数学（理）参考答案.pdf

2020.04 广西师大附外高三数学（理）四月第一次模拟考试参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B D A C C B D A D B 1、z = (2−푖)2 1+푖 = 4−4푖−1 1+푖 = (3−4푖)(1−푖) 1+1 = −1−7푖 2 ，所以푧̅ = − 1 2 + 7 2 𝑖，故选 B 2、M={1,2,3}，由M ∪ Q = {0,1,2,3,4}可得 a=4，所以M ∩ Q = {3}，故选 A 3、因为 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故 A,C 右排除；当 0 푥2时,푓/(x) > 0，f(x)在(푥2,+∞)上是增函数； 综上所述，当a ≥ −1时，f(x)的增区间为[0, +∞)，无减区间；当a < −1时，f(x)的减区间为[0, 푥2)， 增区间为(푥2, +∞)。 （2）푔/(푥) = 푒푥 + ln(푥 + 1) − 5 2 푥 由(1)可知当a = −1时，f(x)在区间（0, +∞)是增函数，∴ f(x) > f(0) = 0 ∴当x > 0时，1 2 푥2 − 푥 + ln(푥 + 1) > 0 下面证明：当x > 0时，푒푥 − 3 2 푥 − 1 2 푥2 > 0 设h(x) = 푒푥 − 3 2 푥 − 1 2 푥2 则ℎ/(x) = 푒푥 − 3 2 − 푥，ℎ//(푥) = 푒푥 − 1 ∵ x > 0, ∴ ℎ//(푥) > 0. ∴ ℎ/(푥)在（0,+∞)是增函数 ∴ h/(푥) > ℎ/(0) = 1 − 3 2 − 0 = − 1 2. ∴ 存在푥0 ∈ (0,1)使得ℎ/(푥0) = 0 并且当x ∈ (0, 푥0)时，h/(푥) < 0; 并且当x ∈ (푥0, +∞)时，h/(푥) > 0 ∴ h(x)在(0, 푥0)上为减函数，在(푥0, +∞)上为增函数， ∴当x = 푥0时，h(x)有最小值h(푥0) = 푒푥0 − 3 2 푥0 − 1 2 푥0 2 = 3 2 + 푥0 − 3 2 푥0 − 1 2 푥0 2 = − 1 2 (푥0 + 1 2) 2 + 13 8 ∵ 푥0 ∈ (0,1)，∴ − 1 2 (푥0 + 1 2) 2 + 13 8 > 0 ∴ h(x) > 0，即푒푥 − 3 2 푥 − 1 2 푥2 > 0 ∵ 푔/(x) = 푒푥 + ln(푥 + 1) − 5 2 푥 = (푒푥 − 3 2 푥 − 1 2 푥2) + [1 2 푥2 − 푥 + ln(푥 + 1)] > 0. ∴当x > 0时，函数 g(x)为增函数，∴g(x)在区间(0, +∞)上没有极值点 21、解：（1）由正弦定理得|BF2|+|BF1|=a|F1F2| 由椭圆定义得 2a=2ac⟹ c = 1 离心率e = 푐 푎 = 1 2 ⟹ 푎 = 2 ⟹ 푏 = √푎2 − 푐2 = √3 ∴椭圆 E:푥2 4 + 푦2 3 = 1 （2）直线 l:y=k(x+4)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，F1(-1,0)，则 C(x1,-y1) 把直线方程代入曲线 E 的方程得：푥2 4 + 푘2(푥+4)2 3 =1 整理得：(3 + 4푘2)푥2 + 32푘2푥 + 64푘2 − 12 = 0 方程有两个解푥1, 푥2，则有 ∆= (32푘2)2 − 4 × (3 + 4푘2)(64푘2 − 12) ≥ 0.