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一.选择题
1.复数 (3 2 )z i i 的共轭复数 z 等于
A． 23i B． 23i C． 23i D． 23i
答案 C
2.设 ,a b R ，i 是虚数单位，则“ 0ab ”是“复数 ba i 为纯虚数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
3.设 i 是虚数单位，复数 ai
i
为纯虚数，则实数 a 为
A．2 B． 2 C． D．
答案 A
4.i 为虚数单位， 753
1111
iiii
A．0 B．2 C． i2 D．4
答案 A
5 已知复数 2
3
(1 3 )
iz
i
， z 是 z 的共轭复数，则 zz =
A. 1
4 B. 1
2 C.1 D.2
答案 A
6. 是虚数单位，
33
i
i
A． 13
4 12 i B． 13
4 12 i C． 13
26i D． 13
26i
答案 B
7. 设 曲 线 1 nyx ()nN 在 (1,1) 处 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 nx ，则
20122013320132201312013 loglogloglog xxxx 的值为（ ）
A． 2013log 2012 B． 2013(log 2012) 1 C．1 D． 1
【答案】D
线上测试三（文科数学）
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8.已知 a＞b＞c，n∈N*，且
ca
n
cbba
11 恒成立，则 n 的最大值为（ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.函数 21nf x ax x在区间 0,1 上的图象如图所示，则 n 可能是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【精讲精析】选 A.
10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所
著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在 1654 年发现
这一规律，比杨辉要迟了 393 年．如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的
数组成一个锯齿形数列：1，2，3，36，4，10，5，…，则在该数列中，第 37 项是（ ）
A．153 B．171 C．190 D．210
【解答】解：每行 2 个数，则第 37 项在 21 行第 3 个数，
从第 3 行开始斜行 1，3，6，10，…，即为 ， ， ，…， ，
则 21 行第 3 个数为 ＝190，
故选：C．
11．甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个
座位．已知：
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（1）若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座；
（2）若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座．如果丁坐在 B 座，
那么可以确定的是（ ）
A．甲坐在 A 座 B．乙坐在 D 座 C．丙坐在 C 座 D．戊坐在 F 座
【解答】解：∵丁坐在 B 座，由（1）可得甲或者乙中的一人不能坐在 C 座，
由（2）可得戊不能坐在 C 座，故 C 座只能是丙．
故选：C．
12．某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课
程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙
没有相同课程．则以下说法错误的是（ ）
A．丙有可能没有选素描
B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同
D．这四个人里恰有 2 个人选素描
【解答】解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．
那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；
若丙没选素描，则丁必定选择了素描．
综上，必定有且只有 2 人选择素描，选项 A，B，D 判断正确
不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，
则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：
情形一：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × √ ×
摄影 √ × × √
情形二：
甲 乙 丙 丁
素描 √ × × √
摄影 √ × √ ×
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此 C 不正确．
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故选：C．
13.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
.解析：由题意，可把三人的预测简写如下：
甲：甲 乙．
乙：丙 乙且丙 甲．
丙：丙 乙．
因为只有一个人预测正确，
如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．
如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，
则有丙 乙，乙 甲，
因为乙预测不正确，而丙 乙正确，所以只有丙 甲不正确，
所以甲 丙，这与丙 乙，乙 甲矛盾．不符合题意．
所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，
甲 乙，乙 丙．
故选 A．
14．胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859 年，英国作家约翰•泰勒（JohnTaylor，1781﹣1846）
在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例
，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一
个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若 h2＝as，则由勾股定理，as＝s2﹣a2，即
，因此可求得 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为 756 英尺的正方
形（2a＝756），顶点 P 的投影在底面中心 O，H 为 BC 中点，根据以上信息，PH 的长度
（单位：英尺）约为（ ）
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A．233.6 B．481.4 C．512.4 D．611.6
【解答】解： ，所以 PH＝s≈1.618a＝611.604，
故选：D．
15．已知数列 1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其
中第一项是 20，第二项是 1，接着两项为 20，21，接着下一项是 2，接着三项是 20，21，
22，接着下一项是 3，依此类推，记该数列的前 n 项和为 Sn，则满足 Sn＞3000 的最小的
正整数 n 的值为（ ）
A．65 B．67 C．75 D．77
【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为 1，各组的和分别为：
即：第一组：20，第 1 组和为：21﹣1；
第二组：20，21，第 2 组和为：22﹣1；
第三组：20，21，22，第 3 组和为：23﹣1；
…
