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中雅培粹学校 2020 年上学期入学考试卷
初三年级 数学科目
命题人：九年级数学备课组 审题人：严 平 罗 熠
考生注意：本试卷共三道大题，26 小题，满分 120 分，时量 120 分钟
一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，共 36 分）
1．﹣2 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣
2
1 C．2 D．
2
1
2．据国家旅游局统计，2020 年寒假全国各大景点共接待游客约为 82600000 人次，数据 82600000 用科学记数法
表示为（ ）
A．0.826×106 B．8.26×107 C．82.6×106 D．8.26×108
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3
4．对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（ ）
A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直
C．四个角都相等 D．是轴对称图形，但不是中心对称图形
5．如图，已知 BE 平分∠ABC，且 BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C 的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
6．下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为 32 的等边△ABC 的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． 3 C．2 D． 32
8.下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
第 5 题图 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图
9．如图，在
▱
ABCD 中，AB＝3，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，
大于
2
1 BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则四边形 ABEF 的周
长为（ ）第 2页（共 4页）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．如图，一架无人机航拍过程中在 C 处测得地面上 A，B 两个目标点的俯角分别为 30°和 60°．若 A，B 两
个目标点之间的距离是 120 米，则此时无人机与目标点 A 之间的距离（即 AC 的长）为（ ）
A．120 米 B． 3120 米 C．60 米 D． 360 米
11.某出租车起步价所包含的路程为 0～2km，超过 2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了 7km，
付了 16 元；盼盼乘坐这种出租车走了 13km，付了 28 元．设这种出租车的起步价为 x 元，超过 2km 后每千米收
费 y 元，则下列方程正确的是（ ）
A．
2813
167
yx
yx
B．
2813
16)27(
yx
yx
C．
28)213(
167
yx
yx
D．
28)213(
16)27(
yx
yx
12．如图，P 为反比例函数 y＝
x
k （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线交一次
函数 y＝﹣x﹣4 的图象于点 A、B．若∠AOB＝135°，则 k 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，共 18 分）
13. 已知函数关系式：
1
1
x
y ，则自变量 x 的取值范围是 .
14. 因式分解：2a2﹣8＝ ．
15．方程 04
2
4
2
x
x
x
的解为 ．
16．在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 2 个红球．每次摸球前先将盒中的
球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.2，
那么可以推算出 n 大约是 ．
17.如图，身高为 1.8 米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在 B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的
影子重合，并测得 AB＝2 米，BC＝18 米，则旗杆 CD 的高度是 米．
18.如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为
边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 ．
第 12 题图 第 17 题图 第 18 题图
三、计算解答题（共 8 小题，共 66 分）
19.（本小题 6 分）计算： 60123
3
6 0 cos
20．（本小题 6 分）先化简，再求值:
121
1
1
1
22
xx
x
xx
，其中 2x .第 3页（共 4页）
21．（本小题 8 分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了
该区域每天的空气质量情况，统计了 2013 年 1 月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整
的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）统计图共统计了 天的空气质量情况．
（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数．
（3）从小源所在班级的 40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概
率是多少？
22．（本小题 8 分）22．如图，△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，
∠DBC＝∠BAC．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
23．（本小题 9 分）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售．经
调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于 800 元，求出每天的销售量最多应为多少件？第 4页（共 4页）
24.（本小题 9 分）已知二次函数 2342 axxy （a 为实数），
（1）若抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，
①已知 A（-1,0），求 B 的坐标；
②若 AB= 2 ，求 a 的值；
（2）若二次函数的图象在 x≤5 的部分与一次函数 y=2x-1 的图象有两个交点，求 a 的取值范围.
25.（本小题 10 分）在△ABC 中，∠ABC＝90°，
BC
AB ＝n，M 是 BC 上一点，连接 AM．
（1）如图 1，若 n＝1，N 是 AB 延长线上一点，CN 与 AM 垂直，求证：BM＝BN．
（2）过点 B 作 BP⊥AM，P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点 Q．
①如图 2，若 n＝1，求证：
BQ
BM
PQ
CP ．
②如图 3，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan∠BPQ 的值．（用含 n 的式子表示）
26．（本小题 10 分）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，（A 在 B 左侧，且
OA＜OB），与 y 轴交于点 C．
（1）求 C 点坐标，并判断 b 的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 AC 相交于点 D，已知 DC：CA＝1：2，直线 BD 与 y 轴交于点 E，
连接 BC．
①若△BCE 的面积为 8，求二次函数的解析式；
②若△BCD 为锐角三角形，求出 OA 的取值范围．
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