⟹ − 1 2 < 푘 < 1 2 푥1 + 푥2 = − 32푘2 3+4푘2 , 푥1푥2 = 64푘2−12 3+4푘2 .…………………………………………① 要证三点 B、F1、C 共线，只需证푘퐶퐹1 = 푘퐹1퐵，即证 −푦1 푥1+1 = 푦2 푥2+1 亦即证明푦1(푥2 + 1) + 푦2(푥1 + 1) = 0 ⟺ 푘(푥1 + 4)(푥2 + 1) + 푘(푥2 + 4)(푥1 + 1) = 0 ⟺ 2푥1푥2 + 5(푥1 + 푥2) + 8 = 0. 把①代入得：2푥1푥2 + 5(푥1 + 푥2) + 8 = 2 × 64푘2−12 3+4푘2 + 5 × (− 32푘2 3+4푘2) + 8 = 128푘2 − 24 − 160푘2 + 24 + 32푘2 3 + 4푘2 = 0 ∴三点 B、F1、C 共线。 （3）设直线 CB 的倾斜角为θ，由点 B 在第一象限，则θ ∈ (0,60휊)，设퐵퐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 휆퐹1퐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 。 由（2）可知 PF1 平分∠BPC 由角平分线性质得：|푃퐵| |푃퐶| = |퐵퐹1| |퐹1퐶| = 휆 BC 为过焦点的弦，所以由椭圆性质得：휆−1 휆+1 = 푒푐표푠휃 = 1 2 푐표푠휃 ∵ θ ∈ (0, 60°), ∴ 1 2 < 푐표푠휃 < 1. ∴ 1 4 < 휆−1 휆+1 < 1 2 ⟹ 5 5 < 휆 < 3. ∴ |푃퐵| |푃퐶| 的取值范围是（5 3 ，3） 22、解：（1）由ρ + ρcos2θ − sinθ = 0两边乘以ρ得：휌2 + 휌2(푐표푠2휃 − 푠𝑖푛2휃) − 휌푠𝑖푛휃 = 0 由互化公式可得：푥2 + 푦2 + 푥2 − 푦2 − 푦 = 0 ⟹ 푥2 = 1 2 푦 ∴C 的直角坐标方程为푥2 = 1 2 푦 点 P 的直角坐标为(0,6) （2）C1 的直角坐标方程为 y=6-2x，代入 C 的方程得： 2푥2 = 6 − 2푥 ⟹ 2푥2 + 2푥 − 6 = 0. 푥1 + 푥2 = −1. ∴AB 中点 Q 的坐标为(− 1 2 , 7) ∴ |PQ| = √(0 + 1 2)2 + (6 − 7)2 = √5 2 . 23、解：（1）f(1)=1-|a+b|,f(2)=4-|2a+b|,f(3)=9-|3a+b| 要证푓(3)−푓(1) 2 ≥ 푓(2)，只需证明 8-|3a+b|+|a+b|≥ 8 − 2|2a + b| 即需证明|a + b| + |4a + 2b| ≥ |3a + b| 由绝对值不等式得：|a + b| + |4a + 2b| ≥ |a + b − (4a + 2b)| = |−3a − b| = |3a + b| 不等式得证 （2）f(x) + 1 ≥ 0 ⟹ 푥2 + 1 ≥ |푎푥 + 푏| ⟹ { 푏 ≤ 푥2 − 푎푥 + 1 푏 ≥ −푥2 − 푎푥 − 1. 对一切实数 x,푥2 − 푎푥 + 1 = (푥 − 푎 2) 2 + 1 − 푎2 4 ≥ 1 − 푎2 4 ; −푥2 − 푎푥 − 1 = − (푥 + 푎 2) 2 + 푎2 4 − 1 ≤ −1 + 푎2 4 ∴不等式对x ∈ R恒成立则有{ 푏 ≤ 1 − 푎2 4 푏 ≥ −1 + 푎2 4 ⟹ −1 + 푎2 4 ≤ 푏 ≤ 1 − 푎2 4 ∴b 的最大值g(a) = 1 − 푎2 4 对于任意实数 a,都有g(a) ≤ 1 ∴g(a)的最大值为 1