绝密★考试结束前
数学（四）
考生须知：
1. 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知a, b ∈ R, i 是虚数单位，若 a + i 与1+ bi 互为共轭复数，则（ ）
i
B. a + b = 0 A. a − b = 0 C. a = 1 D. b = 1
x − 2 y ≥ −2
2. 已知实数 x, y 满足 x + y ≤ 1 ，则 x + y 的最大值为（ ）
y ≥ 0
A. 4 B. 3 C. 2
”成立的（ ）
D.1
3. 已知a, b ∈ R ，则 “ ea > eb ”是“ a
A．充分非必要条件
C．充要条件
> b
B．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
4.在正三棱柱 ABC − A1 B1C1 中， AB = AA1 = 2 ， M 是棱 AA1 上的动点，则三棱锥 M − BCB1 的体积为
（ ）
D． 4
3
B． 2 3 C． 2 2 A．不确定
3 3
5．已知函数 f (x) = 2sin(ωx −
π )(ω > 0) 和 g(x) = cos(3x + ϕ)(| ϕ |<
π ) 的图象的对称轴完全相
6 2
同，则（ ）
A. ω = 2 ，ϕ =
π
B. ω = 3 ， ϕ =
π
C. ω = 2 ， ϕ =
π
D. ω = 3 ，ϕ =
π
3 3 6 6
6．若函数 f ( x) = x2 在区间[a, b] 上的值域为[t, t +1](t ∈ R) ，则b − a （ ）
A.有最大值，但无最小值
C.无最大值，但有最小值
B. 既有最大值，也有最小值
D. 既无最大值，也无最小值
第1页（共 4 页）2019 22 22019 23
7.设 an 是(2 + x)n ( n ≥ 2 ，且 n ∈ N )的展开式中 x 项的系数，则2 + + + 的
2018 a2 a3 a2019
值 为 （ ）
B. 2006 D. 1003 A. 4 C. 8
2017 2017
8．如图，点 P 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 的表面上运动，且 P 到直线 BC 与点 D1 的距离相等．如
果将正方体在平面内展开，那么动点 P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）
D1 C1
A1
C
A B
9. 已知平面向量a, b, c 满足： a − b = 4 ，且(a − c) ⋅ (b − c) = −3 ，则c ⋅ (a + b) 的最小值为（ ）
1 1 1 1C. −
4
D. −
2
A.
4
B.
2
10.已知抛物线C : y2 = x ，以 M (1,1) 为直角顶点作该抛物线的内接直角∆MAB ，则点 M 到直线
AB 的距离的最大值为（ ）
3
5
C． 6 7 A． B． D．
非选择题部分
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每小题 6 分, 单空题每小题 4 分,共 36 分．
11.集合 A = {x | −1 ≤ x ≤ 2},B = {x |1 < x < 4} ，则 A B = ? ， A (CR B) = ?．
第2页（共 4 页）
P B
1
D12.若圆 x2 + y 2 − 2x − 4 y − 4 = 0 关于直线 y = 3x + b 对称，则圆的半径为 ， b 的值为
.
2 + 8 = 1，则 x + y 的最小值是 ，此时( x, y ) =13.已知正数 x, y 满足 .
x +1 y
= 5 ， 则
6
14. 在矩形 ABCD 中， AB = 2, AD = 1 ， E, F 分别是边 AB, AD 上的动点， 且 S∆CEF
• BE = ?，当∠ECF 最大时， DF 的长为 ． DF
15．用红黄蓝三种颜色给如图所示的六个圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜
色不能相同，则不同的涂色方案共有 .
A B C
D E F
第 15 题图 第 16 题图
16.已知点 A 、 B 是曲线C : y = x + 1 ( x > 0 ) 上任意的两个不同点，分别过 A 、 B 作曲线C 的切
x
线交 y 轴和直线 y = x 于 P 、Q 、M 、N （如图），记这两条切线的交点为G ，则 S∆PMG : S∆QNG
的取值所构成的集合为 ．
17．设函数 f (x) =| ax2 − bx + 3 | ，若对任意的负实数a 和实数b ，总有 x ∈[1, 2] ，使得 f (x ) ≥ mx ，0 0 0
则实数 m 取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）
18．（本题满分 14 分）设函数 f (x) = 3 sin ωx cosωx + cos2 ωx ．其中1 ≤ ω < 3 .
（Ⅰ）若 f (x) 的最小正周期为π ，求 f (x) 的单调增区间；
（Ⅱ）若函数 f (x) 的图象的一条对称轴为 x = ，求函数 f (x) 的对称中心．
3
π
第3页（共 4 页）19．（本题满分 15 分）如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB // CD ，
AB = AD = 1 ， BC ⊥ BD ， PA = 3EA ．
（Ⅰ）求证： PC //平面 DBE ；
（Ⅱ）若 PD = PC = 2 且二面角 P − DC − B = 5π ，求 PB
6
与平面 PCD 所成角的正弦值.
20. （本题满分 15 分）对任意的正整数n ，数列{an } 和{bn } 满足： a1 = 1 ，且
an + an−1 + an−2 a2 + a1+ + = T nb b b b bn−1 n1 2 3
n+23 3n 9 ，试问：{ } 是否为等比数列，若是，求公比q 的值； = n ， T = − −（I）若 a bn n n4 2 4
n
= 1 + a = 3n ，求满足4T， a −3a ≥ 2020 的正整数n 的最小值. （II）若b n 3 n n+1 n n
x2 y2
21 ．（ 本 题 满 分 15 分 ） 如图 所 示 ， 已 知 椭圆 C ： + = 1(a > b > 0) ， 圆 O ：
a2 b2
x2 + y2 = r 2 (0 < r < b) ．椭圆C 的离心率为 6 且过点(0, 2) ． P 为椭圆上的一动点，过点 P
3
作圆O 的两条切线l1 , l2 ，且两切线的斜率之积k1k2 为定值．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程与r
的值；
y
l1（Ⅱ）若l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点，与圆O 切于点 A
，
l21 P
A
与 x 轴正半轴交于点 B ，且满足| PA |=| QB | ，求l1
的方程．
O B x
Q
22．（本题满分 15 分）已知 f (x) = ex−a+1, g ( x) = x2 + bx +1 ．
（Ⅰ）当b = 0 时，证明：对任意的实数 a ，方程 f ( x) = g( x) 恒有解；
（Ⅱ）当 a = b 时， f ( x) ≥ g ( x) 对任意的 x ≥ 0 恒成立，求实数a
的取值范围．
第4页（共 4 页）
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