4月大数据（文）数精数选模拟卷06（新课标Ⅰ卷）（解析版）

1 2020 年 4 月高考数学大数据精选模拟卷 06 文科数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．设集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ，故选 C. 2．若 z1=1+2i,z2=-1+i,且 z+z2=z1,则 z 的共轭复数 =( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知 z1=1+2i,z2=-1+i,故 z+(-1+i)=1+2i,即 z= ,则 ． 故选 A． 3．已知两个单位向量 满足 ，则 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 是单位向量， ∴ ， ， 2{ | 2 }, { | }M x y x x N x x a= = − = ≤ M N⊆ a 0 2a≤ ≤ 0 a≤ 2 a≤ 2a ≤ { } { } { }2| 2 0 | 0 2 , | ,M x x x x x N x x a M N= − ≥ = ≤ ≤ = ≤ ⊆ 2 a∴ ≤ z 2 i− 2 i+ 2 i− − 2 i− + 2 i+ 2 iz = − 1 2,e e  1 22 7e e− =  1 2,e e  2 3 π 3 4 π 3 π 4 π 1 2,e e  2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 22 4 4 1 4 4 7e e e e e e e e− = − ⋅ + = − ⋅ + =        1 2 1 2e e⋅ = − 2 ，∴ 。 故选：A。 4.已知点 是直线 上的动点，由点 向圆 引切线，切点分别为 ， 且 ，若满足以上条件的点 有且只有一个，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得 ， ∴四边形 PMON 是正方形，∴|PO|= ，∵满足以上条件的点 有且只有一个， ∴ ，∴ ．故选 B． 5．已知函数 ,若 在区间 内没有零点,则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 , , 所以 . 因为 在区间 内没有零点, 1 2 1 2 1 2 1, 2cos e ee e e e ⋅>= =< −      1 2 2, 3e e π=< >  p 0x y m− + = p 2 2: 1O x y+ = M N 90MPN∠ = ° p m = 2 2± 2 2± 090 , 1PMO PNO MON MO ON∠ = ∠ = ∠ = = = 2 P OP l⊥ 2 , 2 1 1 b b −= ∴ = ± + ( ) 3sin ( 0)6f x x πω ω = − >   ( )f x ( ,2 ]π π ω 1 1 20, ,12 3 3    ∪      1 1 70, ,12 6 12    ∪      10,12     70,12      2xπ π< ≤ 0>ω 26 6 6x π π πωπ ω ωπ− < − ≤ − ( )f x ( ,2 ]π π3 所以 . 解得 . 因为 ,所以 , 因为 .所以 或 . 当 时 ; 当 时, ， 故选：B. 6．执行如下图所示程序框图，若输出的 值为-52，则条件框内应填写（ ） A． B． C． D． 【答案】B 6 , 2 ( 1)6 k k k πωπ π πωπ π  − ≥ ∈  − < + Z 1 7 ,6 2 12 kk kω+ ≤ < + ∈Z 1 7 6 2 12 7 02 12 kk k  + < +  + > 7 5 6 6k− < < k ∈Z 1k = − 0k = 1k = − 10 12 ω< < 0k = 1 7 6 12 ω≤ < S 4?i < 6?i < 5?i < 5?i >4 【解析】第一次循环： ；第二次循环： ；第三次循环： ； 第四次循环： ；第五次循环： ；结束循环，所以可填写 ，故选 B. 7．函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 ，函数为偶函数，排除 AB 选项； 当 时， ，而 ，则 ， 排除选项 C. 本题选择 D 选项. 8．已知 是数列 的前 项之和， ， ，则函数 的值域是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ， ， 时， 10 2 8, 2S i= − = = 4, 3S i= = 4, 4S i= − = 20, 5S i= − = 52, 6S i= − = 6i < cos x xy e = ( ) cos x xf x e = ( ) ( )f x f x− = x → +∞ 1 1 0xx ee = → [ ]cos 1,1x∈ − ( ) cos 0x xf x e = → nS { }na n 1 2a = ( )* 12 4n nS S n N+ = + ∈ ( ) nf n S= ( ]0,2 [ )2,4 [ )2,+∞ [ ]2,3 1 1 22 4 2 1n nS S a a+ = + = ⇒ =， ( ) ( )1 12 4 2 2 2n n n nS S n a a n− += + ≥ ⇒ = ≥ 1n =5 上式成立 是首项为 2，公比为 的等比数列， ，故选 B． 9．函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函 数 的图象，只需将 的图象（ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】A 【解析】依题意有 的周期为 .而 ，故应左移 . 10．