第 k 组：20，21，22，…，2k﹣1，第 k 组和为：2k﹣1；
及等差数列，1，2，3，…，k，其和为： ；
故所有项数和为 n＝1+2+3+…+k+k＝ ，
当 k＝10 时，n＝65 项，
则 Sn＝ ＝ + ＝2101＜3000，
当 k＝11 时，n＝77 项，
则 Sn＝ ＝ + ＝4160＞3000，
∴当 n＝77 时，Sn＞3000；
故满足 Sn＞3000 的最小的正整数 n 的值为 77．
故选：D．
16．给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：
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①“若 a，b∈R，则 a﹣b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a，b∈C，则 a﹣b＝0⇒a＝b”；
②“若 a，b，c，d∈R，则复 a+bi＝c+di⇒a＝c 且 b＝d”
类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 ”；
③“若 a，b∈R，则 a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若 a，b∈C，则 a﹣b＞0⇒a＞b”．
其中类比结论错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①在复数集 C 中，若两个复数满足 a﹣b＝0，则它们的实部和虚部均相等，
则 a，b 相等．故①正确；
②在有理数集 Q 中，若 a+ ＝c+d ，则（a﹣c）+（b﹣d） ＝0，易得：a＝c，b
＝d．故②正确；
③如 a＝2+i，b＝1+i，则 a﹣b＝1＞0，而 a，b 都是复数，无法比较大小，故③错．
故选：B．
17．1 元＝100 分＝10×10 分＝0.1×0.1 元＝0.01 元，上式错误的是（ ）
A．1 元＝100 分 B．100 分＝10×10 分
C．10×10 分＝0.1×0.1 元 D．0.1×0.1 元＝0.01 元
【解答】解：因为 10×10 分＝100 分＝1 元，而
0.1×0.1 元＝0.01 元，
所以 10×10 分≠0.1×0.1 元，
故选：C．
18．有下列几种说法：①归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理，统称为合情推理；
②合情推理得出的结论，因为合情，所以一定正确；
③演绎推理是一般到特殊的推理；
④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关．
以上说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根据题意，依次分析所给的 4 个说法：
对于①，符合合情推理的定义，则①正确；
对于②，合情推理得出的结论，不一定是正确的，②错误；
对于③，演绎推理是一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，③正确；
对于④，演绎推理的形式为三段论，即大前提、小前提和结论，
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演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理的形式有关，④正确；
有 3 个是正确的；
故选：D．
19．在 Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边 AB 上的高为 h1，则 ＝ + ；类比此性质，
如图，在四面体 P﹣ABC 中，若 PA，PB，PC 两两相垂直，底面 ABC 上的高为 h，则得
到的正确结论为（ ）
A． ＝ + +
B． ＝ + +
C． ＝ + +
D． ＝ + +
【解答】解：由平面类比到空间，是常见的一种类比形式，
直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做
垂线，
垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似： ＝ + + ，
故选：B．
20．在技术工程中，常用到双曲正弦函数 和双曲余弦函数 ，其
实双曲正弦函数和双曲线余弦函数与我们学过的正弦和余弦函数相似，比如关于正、余
弦函数有 cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny 成立，而关于双曲正、余弦函数满足 ch（x+y）
＝chxchy﹣shxshy，请你类比关系式，得出关于双曲正弦、双曲余弦函数的关系中不正确
的是（ ）
A．sh（x+y）＝shxchy+chxshy
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B．sh2x＝2shxchx
C．ch2x＝2sh2x﹣1
D．ch2x+sh2x＝1
【解答】解：类比关系式，得 sh（x+y）＝shxchy+chxshy，sh2x＝2shxchx，ch2x+sh2x＝1
正确．
由余弦的二倍角公式可知，ch2x＝1﹣2sh2x，即 C 不正确；
故选：C．
二.填空题
1．在直角坐标系 xOy 中，AB 是圆 O 的弦，M 是 AB 中点，若 AB，OM 都存在非零斜率
kAB，kOM，则 kAB•kOM＝﹣1．类比于圆，在直角坐标系 xOy 中，AB 是椭圆 ＝1
（a＞b＞0）的弦，M 是 AB 中点，若 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB•kOM
＝ ﹣ ．
【解答】解：依题意，对于圆 O，设 A（x1，y1）， B（x2，y2）， M（x0，y0）
圆的方程为 x2+y2＝r2，则 ，且 x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，
则①﹣②得， ＝ ＝﹣1＝kAB•kOM，
所以在椭圆中，设 A（x1，y1）， B（x2，y2）， M（x0，y0），
则 x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，又 ，
所以 ＝ ＝﹣ ＝kAB•kOM．
故答案为：﹣ ．
2．毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角
形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到 511 个正方形，设初始正
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方形的边长为 1，则最小正方形的边长为 ．
【解答】解：设初始正方形个数为 a1＝1，依次得到 a2＝2，a3＝4，
每一个正方形都可以得到 2 个正方形，
∴满足 ＝2，是以首项为 1，公比为 2 的等比数列，
∴正方形个数的和为 Sn＝ ＝2n﹣1＝511，
即 2n＝512 解得 n＝9，
第一个正方形的边长设为 b1＝1，然后满足 ＝ ，
∴数列{bn}是以 1 为首项，公比为 的等比数列，
∴b9＝（ ）8＝ ，
∴最小的正方形的边长为 ．
故答案为：
3．对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝ ，33＝ ，
43＝ ，…．仿此，若 m3 的“分裂数”中有一个是 413，则 m＝ 20 ．
【解答】解：由题意，从 23 到 m3，正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+…+m＝
个，
∵2n+1＝413，得 n＝206，
∴413 是从 3 开始的第 206 个奇数，
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当 m＝19 时，从 23 到 193，用去从 3 开始的连续奇数共 ＝189 个，
当 m＝20 时，从 23 到 203，用去从 3 开始的连续奇数共 ＝209 个，
故 m＝20．
故答案为：20．
4．设 xxf ln)( ，若函数 axxfxg )()( 在区间 )4,0( 上有三个零点，则实数 a 的取值
范围是_______.
