2020 年 4 月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
第一部分（选择题，共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知复数 是正实数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 为正实数，∴ 且 ，解得 ，故选 C．
2．已知全集푈 = 푅，푀 = {푥|푥 < ―1}，푁 = {푥|푥(푥 +2) < 0}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{푥| ― 1 ≤ 푥 < 0} B．{푥| ― 1 < 푥 < 0} C．{푥| ― 2 < 푥 < ―1} D．{푥|푥 < ―1}
【答案】A
【解析】由푥(푥 + 2) < 0⇒ ― 2 < 푥 < 0，即푁 = {푥| ― 2 < 푥 < 0}，图中阴影部分表示的集合为：푁 ∩ (퐶푈푀)，
又퐶푈푀 = {푥|푥 ≥ ―1}， ∴ 푁 ∩ (퐶푈푀) = {푥| ― 1 ≤ 푥 < 0}，故选퐴．
3．下列函数满足对 ， 恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2 2z a i a i= − − a
0 1 1− 1±
2 22 2 ( 1)z a i a i a a i= − − = − + − 2 0a− > 2 1 0a − = 1a = −
x R∀ ∈ ( ) ( ) 0f x f x− + =
( ) x xf x e e−= + ( ) 1f x x
= ( ) sinf x x x= + ( ) 1ln1
xf x x
+= −【解析】 ， ，则 ，∴函数 是定义域为 的奇函数．
对于 A 选项，函数 的定义域为 ， ，该函数为偶函数；对于 B
选项，函数 的定义域为 ，不满足定义域为 ；对于 C 选项，函数 的
定义域为 ， ，该函数为奇函数；对于 D 选项，由
，得 ，解得 ，该函数的定义域为 ，不满足定义域为 ，故选 C．
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得： ，解得： ， 定义域为 ，故选
．
5．设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件、
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 或 ，∴数列｛an｝是递增数列；
若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充分必要条件，故选
选 C．
6．已知圆 与 轴的正半轴相切于点 ，圆心在直线 上，若点 在直线 的左上方且
到该直线的距离等于 ，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 圆 的圆心在直线 上， 可设 ， 圆 与 轴正半轴相切与点 ，
x R∀ ∈ ( ) ( ) 0f x f x− + = ( ) ( )f x f x− = − ( )y f x= R
( ) x xf x e e−= + R ( ) ( )x xf x e e f x−− = + =
( ) 1f x x
= { }0x x ≠ R ( ) sinf x x x= +
R ( ) ( ) ( )sin sinf x x x x x f x− = − + − = − − = −
1 01
x
x
+ >−
1 01
x
x
+ ( )( )3 1 0x x− + < 1 3x- < < ( )f x∴ ( )1,3−
C
12
1 2 3 1 1 1
0
1
aa a a a a q a q q
>< < ⇒ < < ⇒ >
1 0
0 1
a
q
< π ( ,0)3B
π 7( ) 212f
π = − ω
ϕ
1, 3
π
1, 3
π− 2 , 6
π− 2 , 6
π
( )min 2f x = −
7 212f
π = − ,03B
π
( )7
12 3 4
T kT k Z
π π∴ − = + ∈
( )
4 1T k Zk
π∴ = ∈+
,03B
π
4 3 2
T Tπ< < 3 4
2 3T
π π∴ < < 2T
π πω∴ = = 2ω =
7 72cos 2 212 12f
π π ϕ = × + = − ( )7 26 k k Z
π ϕ π π∴ + = + ∈
( )26 k k Z
πϕ π= − + ∈ ϕ π<
6
πϕ∴ = − C
4 3
3A．8 B．12 C． D．20
【答案】B
【解析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为 2，设四棱锥的高为 ，则依题意有
，∴ ，∴侧面的高为 ，∴四棱锥的侧面积
，∴该四棱锥的表面积为： ，故选 B．
