衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题
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衡阳市 2020 届高三第一次联考 数学（文科）参考答案
一.选择题
1.【答案】C 【解析】依题意， 1,1A ， ,0B ，所以 1,0BA ，故选C .
2.【答案】 B 【解析】 iz 1 ，所以复数 z 的实部是 1,虚部是 1 ，其和为 0，故选 B .
3.【答案】 A 【解析】 32
1
2 2122
33log ，因此 bca ，故选 A .
4.【答案】C 【解析】只有正确，故选 C.
5.【答案】 D 【解析】 a
= 2 ， b
=2，（ a b ） a ，因此 222 22 ）（ba
，
故选 D .
6.【答案】 B 【解析】 程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得 2a ，故选 B .
7.【答案】 A 【解析】根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为 2、
2 ，由此可计算出该几何体的表面积为 624 ，故选 A .
8.【答案】C 【解析】作直线 0 yx ，当直线上移与圆
22 ( 1) 1yx 的右上方相切时， yxz 取
最大值，此时，利用圆心 (0,1) 到直线 0 zyx 的距离等于 1，解得 z 的最大值为 21 ．故选C ．
9.【答案】D【解析】若命题 p 为真，则 22 a ；若命题 q 为真，则
ea x
x 1)( max
ln ；所以若 qp
为真，则 2，a ,故选 D .
10.【答案】 D 【解析】不妨设过点 0,1 cF 与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 cyb
ax ，与另
一条渐近线 xa
by 的交点为
a
bccM 2,2
，由 021
MFMF 得 02,2
3
2,2
a
bcc
a
bcc ，即有
32
2
a
b ，又因为 21 2
2
a
be ，故选 D .
11.【答案】 B 【解析】因为
xxxxxxxf 2020sin2
32020cos2
12020cos2
12020sin2
3
32020cos62020sin
62020sin22020cos2020sin3 πxxx max 2A f x ，周期 10102020
2 ππT
，又存在
实数 1 2,x x ，对任意实数 x 总有 1 2f x f x f x 成立， 2 1max min2, 2f x f x f x f x ，衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题
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2
2sin x
1 2A x x 的最小值为
10102
πTA ，故选 B.
12. 【答案】 A 【解析】取 1AB 的中点 K ， AD 的中点O ，连接
KM ， KN ， 1OB ，ON ，显然 ANBCM 1// 平面 ,故①正确；
2
5
2
11
2
22
1
2
1
KBNBNKCM ，故②正确；
1KNB 即为异面直线 CM 与 1NB 所成角，
2
1tan
1
1
1
NB
KBKNB ，故③错误；当三棱锥 ANDB 1 的体
积最大时，易证O 为三棱锥 ANDB 1 外接球球心，且 1 OAR ,故④正确，综上，①②④正确，选 A .
二.填空题
13.【答案】
2
1 . 【解析】在区间 0,π 上, 则
,4
3
4,0 x ，因此其概率为
2
1 .
14.【答案】6. 【解析】抛物线
2 4y x 的焦点 (1,0)F ，设 2211 ,,, yxByxA ，直线 AB 过焦点 (1,0)F ，
221 xxAB ，又
1
2OM OA OB
，则 tM ,2 为 AB 中点，所以 624 AB .
15.【答案】2，
3
. 【解析】2 2sin sin cos sinA B C C ， 2cos2 2
22
22222
c
baccbacCab ；
又 ,2
1
42cos
22222
ab
ba
ab
cbaC 3,0 CC ，当且仅当 ba 时取等号.
16.【答案】 2. 【解析】由已知条件和数量积的定义可知 ，或
4
3
4
AOB 又 22AB ，所以 ABO
的外接圆的半径 2
2
22
4sin2
ABR ，设其圆心为 C，则 C 点到直线 1 xy 的距离为 2 ，所以 C
点应在与直线 1 xy 平行且距离为 2 的两条平行直线 1 xy 、 3 xy 上，且 C 点到原点 O 的距离
为 2;而原点 O 到 3 xy 的距离为 22
23 ,所以 3 xy 上不存在这样的点 C;而原点 O 到 1 xy 的
距离为 22
2 ,所以 1 xy 上存在两个符合条件的点 C;每个 C 点都确定唯一一个点 A,所以这样的点 A
共有 2 个.