在高为 的正三棱柱 中， 的边长为 2， 为棱 的中点，若一只蚂蚁从点 沿表面爬向点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【解析】如图 1，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 , 此时，爬行的最短距离为 ； 如图 2，将 翻折到与平面 共面的位置 ， 易知 ， ，此时爬行的最短距离 ； 如图 3，将矩形 翻折到与平面 共面的位置 ， { }na⇒ 1 2 ( ) [ )14 1 2 42n nf n S  = = − ∈   ， ( ) sin( )( 0)4f x A x πω ω= + > x 3 π ( ) cosg x A xω= ( )f x 12 π 4 π 4 π 3 4 π ( )f x ( )2 2π π, 3, sin 33 4T f x A x π ωω  = = = = +   ( ) π π π π πsin 3 sin 3 sin 32 4 4 12 4g x A x A x A x       = + = + + = + +             π 12 3 1 1 1ABC A B C− ABC∆ D 1 1B C A D 2 3 3 2 1 1BCB C ABC 1 1BCC B′ ′ 2 3AD′ = 1 1 1A B C△ 1 1ABB A 1 1 1A B C ′ 1 1 3A D AA′ = = 1 120D A A′∠ = ° 3AD′ = 1 1BCB C 1 1ABB A 1 1BC C B′′6 此时，爬行的最短距离 . 综上，小蚂蚁爬行的最短距离为 3. 故选：A. 11．阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近 法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴，焦点在 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得： ，解得 a＝4，b＝3， 因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： ． 故选 A． 12．已知定义在非零实数集上的函数 满足： ，且 ， ， 2 3AD′ = C y C 7 4 12π C 2 2 19 16 x y+ = 2 2 13 4 x y+ = 2 2 118 32 x y+ = 2 2 14 36 x y+ = 2 2 2 12 7 4 ab c a a b c π π=  =  = + 2 2 116 9 y x+ = ( )f x ( ) ( ) 0xf x f x− > a c b> > c a b> > b a c> > ( )( ) f xg x x = 2 ( ) ( )( ) 0xf x f xg x x −=′ > a b c> > { }1,1,2,3− m { }2, 1,1,2− − n 2 2 1x y m n + = 2 2 1x y m n + = 0mn < { }1,1,2,3− { }2, 1,1,2− − 3 2 6× = { }1,1,2,3− { }2, 1,1,2− − 1 2 2× = 3 2 1 2 8× + × = ,x y 0 1 0 1 0 x y x y y − ≥  + − ≤  + ≥ 2z x y= +8 不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时，直线 y=-2x+z 的截距最大， 此时 z 最大， 由 ，解得 ， 即 A（2，-1）， 此时 zmax=2×2-1=3， 故答案为：3． 15．下列结论：正确的序号是__________． ① 中，若 则一定有 成立；②数列 的前 项和 ，则 数列 是等差数列；③锐角三角形的三边长分别为 ，则 的取值范围是 ；④ 等差数列数列 的前 项和为 ，已知 ，则 . 【答案】① ③ ④ 【解析】① 中， ; ② 得 ，故数列 不是等差数列； ③由余弦定理得 ； ④由 得 ，所以 16．函数 在 上的所有零点之和等于______. 【答案】8 1 0 1 0 x y y + −  + ＝ ＝ 2 1 x y ＝ ＝   − ABC∆ A B> sin sinA B> { }na n 2 2 1nS n n= − + { }na 3,4,a a 7 5a< < { }na n nS 7 8 9 10 24a a a a+ + + = 16 96S = ABC∆ sin sinA B a b A B> ⇒ > ⇒ > 2 2 1nS n n= − + 1 2 2 1 3 3 20, 1, 3a a S S a S S= = − = = − = { }na 2 2 2 2 2 23 4 0,3 4 0 7 5a a a+ − > + − > ⇒ < < 7 8 9 10 24a a a a+ + + = 8 9 12a a+ = ( ) ( )1 16 16 8 9 16 8 8 12 96.2 a aS a a += = + = × = 1 1( ) 2sin[ ( )]1 2f x xx π= + −− [ 3,5]x∈ −9 【解析】零点即 ，所以 即 ，画出函数图像如图所示 函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有 8 个交点 图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为 8 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12 分）已知数列 满足： ，数列 满足 . (Ⅰ)求数列 的通项 ； （Ⅱ）求证：数列 为等比数列；并求数列 的通项公式. 