′ = − + = 0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0m > ( ) 0f x′ > 2x m> ( ) 0f x′ < 0 2x m< < ( )f x (0,2 )m (2 , )m +∞ min 1( ) (2 ) ln 2 12 2 mf x f m mm = = + − ( )f x (0, )+∞ 1 1 ln 2 1 02 2 m+ − < 0 2 em< < m (0, )2 e 1t x = 1 1 1 1( ) ln( ) 1 ln 12 2f x m mt tx x = − − = − − 1 ln 1 02mt t− − = ln 2 2 tm t += 1 1 1t x = 2 2 1t x = ln 2( ) 2 th t t += 1(0, )t e ∈ ( )h t 1( , )t e ∈ +∞ ( )h t 1 2 1 0t te > > > 2( ) ( ) ( )x h x h xe ϕ = − − ( ) 0xϕ < 1(0, )x e ∈ 2 2 21 ln( )2 1 ln( ) ( ) ( ) 22 2( ) xx ex h x h xe x xe ϕ − − −− −′ ′ ′= + − = + −∵ ，∴ ， ， ∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，则 在 单调递增，∴ ， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 ． 1(0, )x e ∈ ln 1 0x− − > 2 22( )x xe < − 2 2 2 2 21 ln( ) 2 ln ( )1 ln( ) 2 2 22( ) 2( ) 2( ) x x xx e ex x x xe e e ϕ − − − − − −− −′ > + = − − − 1(0, )x e ∈ 2 2 2 2 1( ) ( )2 x xex xe e + − − ≤ = ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ 1(0, )e 1( ) ( ) 0x e ϕ ϕ< = 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0t h t h te ϕ = − − < 2 2 2( ) ( )h t h te < − 1 2( ) ( )h t h t= 1 2 2( ) ( )h t h te < − 1 2 2t te > − 1 2 2t t e + > 1 2 1 1 2 x x e + >