2020年高考数学（文）金榜冲刺卷（六）（解析版）

2020 年高考金榜冲刺卷（六） 数学（文） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．若集合 ，则 的子集共有（ ） A．6 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B 【解析】因为 ，共有两个元素，所以 的子集共有 个，故选 B． 2．若 ， 均为实数，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，因此 ，则 . 故选 C. {0,1,2,3}, {1,2,4},A B C A B= = = ∩ C { }1,2C A B= ∩ = C 22 4= a b 3i 2 i1 i a b+ = +− ab = 2− 2 3− 3 32 21 a bi i ii + = + = −− ( )( )1 2 1 3a bi i i i+ = − − = − 1, 3a b= = − 3ab = −3．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ， ， 所以 ，∴ ，故选：C. 4．向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则 的范围是（ ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【解析】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线， ，得 .向量 ， 共线时， ，得 .此时 .所以 且 .故选 C. 5．下图是某省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图. 若该省从 1 月 21 日至 2 月 24 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列 ， 的前 n 项和为 ，则下列说法中正确的是（ ） 31( )3a = 1 33b = 1 3 log 3c = a b c< < c b a< < c a b< < b c a< < 3 01 1( ) ( ) 13 3a < < = 1 033 3 1> = 1 1 3 3 log 3 log 1 0< = 0 1, 1, 0a b c< < > < c a b< < (2, )a t= ( 1,3)b = − a b t 2 3t < 2 3t > 2 3t < 6t ≠ − 6t < − a b 0a b 2 0a − < 2 zy xa a = − + 2 zy xa a = − + (3,4)A z 0a < 2 0a − > 2z x ay= + (3,4)A 2 1ABka − < = 2a < − a ( ,2)−∞ 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P C PQ 1 2F PF∠ 1F PQ Q O | |OQ a b c P【解析】依题意如图，延长 F1Q，交 PF2 于点 T，∵ 是∠F1PF2 的角分线．TF1 是 的垂线， ∴ 是 TF1 的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P 为双曲线 1 上一点， ∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形 F1F2T 中，QO 是中位线，∴|OQ|＝a．故选 A． 9．为了得到 的图象，可将 的图象（ ） A．横坐标压缩为原来的 ，再向左平移 个单位长度 B．横坐标扩大为原来的 3 倍，再向右平移 个单位长度 C．横坐标扩大为原来的 3 倍，再向左平移 个单位长度 D．横坐标压缩为原来的 ，再向右平移 个单位长度 【答案】A 【解析】 ,对于 A 选项， 的横坐标压 缩为原来的 ，得出 的图象，再向左平移 个单位长度，得出 PQ PQ PQ 2 2 2 2 x y a b − = ( ) 2cos 3 6f x x π = −   ( ) 2sing x x= 1 3 9 π 9 π 6 π 1 3 9 π ( ) 2sin 2cos 2cos2 2g x x x x π π   = = − = −       ( ) 2cos 2g x x π = −   1 3 2cos 3 2y x π − =  9 π,对于 B 选项， 的横坐标扩大为原来 的 3 倍，得出 的图象，再向右平移 个单位长度，得到 ; 对于 C 选项， 的横坐标扩大为原来的 3 倍，得出 的图象，再向 左平移 个单位长度，得到 ; 对于 D 选项， 的横坐标压缩为原来的 ，得出 的图象，再向右平 移 个单位长度，得出 ,故选 A. 10．已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ,故 ,故 . 又 .故 成等比数列. 成等比数列. 故 . .