9．设等差数列 的前 n 项的和为 ，且 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】设数列公差为 ，则 ， ，
∴ ，故选 B．
10．甲、乙、丙、丁四位生物学专家在筛选临床抗病毒药物 ， ， ， 时做出如下预测：
甲说： 和 都有效；乙说： 和 不可能同时有效；丙说： 有效；丁说： 和 至少有一种有
4 4 3+
h
1 4 32 23 3V h= × × = 3h = 2 2
1 1 4 2h h= + = =
1
1=4 2 2=82S × × × 2 =8+2 2=12S ×
{ }na nS 13 52S = 4 8 9a a a+ + =
d 13 1 1
13 1213 13( 6 ) 522S a d a d
×= + = + = 1 6 4a d+ =
4 8 9 1 1 1 13 7 8 3( 6 ) 3 4 12a a a a d a d a d a d+ + = + + + + + = + = × =
1a 2a 3a 4a
1a 2a 2a 4a 3a 1a 3a效．
临床试验后证明，有且只有两种药物有效，且有且只有两位专家的预测是正确的，由此可判断有效的药物
是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【解析】假设甲、乙预测正确，则有效药物为 ，可知丁预测也正确，不合题意；假设甲、丙预测正确，
则有效药物为 ，不合题意；假设甲、丁预测正确，则有效药物为 ，可知乙预测也正确，不合
题意；假设乙、丙预测正确，则 有效，可知丁预测也正确，不合题意；假设乙、丁预测正确，若 均
有效，或 无效， 有效，则丙预测也正确，不合题意；若 有效， 无效，则 至少一个有效，若
有效，则甲预测也正确，不合题意；若 有效，则甲、丙预测均错误，此时有效药物为 ，预测正
确的专家为乙和丁，满足题意；假设丙、丁预测正确，若 均有效，则乙预测也正确，不合题意；若
有效， 无效，则 至少一个有效，乙预测也正确，不合题意．综上所述：有效药物为 ，故选
．
第二部分（非选择题，共 110 分）
二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分．
11．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 60°，且与椭圆 有相等焦距，则 的
方程为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的方程可得焦距为 4，再由双曲线的渐近线方程可得： ，由题意可得
，解得： 双曲线的方程为： ．
12．已知 ， ，若 ，则 ．
1a 2a 2a 3a 3a 4a 1a 4a
1 2,a a
1 2 3, ,a a a 1 2,a a
3a 1 3,a a
1a 3a 1a 3a 2 4,a a
2a 4a 1 4,a a
1 3,a a 3a
1a 2 4,a a 1 4,a a
D
2 2
2 2: 1x yC a b
− =
2
2 15
x y+ = C
2
2 13x y− =
tan60 3b
a
= ° =
2 2 4a b+ = 2 21 3a b ∴= =, ,
2
2 13x y− =
( )2,1a = ( )1,b t= 5a b⋅ = cos ,a b< >=【答案】
【解析】由 得： ，解得： ， ，
， ， ．
13．已知抛物线 过点 ，若点 在抛物线 上，且点 到抛物线 的焦点的距离
等于 ，设 为坐标原点，则 ．
【答案】
【解析】 抛物线过 ， ，解得： ．
设 ， ，解得： ， ，
．故答案为： ； ．
14．在 中， 是 边的中点．若 ，则 的长等于 ；
若 ，则 的面积等于 ．
【答案】7 42
【解析】（1）依题在 中， 是 的中点，∴ ∴ ．
又 ，
∴ ，
∴ ，∴ 的长等于 ．
（2）在 中，由正弦定理有： ，
∴ ．
在 中，由正弦定理有： ，∴ ．
∵ 是 的中点，则 ， ，∴ ，
∴ 即 ，∴ ．
2
2
5a b⋅ = 2 1 1 5t× + × = 3t = ( )1,3b∴ =
4 1 5a∴ = + = 1 9 10b = + = 5 2cos , 25 10
a ba b
a b
⋅∴ < >= = =
×⋅
2: 2 ( 0)C y px p= > (1,2) A C A C
3 O | |AO =
2 3
( )1,2 2 4p∴ = 2p =
( )0 0,A x y 0 0 1 32
px x∴ + = + = 0 2x = 2
0 02 4 2 8y px∴ = = × =
2 2
0 0 4 8 2 3AO x y∴ = + = + = 2 2 3
ABC△ 10AB D= ， BC 6 60AC A= ∠ = °， AD
45 6 2CAD AC∠ = ° =， ABC△
ABC△ D AB 1 ( )2AD AB AC= + 1| | | |2AD AB AC= +
6, 60AC A= ∠ =
2 2
| | 2AB AC AB AB AC AC+ = + ⋅ + 2 210 2 10 6cos60 6 196 14= + × × + = =
