市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 1 页（共 1 页）
泉州市 2020 届普通高中毕业班第一次质量检查
数学（文科）参考答案与评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难
度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部
分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．A 2．C 3．B 4．D 5．C
6．D 7．B 8．D 9．D 10．C
二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。不选或选出的选项中含有错误选项得 0 分，只选出部分正确选项得 3 分，选出全部正确选项
得 5 分。
11 题选项 12 题选项 得分
全部正确 ABD AB 5 分
部分正确 A，B，C，AB，AD，BD A，B 3 分
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置。
13．2 14． 15． ， 16．2.
（选填参考解答）
1.【试题简析】 ，所以 .故选 A .
2.【试题简析】 ，所以 ， ，故选 C.
3.【试题简析】设 的首项为 ，公差为 ，则 解得 所以 ．选 B .市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 2 页（共 2 页）
4.【试题简析】：由三角函数定义可得 ，故 ．选 D.
5. 【试题解析】阅读程序框图，输入 ， ，
第一次循环 ， ， ， ，
第二次循环 ， ， ， ，
第三次循环 ， ， ， ，
第四次循环 ， ， ， ，
第五次循环 ， ， ， ，
满足判断框中的条件，输出 ，故选 .
6.【试题解析】 ， ，所以 ，又 ，所
以 ，从而 ，所以椭圆方程为 ，故选 D．
7.【试题解析】 ， ,又 ，故
，故选 B.
8.【试题简析】在 中，根据余弦定理， ，
即 ，解得 .
根 据 正 弦 定 理 ， ， 即 ， 解 得
，因为 ，所以 .
在 中，根据余弦定理， ，即
，解得 .故选 D.
9．解法一：依题意，得： ，令 ，则 ，
所以当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，
在 单 调 递 减 ， 所 以 . 令 ， 则
， 所 以 在 单 调 递 增 ， 所 以 ， 故 当 且 仅 当市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 3 页（共 3 页）
即 时， ，故选 D．
解法二： 可化为 ，作出 ， 的图象，如图
当直线 过点 时， ；
设直线 与曲线 相切于 ，则 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
由图可知，当且仅当 时， ，故选 A.
10．【解析】根据函数的概念及其图象特征，可知双曲线 绕其中心旋转 得到函
数的图象，一条渐近线恰与 轴重合，故 的一条渐近线方程为 ．设 的实轴长、
虚轴长、焦距分别为 ．若 的焦点在 轴上，则 ，所以 的离心率
；若 的焦点在 轴上，则 ，所以 的离心率
，故选 C．
11．【解析】由图可知，众数为 33，中位数为 32，故 A，B 正确；因为受极端值 128 影响，平均数应大于
中位数，故 C 错误；前 4 天图象比后 4 天图象波动大，故 D 正确，故选 ABD．
12．【解析】因为 , ，所以 平面 ，又 平面 ，所以
，选项 A 正确；
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，选项 B
正确；
三棱锥 的体积为 ，选项 C 错误；市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 4 页（共 4 页）
因为 ，所以 是异面直线 与 所成的角，又 是等边三角形，
所以 ，选项 D 错误．故选 AB．
13.【试题解析】因为 ， 2.
14．【试题解析】 .
15．【解析】 ．当 即 或 时，
取最大值 ．
令 ，得 或 .