三.解答题衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题
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17. 【解析】（1）
3tancos3sin AAA ……………………………………4 分
…………………………………6 分
(2)由△ABC 的面积为 得 4bc ，又 2,42 abca …………………………8 分
由余弦定理知： 822 cb ……………………9 分
…………………………………10 分
所以 2 cb ………………12 分
18. 【解析】（1）由已知条件可知： ,401004.0 B ，60100 BA ,402060 x
.103040 y ………………………6 分 （每个 1.5 分）
（2）
667.163
50
6
100
40605050
)40301020(100 2
2
K
……………………9 分
显然 16.667>10.828 …………………………………11 分
所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效 ……………………12 分
19. 【解析】（1）证明：取 AC 的中点O ，连接 DO 和OF ，
∵在 DAC 中 DA DC ，∴ DO AC . ……………………1 分
由于平面 DAC 平面 ABC ，且交线为 AC ，∴ DO 平面 ABC .…………………2 分
又∵O ， F 分别为 AC ， BC 的中点，∴ OFAB // 且 2AB OF .……………………3 分
又 DE AB∥ ， 2AB DE ，∴ DEOF // 且OF DE . ……………………4 分
∴四边形 DEFO 为平行四边形.∴ DOEF // ， ……………………5 分
∴ EF 平面 ABC . ……………………………………6 分
(2)方法一： ABCEF 平面 ,所以直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 ,60EBF
由于
,22
1 BCBF ,32 DOEF ……………………………………8 分
又 DOEF // ∴E、F 点到平面 DAC 的距离相等，∵平面 DAC 平面 ABC ， ,ACCF
DACCF 平面 ∴E 点到平面 DAC 的距离等于 2……………………………………10 分
343243
12323
1 ABCEDACEABEDC VVV
……………………12 分
分2)......3sin(sin)3sin(sin)3sin()sin( AAAbBaAbCAa
3,0 AA
3cos2222 bccba
cbbccbcb 02) 222（衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题
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方法二： ABCEF 平面 ,所以直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 ,60EBF
由于
,22
1 BCBF ,32 DOEF ……………………………………8 分
∵ 2AB DE ，
ABECADECABEADE VVSS
2
1,2
1 …………………………9 分
ABECABEDC VV
2
3 ……………………………………………10 分
3
3832)422
1(3
1 ABECV
………………………………………11 分
.343
38
2
3
2
3 ABECABEDC VV
…………………………………12 分
方法三：（也可以用等体积法求 C 点等平面 ABED 的距离，再求体积）
20. 【解析】（1）连接 2AF ，由题意得 2 1| |AB F B F B ，所以 BO 为 1 2F AF 的中位线，
又因为 1 2BO F F ，所以 2 1 2AF F F ，且
2
22
2
2
a
bOBAF ，……………………2 分
又
2
2
a
ce ， 2 2 2a b c ，得 22 a ， 12 b ， ……………………4 分
故所求椭圆方程为 12
2
2
yx .………………………………………………………………5 分
（2）设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 由 2
2
1
12
x my
x y
得 2 2( 2) 2 1 0m y my
1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
…………………………………………………7 分
直线 NK 的方程：
2
2
3( )3 2
2
yy x
x
，…………………………………………………8 分
令 1y y ，则有 1 2 21 2 1 2 2 2
2 2 2
13 1 3 ( ) 2( ) ( )3 2 22 2 2
2
m y y yy x y my y mx y y y
22 2
2
22 2 2
m m ym m
y
…………………………………………11 分衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题
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NK 与 2l 交点的横坐标为定值 2 .……………………………………………………12 分
21.【解析】（1） xfa 时，当 0 不存在不动点。…………………………………1 分
证明：由 xxf 可得： 0ln xaaxx
ex
，…………………………………2 分
令 xaaxx
exF
x
ln)( ， ),0( x ，
则 22
' ))(1()( x
axex
x
aax
exexF
xxx ，……………………………3 分
0,0(,0 axexa x），
当 )1,0(x 时， 0)(' ＜xF ， )(xF 在 )1,0( 上单调递减，
当 ),1( x 时， 0)(' ＞xF ， )(xF 在 ),1( 上单调递增，……………………4 分
所以 0)1()( min aeFxF .所以方程 0ln xaaxx
ex
无实数根…………5 分
故 xf 不存在不动点.…………………………………………………………………6 分
（2）当 ea 时， xeexx
exF
x
ln)( ， ),0( x ，
则 22
' ))(1()( x
exex
x
eex
exexF
xxx ，……………………………………7 分
再令 eexgexexg xx )(,)(
当 )1,0(x 时， 0)(' ＜xg ， )(xg 在 )1,0( 上单调递减，
当 ),1( x 时， 0)(' ＞xg ， )(xg 在 ),1( 上单调递增，
0)1()( gxg ……………………………………9 分
故当 )1,0(x 时， 0)(' ＜xF ， )(xF 在 )1,0( 上单调递减，
当 ),1( x 时， 0)(' ＞xF ， )(xF 在 ),1( 上单调递增，
所以 01ln)1()( min eeeFxF . ……………………………………11 分衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题
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所以 0ln xeexx
ex
有唯一实数根 10 x ，
故 xf 有唯一不动点.…………………………………………………………………12 分
22.【解析】（1）由
ty
tx
3
3
31
,( t 为参数),消参数t 化简得普通方程: 03 yx ,……2 分
令 cosx , siny ,即 0sincos3 θρθρ 化简得 3tan θ ,即
3
πθ
即得曲线 2C 的极坐标方程为
Rρπθ
3 .……………………………………………5 分
（2）由已知，不妨设
3
4,,3, πρBπρA BA ，
于是
2
313sin1 aπaρA ， …………7 分
2
313
4sin1 aπaρB ， ……………………………………8 分
故 aAB 2 . …………………………………………………………10 分
23.【解析】（1）由题意知， mxx 6 恒成立，………………………………2 分
又 666 xxxx ，……………………………………4 分
所以实数 m 的取值范围是 6m .……………………………………5 分
（2）由（1）可知， 6222 cba ，所以 9111 222 cba ……………6 分
从而 1
1
1
1
1
1
222 cba
1111
1
1
1
1
1
9
1 222
222
cbacba
1639
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
139
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
b
b
c
c
a
a
c
b
a
a
b ，…………9 分
当且仅当 3111 222 cba ，即 2222 cba 时等号成立，证毕.……………10 分
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