1| | | | 72AD AB AC= + = AD 7
ADC△ sin sin
AC
DAC
D
A C
C
D
=∠ ∠
sin 6 2 sin 45 6
sin sin sin
AC DACDC ADC ADC ADC
∠= = =∠ ∠ ∠
ADB△
sin sin
BD AB
BAD ADB
=∠ ∠
sin 10sin
sin sin
AB BAD BADBD ADB ADB
∠ ∠= =∠ ∠
D AB AD DB= 180ADB ADC∠ + ∠ = sin sinADB ADC∠ = ∠
10sin 6BAD∠ = 3sin 5BAD∠ = 2 4cos 1 sin 5BAD BAD∠ = ± − ∠ = ±当 时，
．
当 时， 不符合题意，
∴ 的面积为： ．
故答案为：（1） ；（2） ．
15．已知函数 ，则下面三个命题中，所有真命题的序号是 ．
①函数 是偶函数；
②任取一个不为零的有理数 ， 对 恒成立；
③存在三个点 使得 为等边三角形．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或者选错得 0 分，其他得 3 分．
【答案】①②③
【解析】 必然是有理数 0 或 1．
（1）当 ，则 ；当 ，则 ，很显然函数 = ∴函数 是偶
函数，∴①正确；
（2）任取一个不为零的有理数 ，当 ，则 ；当 ，则 ，很显然函数
，∴②正确；
（3）设 ， ， ，此时 为等边三角形，∴③正确．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题14 分）
如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ．
4cos 5BAD∠ = sin sin( 45 ) sin cos45 cos sin 45BAC BAD BAD BAD∠ = ∠ + = ∠ + ∠
2 2 3 4 7 2(sin cos ) ( )2 2 5 5 10BAD BAD= ∠ + ∠ = + =
4cos 5BAD∠ = − sin sin( 45 )BAC BAD∠ = ∠ + 2 3 4 2( )2 5 5 10
−= − =
ABC△ 1 1 7 2sin 10 6 2 422 2 10ABCS AB AC BAC= ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
7 42
( )f x
T ( ) ( )f x T f x+ = x R∈
1 1 2 2 3 3( , ( )), ( , ( )), ( , ( )),A x f x B x f x C x f x ABC∆
( )f x
( )f x ( )f x
T
( ) ( )f x T f x+ =
ABC∆
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD E 1AA 1BE EC⊥（1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）证明：由已知得， 平面 ， 平面 ，故 ．
又 ，且 ，∴ 平面 ．
（2）解：由（1）知 ．由题设知 ，∴ ，故 ，
．设 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空
间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，则 即 ∴可取 ．
设平面 的法向量为 ，则 即 ∴可取 ．
于是 ，
由同角三角函数关系式可得二面角 的正弦值为 ．
BE⊥ 1 1EB C 1AE A E= 1B EC C− −
1 1B C ⊥ 1 1ABB A BE ⊂ 1 1ABB A 1 1B C BE⊥
1BE EC⊥ 1 1 1 1B C EC C∩ = BE⊥ 1 1EB C
1 90BEB∠ =
1 1Rt RtABE A B E∆ ∆≌ 45AEB∠ = AE AB=
1=2AA AB 1AB = D DA x DA
D xyz− ( )0,1,0C ( )1,1,0B ( )1 0,1,2C ( )1,0,1E ( )1,0,0CB =
( )1, 1,1CE = − ( )1 0,0,2CC =
EBC ( )1 1 1, ,n x y z= 0,
0
CB n
CE n
⋅ =
⋅ =
，
1
1 1 1
0,
0,
x
x y z
=
− + =
( )0, 1, 1n = − −
1ECC ( )2 2 2, ,m x y z= 1 0,
0
CC m
CE m
⋅ =
⋅ =
，
2
2 2 2
2 0,
0,
z
x y z
=
− + =
( )1,1,0m =
1cos , 2
n mn m
n m
⋅< >= = −
1B EC C− −
21 31 2 2
− − = 17．（本小题14 分）
已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， ．