【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）证明过程见详解； 【解析】(Ⅰ) 解： ，∴ 是等差数列 又 ； ( ) 0f x = 1 12sin1 2xx π  = − −  −    1 cos1 xx π=− 1x = { }na ( )* 1 2 1 11, 2,2 2,n n na a a a a n n N− += = = + ≥ ∈ { }nb 1 1 1b =2, a b =2a bn n n n+ + { }na na nb n     { }nb na n= 2n nb n= ⋅ ( )* 1 12 2,n n na a a n n N− += + ≥ ∈ { }na ( )1 21, 2, 1 1 1na a a n n= = ∴ = + − ⋅ =10 （Ⅱ）证明： 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列． ． 18．若关于某设备的使用年限 （年）和所支出的维修费 （万元）有如下统计资料： 若由资料知， 对 呈线性相关关系． （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； （2）估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？（精确到两位小数）； （3）计算第 2 年和第 6 年的残差. 附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ； . 【答案】（1）回归直线方程为 （2）估计使用年限为 10 年时维修费用约是 12.38 万元 （3）第 2 年和第 6 年的残差分别为-0.34 和-0.46 【解析】（1）由已知得： ( ) 1 1, 2 1 , 21 n n n n n b ba n nb n b n n + += ∴ = + ∴ = ⋅+ nb n     1 21 b = 2q = 12 2 , 2n nn n b b nn −∴ = × = ⋅ x y y x y x y bx a= + +y xα β= ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i x x y y x x β = = − − = − ∑ ∑ y xα β= − 1.23 0 8ˆ .0y x= +11 由上表，得： , 所以，回归直线方程为 . （2）当 时， （万元）， 即估计使用年限为 10 年时维修费用约是 12.38 万元 （3）当 时， ，残差为 ， 当 时， ，残差为 ， 所以，第 2 年和第 6 年的残差分别为-0.34 和-0.46. 19．如图，ABCD 是边长为 2 的正方形，ADPM 是梯形，AM∥DP 且 ， ， 分别为 的中点. (I)证明： 平面 ; (II) 求三棱锥 的体积。 【答案】(I)见解析(II) 【解析】(I)∵ 分别为 的中点，∴BC∥FG, GE∥MP, 5 5 2 1 1 4, 5, 90, 112.3i i i i i x y x x y = = = = = =∑ ∑ 5 1 5 222 1 5 112.3 5 4 5ˆ 1.2390 5 45 i i i i i x y xy b x x = = − − × ×∴ = = =− ×− ∑ ∑ 5 1.23 4 0ˆ .0ˆ 8a y bx= − = − × =∴ 1.23 0 8ˆ .0y x= + 10x = 1.23 10 0.08 12.3ˆ 8y = × + = 2x = 1.23 2 0.0 .ˆ 8 2 54y = × + = 2.2 2.54 0.34− = − 6x = 1.23 6 0.0 .ˆ 8 7 46y = × + = 7.0 7.46 0.46− = − 2 2DP AM= = 2 2AP CP= = , ,E F G , ,BM CP BP AB ⊥ EFG P ABM− 2 3 , ,E F G , ,BM CP BP12 ∵ABCD 是正方形，∴AB⊥BC, ∴AB⊥FG，可得结论. ∵AD=CD=DP=2, ∴ , ∴PD⊥AD, PD⊥CD, ∵AD、CP 平面 ADPM，AD∩DP=D ∴CD⊥平面 ADPM， ∴AB⊥平面 ADPM， ∵MP 平面 ADPM，∴AB⊥MP， ∴AB⊥EG, ∵FG、EG 平面 EFG，FG∩EG=G ∴ 平面 ; (II)由（I）可知 平面 ABCD ， ∵ ,∴ 平面 ABCD， ∴ 又 ∴ 平面 AMB, ∴AD 即为点 P 到平面 ABM 的距离， ∵ ，∴ ， ∴ . 20．（12 分）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 也为抛物线 ： 的焦点． （1）若 ， 为椭圆 上两点，且线段 的中点为 ，求直线 的斜率； 2 2AP CP= = 2 2 2AP AD DP= + 2 2 2CP CD DP= + ⊂ ⊂ ⊂ AB ⊥ EFG DP ⊥ / /DP AM AM ⊥ ,AM AD⊥ AB AD⊥ AD ⊥ AM AB⊥ 1 1 2 1 12 2ABMS AB AM∆ = ⋅ = × × = 1 1 21 23 3 3P ABM ABMV S AD− ∆= ⋅ = × × = 1C 2 2 2 1( 0)8 x y bb + = > 1F 2F 2F 2C 2 8y x= M N 1C MN (1,1) MN13 （2）若过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 ， 和 ， ，设线段 ， 的长分别为 ， ，证明 是定值． 【答案】（1） （2） 【解析】因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，故 . 所以椭圆 . （1）设 ， ，则 两式相减得 ， 又 的中点为 ，所以 ， . 所以 . 显然，点 在椭圆内部，所以直线 的斜率为 . （2）椭圆右焦点 . 当直线 的斜率不存在或者为 时， . 