数学（理科）试题 第 1 页 共 9 页
姓 名
准考证号
湖南省 2020 届高三六校联考试题
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量 120 分钟，满分 150 分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ι卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 z 满足 （ 为虚数单位），则在复平面内复数 z 对应的点在（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
3.已知条件 p： ,条件 q：直线 与圆 相切，则 p 是 q 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
{ }12xA y y −= = }4{ 0| 2
xB x x
−= ≤+ A B =
( )0,4 ∅ ( )2,− +∞ [ )2,− +∞
2 11
z i ii
= ++
i
1k = 1y kx= + 2 2 1
2x y+ =数学（理科）试题 第 2 页 共 9 页
4.若 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和
数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是
以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，
自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。”这首歌决的大
意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且
儿子们的年龄之和为 207 岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算。”在这个
问题中，记这位公公的第 n 个儿子的年龄为 ，则 （ ）
A.17 B.29 C.23 D.35
6.函数 的部分图象大致是（ ）
7.已知非等向量 与 满足 ，且 ，则△ABC 为
（ ）
A.等腰非等边三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.三边均不相等的三角形
8.在正方体内随机放入 n 个点，恰有 m 个点落入正方体的内切球内，则 的近似值为（ ）
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图，若输出的数 S=3，那么判断框内可以填写的是（ ）
3
1 log3
a
a =
31
3
b
b =
1
3 3 cc −=
c a b< < c b a< < a c b< < b c a< <
na 3a =
( ) ( )
2 1
x xx e e
f x x
−−
= −
AB AC 0AB AC BC
AB AC
+ =
3BC AB=
π
2m
n 2
m
n
6m
n 6
m
n数学（理科）试题 第 3 页 共 9 页
A. B. C. D.
10.已知函数 ，给出下列四个说法：
① ，②函数 的一个周期为 ;
③ 在区间 上单调递减；④ 的图象关于点（ ，0）中心对称.
其中正确说法的序号是（ ）
A.①② B.③④ C.②④ D.②③
11.定义在 上的奇函数 ，其导函数为 ，当 时，恒有 ，
若 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的
直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为 2cm 时，则切面的面积为（ ）
6?k ≥ 6?k ≤ 7?k ≥ 7?k ≤
( ) sinf x cosx x=
2015 3
6 4f
π = −
( )f x 2π
( )f x 3,4 4
π π
( )f x π
R ( )f x ( )'f x 0x ≤ ( ) ( )' 03
x f x f x− − ≥
( ) ( )3g x x f x= ( ) ( )2 1 3g x g x> −
1 ,15
1, 5
−∞
1 ,5
+∞
( )1, 1,5
−∞ +∞ 数学（理科）试题 第 4 页 共 9 页
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.在 的展开式中 的系数为 .
14.记 为数列 的前 n 项和，若 ， ，则
.
15.若实数 ，y 满足不等式 ，则 的最大值为 .
16.若点 P 是曲线 ： 上的动点，点 Q 是曲线 : 上的动点，点
为坐标原点，则 的最小值是 .
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共 60 分。
17.（本小题满分 12 分）
24 15
3 cm 216
3 cm 210 2
3 cm 28 3
3 cm
( )71 2 1x xx
+ − x
nS { }na 1 1a = 1 2 1n na S+ = + ( )n N ∗∈ 3 4 5 6a a a a+ + + =
x
1
5
2 2 0
x
x y
y
≥
+ ≤
− ≤ 1
y
x +
1C 2 16y x= 2C ( )2 24 9x y− + = O
PQ
OP数学（理科）试题 第 5 页 共 9 页
在三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且
.
（1）求角 A 的大小；
（2）若 时，求 的取值范围.
18.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ；中，AC⊥BC， ，BC=2，D 为棱 上的
动点.
（1）若 D 为 的中点，求证： ∥平面 ；
（2）若平面 平面 ABC，且 .是否存
在点 D，使二面角 的平面角的余弦值为 ？
若存在，求出 的值，若不存在，说明理由。
( )22 cos 2 cos2
Ca a b c A− = −
3a = 2b c−
1 1 1ABC A B C− 1 4AC CC= = 1 1AC
1 1AC 1BC 1ADB
1 1A ACC 1 1 60AAC∠ = °
1 1B AD C−- 3
4
1
1
A D
C D数学（理科）试题 第 6 页 共 9 页
19.（本小题满分 12 分）
已知圆 C： ，点 D（2，0），点 P 是圆 C 上任意一点，线段 PD 的垂直平
分线交线段 CP 于点 Q.
（1）求点 Q 的轨迹方程.
（2）设点 A（0，2)，M，N 是 Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以 MN 为直径的圆过点
A.求证直线 MN 过定点，并求出该定点的坐标.
20.（本小题满分 12 分）
2 22 32x y+ + =（ ）数学（理科）试题 第 7 页 共 9 页
自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据
以便公众了解情况，做好防护。以下是湖南省 2020 年 1 月 28 日一 31 日这 9 天的新增确诊
人数.
日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31
时间 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
新增确诊人数 y 15 19 26 31 43 78 56 55 57
经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达
14 天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过 15 秒，
就有可能传染病毒.
（1）将 1 月 23 日作为第 1 天，连续 9 天的时间作为变量 x，每天新增确诊人数作为变量 y，
通过回归分析，得到模型 用于对疫情进行分析.
对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：
根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到 0.1），并依据该模型预测第 10 天新增确
诊人数.
（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为 0.3，在一次 12 人的家庭聚餐中，
只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为 ，求 最有可能（即
概率最大）的值是多少.
附：对于一组数据 ， …， ，其回归直线 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为
X X k=
( )1 1,u v ( )2 2,u v ( ),n nu v v uα β= +数学（理科）试题 第 8 页 共 9 页
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 .
（1）证明：当 a=1 时， 有最小值，无最大值；
（2）若在区间 上方程 恰有一个实数根，求 的取值范围，
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分。
22.（本小题满分 10 分）选修 4 一 4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，以原
点 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
( ) cosxf x ae x= − , 2a R x
π ∈ > −
( )f x
,2
π π −
( ) 0f x = α
1C 2
2 1
12 2 2
x t
y t t
= + = + +
( )tt R∈为参数，
O 2C 2sinρ θ=数学（理科）试题 第 9 页 共 9 页
.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）射线 的极方程为 ，若射线 与曲线 ， 分别交于异于
原点的 A，B 两点，且 ，求 a 的值.
23.（本小题满分 10 分）选修 4 一 5：不等式选讲
若不等式 的解集非空。
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）设 m 的最大值为 M，若 ，且 a+b=M，求 的最小值。
( )0 2θ π≤ ≤
1C
l ( )0 , 0θ α α π ρ= ≤ ≤ ≥ l 1C 2C
4OA OB=
1 3x m x+ + + ≤
ba R+∈、
2 2a
1 1
b
b a
++ +
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