（1）判断 是否是数列 中的项，并说明理由；
（2）求 的最值．
从 ① ；② ；③ 中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
【解析】若选①：
（1）解：设等差数列 的公差为 ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
令 ，则 ，此方程无正整数解， 不是数列 中的项．
（2）令 ，即 ，解得： ，
∴当 时， ；当 时， ，∴当 时， 的最小值为 ，
无最大值．
若选②：
（1）解：设等差数列 的公差为 ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
令 ，解得 ， 是数列 中的项．
{ }na nS { }na n 10 16a =
2024 { }na
nS
8 10a = 8 8a = 8 20a =
{ }na d
10
8
16 ,
10
a
a
=
=
1
1
9 16 ,
7 10
a d
a d
+ =
+ = 1
3 ,
11
d
a
=
= −
( ) ( )1 1 11 3 1 3 14na a n d n n= + − = − + − = −
3 14 2024n − = 3 2038n = 2024∴ { }na
0na > 3 14 0n − > 14 243 3n > =
5n ≥ 0na > 4n ≤ 0na < 4n = nS 4 11 8 5 2 26S = − − − − = −
nS
{ }na d
10
8
16 ,
8
a
a
=
=
1
1
9 16 ,
7 8
a d
a d
+ =
+ = 1
4 ,
20
d
a
=
= −
( ) ( )1 1 20 4 1 4 24na a n d n n= + − = − + − = −
4 24 2024n − = 512n = 2024∴ { }na（2）令 ，即 ，解得： ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴当 或 时， 的最小值为 ， 无最大值．
若选③：
（1）解：设等差数列 的公差为 ，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ ．
令 ，解得 （舍去）， 不是数列 中的项．
（2）令 ，即 ，解得： ，当 时， ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴当 或 时， 取最大值 ， 无最小值．
18．（本小题 14 分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司
各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如下：
甲公司某员工 A 乙公司某员工 B
3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 7
0 1 4 4 2 2 2
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件 4．5 元；乙公司规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7
元．
（1）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为
（单位：元），求 的分布列和数学期望；
（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【解析】解：（1）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36，众数为 33．
0na > 4 24 0n − > 6n >
6n > 0na > 6n ≤ 0na ≤
5n = 6 nS 5 6 20 16 12 8 4 60S S= = − − − − − = − nS
{ }na d
10
8
16 ,
20
a
a
=
=
1
1
9 16 ,
7 20
a d
a d
+ =
+ = 1
2 ,
34
d
a
= −
=
( ) ( )1 1 34 2 1 2 36na a n d n n= + − = − − = − +
2 36 2024n− + = 994n = − 2024∴ { }na
0na ≥ 2 36 0n− + ≥ 18n ≤ 18n = 18 0a =
18n ≤ 0na ≥ 18n > 0na <
17n = 18 nS ( )
17 18
17 16 217 34 3062S S
× × −= = × + = nS
X
X（2）解：设 为乙公司员工 B 投递件数，则
当 =34 时， =136 元，当 >35 时， 元，
的可能取值为 136，147，154，189，203，
的分布列为：
136 147 154 189 203
．
（3）解：根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元，乙公司被抽取员工该月收入 4965