如图，作出 ， 与 的图象，
设方程 有四个不等实根设为 ， ， ， ，则由图可知， ，
，所以 ．
16．【解析】如图，在正四棱柱 中， 平面
，所以 ，
又 ，所以 平面 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为直径的半圆（不包含 点），
因为 平面 ，所以 为 与平面 所成角，
又 ，由已知， ，即 ，
又 ，所以 的最大值为 ．市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 5 页（共 5 页）
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．【命题意图】本题主要考查数列 与 的关系、等比数列的通项公式、前 项和公式等基础知识，考
查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查发展数学抽象、数学运
算及数学建模等核心素养．
解：（1）当 时， ， 1 分
当 时， 2 分
3 分
， 4 分
因为 适合上式， 5 分
所以 ． 6 分
（2）由（1）得 ， ， 7 分
设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ． 8 分
当 时， ， 10 分
当 时， ． 12 分
18．【命题意图】本题考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点．考查
了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、
数学运算等核心素养．
解：（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小 2 分
属于“山水田园”类别的概率约为 ；属于“其他”类别的概率约为 ； 4 分
（2）列联表如下：市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 6 页（共 6 页）
属于“爱情婚姻”类 不属于“爱情婚姻”类 共计
含“花”的篇数 60 100 160
不含“花”的篇数 40 300 340
共计 100 400 500
8 分
计算得： ； 10 分
因为 ， , ，所以有超过 的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有
关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为 ，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”． 12 分
19．【命题意图】本题考查空间面面垂直的的判定、线面角、二面角及点到面的距离等基础知识；考查空
间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、
逻辑推理和数学运算核心素养．
解法一：（1）依题意知，因为 ，所以 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． 2 分
又 平面 ，
所以 ． 3 分
由已知， 是等边三角形，且 为 的中点，所以 ．
因为 ，所以 ． 4 分
又 ，所以 平面 ． 5 分
又 平面 ，所以平面 平面 ． 6 分
（2）在 中， ， ，所以 ． 7 分市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 7 页（共 7 页）
由（1）知， 平面 ，且 ，
所以三棱锥 的体积 ． 9 分
在 中， ， ，得 ．
由（1）知， 平面 ，所以 ．
所以 ． 11 分
设点 到平面 的距离 ．
则三棱锥 的体积 ，得 ． 12 分
解法二：（1）同解法一； 6 分
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离． 8 分
过点 作 的垂线，垂足 ，即 ．
由（1）知，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 为点 到平面 的距离． 10 分
由（1）知， ，
在 中， ， ，得 ．
又 ，所以 ．
所以点 到平面 的距离为 ． 12
20．【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能
力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，考查
逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．
解：（1）设 的准线为 ，过 作 于 ，则由抛物线定义，得 ，
因为 到 的距离比到 轴的距离大 1，所以 ，解得 ，
所以 的方程为 3 分市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 8 页（共 8 页）
（2）由题意，设直线 方程为 ， 4 分
由 消去 ，得 ， 5 分
设 ，则 ， 6 分
所以 ，
又因为 为 的中点，点 的坐标为 ， 7 分
直线 的方程为 ， 8 分
令 ，得 ，点 的坐标为 ， 9 分
所以 ， 11 分
解得 ，所以直线 的斜率为 . 12 分
21．【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考
查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数
与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻
辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养，考查应用意识与创新意识．
解：（1）当 时， ． 1 分
记 ，则 ，
当 时， ． 2 分
所以 ，所以 在 单调递增，所以 ． 3 分
因为 ，所以 ，所以 在 为增函数． 4 分
（2）由题意，得 ，记 ，则 ，
令 ，
当 时， ，所以 ， 6 分市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 9 页（共 9 页）
所以 在 为增函数，即 在 单调递增，
所以 ． 7 分
①当 ， 恒成立，所以 为增函数，即 在 单调递增，
又 ，所以 ,所以 在 为增函数,所以
所以 满足题意． 9 分
②当 ， 令 ，
因为 ，所以 ，故 在 单调递增，
故 ，即 . 10 分
故 ，
又 在 单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数 ， ，
当 时， ， 单调递减，即 单调递减，
所以 ，此时 在 为减函数，
所以 ,不合题意，应舍去．
综上所述， 的取值范围是 ． 12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］
【命题意图】本小题主要考查圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程及参数的几何意义、
直线与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、
化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基
础性与综合性．
解：（1）因为 ，所以 的普通方程为 ， 1 分
又 ，
的极坐标方程为 ， 3 分市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 10 页（共 10 页）
C 的方程即为 ，对应极坐标方程为 ． 5 分
（2）由己知设 ，则 ， 6 分
所以， 7 分
8 分
又 ， ，
当 ，即 时， 取得最小值 ； 9 分
当 ，即 时， 取得最大值 ． 10 分
所以， 的取值范围为 ． 10 分
23．［选修 4—5：不等式选讲］
【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查
抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，化归与转化的思想，考查逻辑运算、
数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性与综合性．
解法一：（1） 3 分
当 时， ，当 ， ，
当 时， ， 4 分
所以 5 分
（2）由题意可知， ， 6 分
所以要证明不等式 ，市质检数学（文科）参考答案与评分标准 第 11 页（共 11 页）
只需证明 ， 8 分
因为 成立， 9 分
所以原不等式成立. 10 分
解法二：（1）同解法一； 5 分
（2）因为 , 6 分
， 8 分
又因为 ,
所以 ， 9 分
所以 ，原不等式得证. 10 分
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