故答案为【ln4/4，1/e】
5.已知函数 f(x)＝sin x－1
2x(x∈[0，π])，那么下列结论正确的是________．
①f(x)在 0，π
2 上是增函数；②f(x)在 π
6，π 上是减函数；③∃x∈[0，π]，f(x)>f π
3 ；④
∀x∈[0，π]，f(x)≤f π
3 .
答案 ④
三.解答题
1.下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量t 的两个线性回
归模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为1 2 17，，…， ）建立模
型①： ˆ 30.4 13.5 yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为
1 2 7，，…， ）建立模型②： ˆ 99 17.5yt．
(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
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【解析】(1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ 30.4 13.5 19 226.1y (亿元)．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ 99 17.5 9 256.5y (亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.4 13.5yt 上下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很
好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额
有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据
建立的线性模型 ˆ 99 17.5yt 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的
变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到
的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说
明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
2.某高校共有学生 15 000 人，其中男生 10 500 人，女生 4500 人．为调查该校学生每周平均
体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本
数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 1•4
所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估
计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率．
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图 1•4
(3)在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均
体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运
动时间与性别有关”．
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
附：K2＝ n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
解： (1)300× 4500
15 000＝90，所以应收集 90 位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过 4 小时的频率为 1－2×(0.100＋0.025)＝
0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75.
(3)由(2)知，300 位学生中有 300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过 4 小时，
75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时．又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，
90 份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45 30 75
每周平均体育运动时间超过 4 小时 165 60 225
总计 210 90 300
结合列联表可算得 K2＝300×（165×30－45×60）2
75×225×210×90 ＝100
21 ≈4.762>3.841.
所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
3.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 80
3
立方米，且 2lr≥ .假设该容器的建
造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方
米建造费用为 ( 3)cc＞ 千元.设该容器的建造费用为 y 千元.
（1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的 .
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解：所以建造费用 y 2160 8 rr
+ 24 cr ,定义域为(0,2] .
（2）因为 'y 2
160 16 rr
+8 cr =
3
2
8 [( 2) 20]cr
r
, 02r
①当 3 20 22 c
时，即当 93 2c 时，函数 y 在（0，2）上是单调递减的，故建造费最小
时 r=2.
②当 3 20022c
时，即 9
2c 时，函数 y 在（0，2）上是先减后增的，故建造费最小时
3 20
2r c
.
4.已知函数 1( ) ln + )f x x axa（ ，其中 aR 且 0a .
（1）讨论 ()fx的单调性；
(2) 若不等式 ()f x ax 恒成立，求实数 a 取值范围；
（3）若方程 ( ) 0fx 存在两个异号实根 1x ， 2x ，求证： 120xx
解：①当 0a 时, '( ) 0fx ,函数在 ),1( a
上是增函数;
②当 0a 时,在区间( , )a
1 0 上, '( ) 0fx ;在区间(0,+∞)上, '( ) 0fx ．
所以, ()fx在( , )a
1 0 是增函数,在(0,+∞)是减函数. ………………………………4 分
(２)当 时, 则 x 取适当的数能使 ()f x ax ，比如取 1xea ，
能使 11( ) 1 ( ) 2 ()0 11f e a e a ae eeaa a a , 所以 不合题意…6 分
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当 0a 时，令 ( ) ( )h x ax f x ,则 1( ) 2 ln( )h x ax x a
问题化为求 ( ) 0hx 恒成立时 a 的取值范围.
由于 '
12 ( )1 2( ) 2 11
ax ah x a
xxaa
在区间( , )aa
11
2
上, 0)(' xh ;在区间 ),2
1( a
上, 0)(' xh . …………8 分
()hx 的最小值为 1()2h a ,所以只需 1( ) 02h a
即 1 1 12 ( ) ln( ) 022a a a a , 1ln 12a ,
2
ea ………………………………10 分
(３)由于 ( ) 0fx 存 在 两 个 异 号 根 12,xx， 不 仿 设 1 0x ， 因 为 1
1 0xa ,所以
0a ……………………………………………………………………………………11 分
构造函数: ( ) ( ) ( )g x f x f x ( 1 0xa )
11( ) ln( ) ln( ) 2g x x x axaa
2
'
2
2
1 1 2( ) 2 01 1 1
axg x a
x x xa a a
于是 ( ) ( )f x f x110 , 又
1( ) 0fx , ( ) 0 ( )f x f x12, 由 ()fx在 ,)（0 上 为 减 函 数 可 知 21xx . 即
120xx……………………………………………14 分
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