元．
19．（本小题 15 分）
已知函数
（1）求 的单调区间；
（2）过点 存在几条直线与曲线 相切，并说明理由；
（3）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）解： ， 得， 或 ；
得， ，∴ 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 ．
（2）解：过 点可做 的三条切线；理由如下：
设切点坐标为 ，∴切线斜率 ，
∴过切点的切线方程为： ，
切线过 点，代入得 ，化简得 ，
方程有三个解， ， ， ，即三个切点横坐标，∴过 点可做 的三条切
线．
（3）解：设 ，
① 时，∵ ， ，∴显然 对任意 恒成立；
a
a X a 35 4 ( 35) 7X a= × + − ×
X
X
X
P 1
10
3
10
2
10
3
10
1
10
1 3 2 3 1( ) 136 147 154 189 20310 10 10 10 10E X = × + × + × + × + × 1655= =165.5( )10
元
( ) 2 xf x x e=
( )f x
( )1,0P ( )y f x=
( ) ( )1f x k x≥ − x∈R k
( ) ( ) ( )2 2 2x xf x x x e x x e′ == + + ( ) 0f x′ > 2x < − 0x >
( ) 0f x′ < 2 0x− < < ( )f x ( ), 2−∞ − ( )0, ∞+ ( )2,0−
( )1,0P ( )f x
( )02
0 0, xx x e ( ) ( ) 0
0 00 2 xx xk x ef ′ = +=
( ) ( )0 02 2
0 0 0 02x xx e x x e xy x− = + −
( )1,0P ( ) ( )0 02 2
0 0 0 02 10 x xx e x x e x− = + − ( )( ) 0
0 0 02 2 0xx x x e+ − =
0 0x =
0 2x = − 0 2x = ( )1,0P ( )f x
( ) ( )2 1xg x x e k x−= −
0k = 2 0x ≥ 0xe > 2 0xx e ≥ x∈R② 时，若 ，则 不成立，∴ 不合题意．
③ 时， 时， 显然成立，只需考虑 时情况；
转化为 对任意 恒成立，
令 （ ），则 ， ，
当 时， ， 单调减；
当 时， ， 单调增，
∴ ，∴ ．
综上所述， 的取值范围 ．
20．（本小题 14 分）
已知椭圆 ： 与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，且 是边长
为 2 的等边三角形．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 ，
都不重合），判断直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，
请说明理由．
【解析】(1)解：由题意可得 ， ， ， ，
由△ 是边长为 2 的等边三角形，可得 ， ，即 ，则椭圆的方程为 ．
(2)由题可知直线 的斜率不为 0，故设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，即 ( )，
设 ， ， ， ，则 ， ，又 ， ，
k 0< 0x = ( ) ( )0 0 0 1f k k= > − = − k 0<
0k > 1x ≤ ( ) ( )2 1 0xg x x e k x−= − > 1x >
2
1
xx e kx
≥−
( )1,x∈ +∞
( ) 2
1
xx eh x x
= − 1x > ( )mink h x≤ ( ) ( )
( )
( )( )
( )
2 2
2 2
2 2( 2 ) 1
1 1
xx x x x x ex x e x x eh x
x x
+ −+ − −′ = =
− −
1 2x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
2x > ( ) 0h x′ > ( )h x
( ) ( ) ( )2
2
min
2 2 2 22
2 1
h x h e e= = +
−
= ( ) 22 2 2k e≤ +
k ( ) 20, 2 2 2 e+
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > y 1B 2B 1F C 1 1 2F B B∆
C
( )1,0- C P Q P x 1P 1P P Q
1PQ x
1(0, )B b 2 (0, )B b− 1( ,0)F c− 2 2
1 1| |F B c b a= + =
1 1 2F B B 2a = 2 2b = 1b =
2
2 14
x y+ =
PQ PQ 1x my= −
2 2
1
4 4
x my
x y
= −
+ =
