岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二）
数学（理科）
分值：150 分时量：120 分钟
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1.已知复数 z=(1+ i)(3-i)(i 为虚数单位)，则 Z 的虚部为
A.2 B.2i C.4 D.4i
2.已知集合 A={x|x+1≤0}， B={x|x≥a}，若 A∪B=R ，则实数 a 的值可以为
A.2 B.1 C.0 D. -2
3.若 a 则实数
A. a>b> c B.c>a>b C. b> a>c D. c>b>a
4.已知数列 为等差数列， 为其前 n 项和， 则
A.42 B.21 C.7 D.3
5.已知向量 若 ，则实数 m 的值为
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上
袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？"其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，
上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正
方形边长为 1，则该楔体的体积为
A.10000 立方尺 B.11000 立方尺 C.12000 立方尺 D.13000 立方尺
7. 在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 相交的概率为
8. 的展开式中 的项的系数为
4
2 4log 3, log 7, 0.7 ,a b c= = =
{ }na nS 6 3 5 3,a a a+ − = 7S =
1| | 1, ( , ),2a b m= = ( ) ( ),a b a b+ ⊥ −
1. 2A 3. 2B 1. 2C ± 3. 2D ±
2 2 1x y+ =
1. 2A 1. 3B 2. 4C 2. 3D
5(2 1)(2 2 )x x− − 8xA.120 B.80 C.60 D.40
9. 已知 为函数 f(x)(x∈R)的导函数,满足 f(1)=1,且 则不等式 的解集为
D.(10, +∞)
10.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体
党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门 APP.该款软件主要
设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题"四个答题模块.
某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有
A.60 种 B.192 种 C.240 种 D.432 种
11.已知函数 ，若函数 F(x)= f(x)-3 的所有零点依次记为
且 ，则
B.21π D.42π
12. 已知 F 为抛物线 的焦点，点 A 在抛物线上，且 |AF|=5，过点 F 的动直线 l 与抛物线交于 B，C
两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与 x 轴的交点为 M.
给出下列四个命题:
①在抛物线上满足条件的点 A 仅有一个;
②若 P 是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为
③无论过点 F 的直线 l 在什么位置，总有∠OMB=∠OMC ;
④若点 C 在抛物线准线上的射影为 D，则三点 B、O、D 在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
第 II 卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置.上，答错位置，
书写不清，模棱两可均不得分。
13. 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 且 sin AcosC= 3cos AsinC，则
b=____
14.已知双曲线 的左右焦点为 F1, F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点， 与
y 轴相交于 D.若 ,则双曲线 C 的离心率为____
'( )f x '( ) 1,f x < 2 2(lg ) lgf x x<
1.(0, )10A 1.(0, ) (10, )10B ∪ +∞ 1.( ,10)10C
13( ) 4sin(2 ), [0, ]6 3f x x x
π π= − ∈
1 2 3, , , , ,nx x x x 1 2 3 nx x x x< < < 1F B
1 ,AD F B⊥15. 设 f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且 f(x)>0,对任意 a>0, b>0,若经过点(a, f(a)), (b,-f(b))的一次函数与 x 轴
的交点为(c,0),且 a、b、c 互不相等,则称 c 为 a, b 关于函数 f(x)的平均数,记为 当 f(x)=______(x> 0)时，
为 a, b 的几何平均数 (只需写出一个符合要求的函数即可)
16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”，是端午节大家都会
品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边
长为 1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____;
若该六面体内有一球，则该球体积的最大值______为(本题第一空 2 分，第二空 3 分).
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 一 21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题
17.(本小题满分 12 分)
等差数列 的公差为 2, 分别等于等比数列 的第 2 项、第 3 项、第 4 项.
( 1)求数列 和 的通项公式;
(2)若数列 满足 ,求数列 的前 2020 项的和.
18.(本小题满分 12 分)
如图，直三棱柱 中，D, 分别是 的中点，
(1 )证明: ∥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
( , ).fM a b
( , )fM a b .ab
{ }na 2 4 8,,a a a { }nb
{ }na { }nb
{ }nc 1 2
1
1 2
n
n
n
cc c ba a a ++ + + = { }nc
1 1 1ABC A B C− E 1,AB BB 1
2 2.2AA AC CB AB= = = =
1BC 1ACD
1D AC E− −19.(本小题满分 12 分)
设直线 l 与抛物线 交于 A，B 两点,与椭圆 交于 C，D 两点,设直线 OA, OB，OC，OD( O
为坐标原点)的斜率分别为 ,若 OA⊥OB.
( 1)证明:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标;
(2)是否存在常数 λ，满足 ?并说明理由.
20.(本小题满分 12 分)
新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们]的热]选择，为提高市场销售业绩，某公司设计了
一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销"和“没有采用促销”的营销网点
各选取了 50 个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们 J 的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分
成 5 组: [-5,0)，[0,5), [5,10), [10,15)，[15,20], 分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长
10 个百分点及以上的营销网点为“精英店”.
（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；
2 2x y=
2 2
14 2
x y+ =
1 2 3 4, , ,k k k k
1 2 3 4( )k k k kλ+ = +(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价 (单位:元)和日销 (单位:件) ( i=1,2,...,10 )的
一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表, 表中的
①根据上表数据计算 a，b 的值;
②已知该公司产品的成本为 10 元/件，促销费用平均 5 元/件,根据所求出的回归模型，分析售价 x 定为多少
时日利润 z 可以达到最大.
附①
附②:对应一组数据 ，其回归直线 v=α + βu 的斜率和截距的最小二乘法
估计分别为
21. (本小题满分 12 分)
若函数 R)为奇函数，且 时 f(x)有极小值
(1)求实数 a 的值与实数 m 的取值范围;
(2)若 恒成立，求实数 m 的取值范围.
ix iy
2y a bx= + 2 ( 1,2, ,10i iw x i= =
2
2 ( ): ( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , ), ( , )n nu v u v u v u v
10
1
10
2
1
( )( )
ˆ ˆˆ, .
( )
i i
i
i
i
v y u u
a v u
u u
β β=
=
− −
= = −
−
∑
∑
( ) ( 1)x xf x e ae mx m−= − − ∈− 0x x= 0( ).f x
0
2( )f x e
≥ −(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学
中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 ρ=1-sinθ ( 0≤θ0)，M 为
该曲线上的任意一点.
(1)当 时，求 M 点的极坐标;
(2)将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
若函数
(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2 ;
(2)若存在 x∈R,且 x≠-1，使得 成立,求 m 的取值范围.
3| | 2OM =
2
π
21( ) ( 1) .4f x x= +
21 ( ) | 1|4 ( ) f x m mf x
+ ≤ − −
微信/支付宝扫码支付