故选 D. ( ) 2cos 3 2cos 39 2 6f x x x π π π    = + − = −         ( ) 2cos 2g x x π = −   12cos 3 2y x π − =  9 π ( ) 1 1 292cos 2cos3 2 3 549x x xf π ππ   − = −   = −      ( ) 2cos 2g x x π = −   12cos 3 2y x π − =  6 π ( ) 1 1 42cos 2cos3 2 3 96x xf x π π   − = −     π = +   ( ) 2cos 2g x x π = −   1 3 2cos 3 2y x π − =  9 π ( ) 52cos 3 2cos 39 2 6f x x x π π π    = − − = −         { }na * 1 11, 2 ( )n n na a a n N+= = ∈ nS { }na n 2019 2020 2a = 2020 2020 2a = 1011 2020 2 3S = − 1010 2020 3(2 1)S = − 1 2n n na a + = 1 * 1 2 2 ( 2, )n n na a n n N+ + + = ≥ ∈ 1 1 2 2 1 2 22 n n n n n n n n a a a a a a + + + + + = ⇒ = 1 1 2 21, 2 2a a a a= = ⇒ = 1 3 5, , ...a a a 2 4 6, , ...a a a 1009 1010 2020 2 2 2a a= × = ( ) ( )1 2 1009 2 3 1010 2020 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2S = + + + + + + + + + ( ) 1010 1 2 1009 10102 13 1 2 2 ... 2 3 3(2 1)2 1 −= + + + + = × = −−11．已知过抛物线 焦点的直线交抛物线 于 , 两点,交圆 于 , 两点,其 中 , 位于第一象限,则 的值不可能为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】作图如下：可以作出下图， 由图可得，可设 ， ，则 ， ， ， ，根据抛物线的常用结论，有 ， ，则 ， 又 ， 得 ， ，则 的值不可能为 3，答案选 A. 12．如图，直角梯形 ， ， ， ， 是边 中点， 沿 2: 4C y x= C P Q 2 2 2 0x y x+ − = M N P M 1 4 | | | |PM QN + PF m= QF n= 1PM m= − 1QN n= − 2 4y x= 2p∴ = 1 1 2 1m n p + = = 1m n mn +∴ = m n mn+ = 1 4 | | | |PM QN ∴ + 1 4 1 1m n = +− − 4 5 4 5( ) 1 m n m nmn m n + −= = + −− + + 1 1(4 ) 1 (4 ) ( )m n m n m n + ⋅ = + ⋅ + 44 1m n n m = + + + 45 2 m n n m ≥ + ⋅ 4 9m n+ ≥ 4 5 4m n∴ + − ≥ 1 4 | | | |PM QN + ABCD 90ABC∠ =  2CD = 1AB BC= = E CD ADE∆ AE翻折成四棱锥 ，则点 到平面 距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥 中，底面 为边长是 1 的正方形，侧面 中， ，且 ． ∵ ，∴ 平面 ．作 于 ，作 于 ， 连 ，则由 平面 ，可得 ，∴ 平面 ． 又 平面 ，∴ ．∵ ， ，∴ 平面 ． 在 中，作 于 ，则 平面 ．又由题意可得 平面 ，∴ 即为 点 到平面 的距离．在 中， ，设 ，则 ， ∴ ．由 可得 ， ∴ ，当 时等号成立，此时 平面 ， D ABCE′− C ABD′ 2 3 2 2 2 2 5 2 2 3 D ABCE′− ABCE D EA′ D E AE′ ⊥ 1DE AE′ = = , ,AE D E AE CE D E CE E′ ′⊥ ⊥ = AE ⊥ D CE′ D M CE′ ⊥ M MN AB⊥ N D N′ AE ⊥ D CE′ DM AE′ ⊥ D M′ ⊥ ABCE AB Ì ABCE DM AB′ ⊥ MN AB⊥ D M MN M′ = AB ⊥ D MN′ D MN′∆ MH D N′⊥ H MH ⊥ ABD′ CE  ABD′ MH C ABD′ Rt D MN′∆ , 1D M MN MN′ ⊥ = DM x′ = 0 1x D E′< ≤ = 21DN x′ = + D M MN D N MH′ ′⋅ = ⋅ 21x x MH= + ⋅ 2 2 1 2 211 1 xMH x x = = ≤ + + 1x = D E′ ⊥ ABCE综上可得点 到平面 距离的最大值为 ．故答案为 B． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 ，若 ，则实数 的值等于____________． 【答案】-2 【解析】因为 ，所以 ，因此 或 ，解得 . 14．设 ， ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的值可以是 ____________．