2 2( 1) 4 4my y− + = 2 2( 4) 2 3 0m y my−+ − = 0m ≠
1(P x 1)y 2(Q x 2 )y 1 1(P x 1)y− 1 2 2
2
4
my y m
+ = + 1 2 2
3
4y y m
= − +经过点 ， ， ， 的直线方程为 ，
令 ，则 ，又 ， ．
当 时， ．
故直线 与 轴交于定点 ．
21．（本小题 14 分）
对于数列 ，定义“ 变换”： 将数列 变换成数列 ，其
中 ，且 ，这种“ 变换”记作 ．继续对数列 进行“
变换”，得到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为 时变换结束．
（1）试问 和 经过不断的“ 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“ 变换”得到的
各数列；若不能，说明理由；
（2）求 经过有限次“ 变换”后能够结束的充要条件；
（3）证明： 一定能经过有限次“ 变换”后结束．
【解析】（1）解：数列 不能结束，各数列依次为 ； ； ； ； ；
；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为 的情形．
数列 能结束，各数列依次为 ； ； ； ．
（2）解： 经过有限次“ 变换”后能够结束的充要条件是 ．
若 ，则经过一次“ 变换”就得到数列 ，从而结束．
当数列 经过有限次“ 变换”后能够结束时，先证命题“若数列 为常数列，则 为常数列”．
当 时，数列 ．
由数列 为常数列得 ，解得 ，从而数列 也为常数列．
其它情形同理，得证．
1 1(P x 1)y− 2(Q x 2 )y 1 2 1
1 2 1
y y y y
x x x x
+ +=− −
0y = 2 1 1 2 2 1
1 1
2 1 1 2
x x x y x yx y xy y y y
− += + =+ + 1 1 1x my= − 2 2 1x my= −
0y = 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1) 2 1my y my y my yx y y y y
+= = −+ +
− − 2
2
6
4 1 3 1 42
4
m
m
m
m
− += − = − − = −
+
1PQ x ( 4,0)−
( )1 2: , ,... , 1,2,...n n iA a a a a N i n∈ = T T nA 1 2: , ,...n nB b b b
( )1 1,2,... 1i i ib a a i n+= − = − 1n nb a a= − T ( )n nB T A= nB T
,...nC 0
3 : 4,2,8A 4 :1,4,2,9A T T
3 1 2 3: , ,A a a a T
4 1 2 3 4: , , ,A a a a a T在数列 经过有限次“ 变换”后结束时，得到数列 (常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常
数列，可知数列 也为常数列．
∴数列 经过有限次“ 变换”后能够结束的充要条件是 ．
（3）证明：先证明引理：“数列 的最大项一定不大于数列 的最大项，其中 ”．
证明：记数列 中最大项为 ，则 ．
令 ， ，其中 ．
∵ ，∴ ，
故 ，证毕．
现将数列 分为两类．
第一类是没有为 的项，或者为 的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，
．
第二类是含有为 的项，且与最大项相邻，此时 ．
下面证明第二类数列 经过有限次“ 变换”，一定可以得到第一类数列．
不妨令数列 的第一项为 ，第二项 最大( )．（其它情形同理）
①当数列 中只有一项为 时，
若 ( )，则 ，此数列各项均不为 或含有 项但与
最大项不相邻，为第一类数列；
若 ，则 ； 此数列各项均不
为 或含有 项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若 ( )，则 ，此数列各项均不为 ，为第一类数列；
若 ，则 ； ； ，
此数列各项均不为 ，为第一类数列．
②当数列 中有两项为 时，若 ( )，则 ，此数列各项均不为 ，为第一类数列；
若 ( )，则 ， ，此数列各项均不为 或含
有 项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③当数列 中有三项为 时，只能是 ，则 ，
， ，此数列各项均不为 ，为第一类数列．
总之，第二类数列 至多经过 次“ 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历 次“ 变换”，数列的
最大项又开始减少．
又∵各数列的最大项是非负整数，
故经过有限次“ 变换”后，数列的最大项一定会为 ，此时数列的各项均为 ，从而结束．
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