当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 的方程为 ， 设 ， ，联立方程得 1C 2F A B C D AB CD m n 1 1 m n + 1 2 − 3 2 8 2 2 : 8C y x= ( )2,0 28 4b− = 2b = 2 2 1 : 18 4 x yC + = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 1 1 2 2 2 2 1,8 4 1,8 4 x y x y  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 08 4 x x x x y y y y+ − + −+ = MN ( )1,1 1 2 2x x+ = 1 2 2y y+ = 2 1 2 1 1 2 y y x x − = −− ( )1,1 MN 1 2 − ( )2 2,0F AB 0 1 1 1 1 3 2 84 2 2 2m n + = + = AB 0 AB ( )2y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 2 2 , 2 8, y k x x y  = −  + =14 消去 并化简得 ， 因为 ， 所以 ， . 所以 ， 同理可得 . 所以 为定值. 21．（12 分）已知函数 f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值 4 和最小值 1． （Ⅰ）求实数 a，b 的值； （Ⅱ）设函数 g（x）= ，若不等式 g（2x）﹣k•2x≤0 在 x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数 k 的取值范 围． 【答案】（1）a=1，b=0；（2） 【解析】（Ⅰ）f（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+1+b﹣a． ∵a＞0，∴f（x）在区间[2，3]上单调递增， ∴ ，解得 a=1，b=0； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2x+1，∴g（x）= = ， 不等式 g（2x）﹣k•2x≤0 可化为 ，即 k ． y ( )2 2 2 21 2 8 8 8 0k x k x k+ − + − = ( ) ( )( ) ( )22 2 2 28 4 1 2 8 8 32 1 0k k k k∆ = − − + − = + > 2 1 2 2 8 1 2 kx x k + = + ( )2 1 2 2 8 1 1 2 k x x k − = + ( ) ( )2 22 1 2 1 2 2 4 2 1 1 4 1 2 k m k x x x x k + = + + − = + ( )2 2 4 2 1 2 k n k + = + 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 1 1 84 2 k k m n k k  + ++ = + = + +  ( )f x x [1, )+∞ ( ) ( ) 2 4 4 1 1 3 9 6 1 4 g a a b g a a b  = − + + = = − + + =15 令 t= ，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[ ，2]，令 h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2，t∈[ ，2]， ∴当 t=2 时，函数取得最大值 h（2）=1．∴k≥1．∴实数 k 的取值范围为[1，+∞）． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目 计分． 22．（10 分）已知直线푙的参数方程为 （푡为参数），以坐标原点为极点，푥轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的极坐标方程为휌 = 4sin(휃 ― 휋 6)． （1）求圆C的直角坐标方程； （2）若훲(푥,푦)是直线푙与圆C及内部的公共点，求 3푥 + 푦的取值范围． 【答案】（1）푥2 + 푦2 = 2 3푦 ― 2푥；（2）[ ― 2,2]. 【解析】（1）因为圆C的极坐标方程为휌 = 4sin(휃 ― 휋 6)， 所以휌2 = 4휌sin(휃 ― 휋 6) = 4휌( 3 2 sin휃 ― 1 2cos휃)， 所以圆C的直角坐标方程为푥2 + 푦2 = 2 3푦 ― 2푥． （2）设푧 = 3푥 + 푦，圆C方程化为(푥 + 1)2 + (푦 ― 3)2 = 4， 所以圆C的圆心是( ― 1, 3)，半径是2，将 ，代入푧 = 3푥 + 푦，得푧 = ―푡． 又因为直线푙过C( ― 1, 3)，所以 ―2 ≤ 푡 ≤ 2，所以 ―2 ≤ ―푡 ≤ 2， 即 3푥 + 푦的取值范围是[ ― 2,2]． 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲16 设函数 （Ⅰ）若 最小值为 ，求 的值； （Ⅱ）求不等式 的解集. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ）由题知 则 ，解得 （Ⅱ）设 若 ，有 ，解得 ， 若 ，有 ，解得 ， 综上，不等式的解集为 ( ) 4f x x= + ( ) ( )2 2y f x a f x a= + + − 4 a ( ) 11 2f x x> − 2a = ± ( ) ( ), 10 2,−∞ − ∪ − +∞ ( ) ( )2 2 2 4 2 4f x a f x a x a x a+ + − = + + + − + ( )2 4 2 4x a x a≥ + + − − + 2a≥ 2 4a = 2a = ± ( ) ( ) 1 5, 41 1 21 4 1 { 32 2 3, 42 x x g x f x x x x x x − − < − = − + = + + − = + ≥ 4x < − 1 5 02 x− − > 10x < − 4x ≥ − 3 3 02 x + > 2x > − ( ) ( ), 10 2,−∞ − ∪ − +∞