（只需填写一个满足条件的 即可） 【答案】 （ 的任意数均可） 【解析】由 得 0 0 1x< < ( )' 0f x < ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 1x = ( )f x ( ) 11 2f = ( ) ( ) 1 2f x f x= ≥ ( )2 1 11 2 2x− − + ≤ 1x = ( ) ( )2 11 2f x x≥ − − + 0x ≥ ( )g x ( )ming x 0x > ( )f x   ( ) min f x   ( ) ( )min min g x f x ≥   ( ) 1 2f x ≥ ( ) min 0f x  =  ( )min 0g x ≥ ( )' xg x e x a= − − ( ) xh x e x a= − − ( )' 1xh x e= − 0x ≥ 1xe ≥ ( )' 0h x ≥ ( )h x [ )0,+∞ ( ) ( )min 0 1h x h a= = −①当 ，即 时， 恒成立，即 ， 所以 在 上是增函数，所以 ， 依题意有 ，解得 ，所以 ． ②当 ，即 时，因为 在 上是增函数，且 ， 若 ，即 ，则 ， 所以 ，使得 ，即 ， 且当 时， ，即 ；当 时， ，即 ， 所以， 在 上是减函数，在 上是增函数， 所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ，所以 ． 由 ，可令 ， ，当 时， ，所以 在 上是 增函数，所以当 时， ，即 ， 所以 ．综上，所求实数 的取值范围是 ． (二)、选考题：共 10 分．请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分） 1 0a− ≥ 1a ≤ ( ) 0h x ≥ ( )' 0g x ≥ ( )g x [ )0,+∞ ( ) ( ) 2 min 0 1 2 ag x g= = − ( ) 2 min 1 02 ag x = − ≥ 2 2a− ≤ ≤ 2 1a− ≤ ≤ 1 0a− < 1a > ( )h x [ )0,+∞ ( )0 1 0h a= − < 22a e+ < 21 2a e< < − ( )( ) ( ) ( )ln 2 2 ln 2 2 ln 2 0h a a a a a+ = + − + − = − + > ( )( )0 0,ln 2x a∃ ∈ + ( )0 0h x = 0 0 xa e x= − ( )00,x x∈ ( ) 0h x < ( )' 0g x < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( )' 0g x > ( )g x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 0 2 0 0 0min 1 1 02 2 xg x g x e x ax a= = − − − ≥ 0 0 xa e x= − ( ) ( ) ( )0 0 0 0 02 2 0min 1 1 1 2 02 2 2 x x x x xg x e x a e e e e= − + = − = − ≥ 0 2xe ≤ 00 ln2x< ≤ 0 0 xa e x= − ( ) xt x e x= − ( )' 1xt x e= − ( ]0,ln2x∈ 1xe > ( )t x ( ]0,ln2 ( ]0,ln2x∈ ( ) ( ) ( )0 ln2t t x t< ≤ ( )1 2 ln2t x< ≤ − 1 2 ln2a< ≤ − a 2,2 ln2 − − 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程; （2）若直线 、 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 、 与曲线 的交点 分别为 、 （除极点外），求 的面积. 【解析】（1）由参数方程 ，得 ， ， 即 ，化为极坐标方程得 ，即 . （2）设点 、 的极坐标分别为 、 ，则 ， ，且 ， 所以， 的面积为 . 23．【选修 4-5：不等式选讲】（10 分） 已知 ， ． （1）求 的取值范围； （2）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）由不等式得， ， ∴ ，∴ 的取值范围是 ． xOy C cos 3sin sin 3 cos 2 x y θ θ θ θ  = − = + + θ x C 1l 2l ( ) 6 R πθ ρ= ∈ ( )2 3 R πθ ρ= ∈ 1l 2l C M N OMN∆ cos 3sin sin 3 cos 2 x y θ θ θ θ  = − = + + cos 3sin 2 sin 3 cos x y θ θ θ θ  = − − = + ( ) ( ) ( )2 222 2 cos 3sin sin 3 cos 4x y θ θ θ θ∴ + − = − + + = 2 2 4x y y+ = 2 4 sinρ ρ θ= 4sinρ θ= M N 1, 6 πρ     2 2, 3 πρ     1 4sin 26OM πρ = = = 2 24sin 2 33ON πρ = = = 2MON π∠ = OMN∆ 1 1 2 2 3 2 32 2OMNS OM ON∆ = ⋅ = × × = a b c R∈， ， 2 2 2 1a b c+ + = a b c+ + 2| 1| | 1| ( )x x a b c− + + ≥ − + a b c， ， x 2 2 2 2 2 2 2( ) (1 1 1 )( ) 3a b c a b c+ + ≤ + + + + = 3 3a b c− ≤ + + ≤ a b c+ + [ 3, 3]−（2）同理， ．若不等式 对一 切实数 恒成立，则 ，解集为 ． 2 2 2 2 2 2 2( ) [1 ( 1) 1 ]( ) 3a b c a b c− + ≤ + − + + + = 2| 1| | 1| ( )x x a b c− + + ≥ − + a b c， ， | 1| | 1| 3x x− + + ≥ 3 3( , ] [ , )2 2 −∞ − +∞