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文科数学参考答案 第 1 页（共 5 页） 20·LK2·QG 秘密★网络公布前 [网络公布时间：2020 年 2 月 6 日 15:00] 全国大联考 2020 届高三 2 月联考 文科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A D D A D D B C B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．2 14．2 5 15．-5 16． 3 4 三、解答题：共 70 分． 17．解：（1）∵ a1+2，2a2，a3+1 成等差数列， ∴ 4a2=a1+2+a3+1= a1+a3+3， 即 4a1q=a1+a1q2+3，① 由 S3=4a2-1 可得 a1+a1q+a1q2=4a1q-1，即 a1-3a1q+a1q2+1=0，② 联立①②及 q>1 解得 a1=1，q=2， ∴ 12n na −= ． （2）Tn= 0 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2n n −+ + +  + ， 1 2 Tn= 1 2 3 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2nn nn − −+ + +  + + ， 两式作差得 Tn= 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2nn n −+ + +  + − = 11 22 21 221 2 n nn nn− +− = − − ， 于是 1 24 2n n nT − +=− ． 又∵ Sn= 12 2112 n n− =−− ， ∴ 4-Tn=(n+2)Sn 可化为 1 1 212 n n− =−，即 12 (2 1) 1nn−  − = ， 可变形为 2(2 ) 2 2 0nn− − = ，整理得(2 2)(2 1) 0nn− + = ， 解得 n=1． 18．解：（1）∵ 0.010×10+0.015×10+0.030×10+a×10+0.010×10=1， 文科数学参考答案 第 2 页（共 5 页） 20·LK2·QG ∴ a=0.035． （2）由题意可知从第 1 组选取的人数为 0.1520.1 0.15=+ 人，设为 A1，A2， 从第 2 组选取的人数为 0.15530.1 0.15=+ 人，设为 B1，B2，B3． 从这 5 人中随机抽取 2 人的所有情况有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)， (A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 10 种． 这两人恰好属于不同组别有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2， B3)，共 6 种． ∴ 所求的概率为 P= 63 10 5= ． （3）选出的 200 人中，各组的人数分别为： 第 1 组：200×0.010×10=20 人，第 2 组：200×0.015×10=30 人， 第 3 组：200×0.035×10=70 人，第 4 组：200×0.030×10=60 人， 第 5 组：2000.010×10=20 人， ∴ 青少年组有 20+30+70=120 人，中老年组有 200-120=80 人， ∵ 参与调查者中关注此问题的约占 80%，即有 200×(1-80%)=40 人不关心民生问 题， ∴ 选出的 200 人中不关注民生问题的青少年有 30 人． 于是得 2×2 列联表： 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 ∴ 2 2 200 (90 10 70 30) 4.6875160 40 80 120K   − ==   0，故 在 上单调递增， 由于 (1)=0f ，所以当 1x  时， ( ) (1) 0f x f=，不合题意． 当 0a  时， 2() () ax afx x −−  = ， ∴ 当 20 x a 时， ( ) 0fx  ；当 2x a 时， ( ) 0fx  ， 所以 ()fx在 2(0 )a ， 上单调递增， ()fx在 2()a +， 上单调递减， 即 max 2( ) ( )f x f a= 2 2ln2 2lnaa= − + − ． 所以要使 ≤0 在(0 )+， 时恒成立，则只需 max()fx ≤0， 亦即 2 2ln2 2lnaa− + − ≤0． 令 ( ) 2 2ln 2 2lna a a = − + − ，则 22( ) 1 aa aa − = − = ， ∴ 当02a时， ( ) 0a  ；当 2a  时， ( ) 0a  ， 即 ()a 在 (0 2)， 上单调递减，在(2 )+， 上单调递增． 又 (2) 0 = ，所以满足条件的 a 只有 2，即 2a = ． （2）由（1）知 a=2， ( ) 2 2 2lnf x x x= − + ， ∴ ()() f x axg x x xa += − 2 2 ln ( 2)2 x x x xx +=− ， 于是 2 2( 2ln 4)() ( 2) xxgx x −− = − ． 令 ( ) 2ln 4s x x x= − − ，则 22( ) 1 xsx xx − = − = ， 由于 2x  ，所以 ( ) 0sx  ，即 ()sx在(2 )+， 上单调递增； 又 (8) 0s  ， (9) 0s  ， ∴ 0 (8 9)x， ，使得 0( ) 0sx = ，即 002ln 4xx=−， 且当 02 xx 时， ( ) 0sx ；当 0xx 时， ( ) 0sx ， 即 ()gx在 0(2 )x， 上单调递减；在 0()x +， 上单调递增． ∴ min 0( ) ( )g x g x= 0 0 0 0 2 2 ln 2 x x x x += − 2 00 0 0 2 2 xxxx −==− ． 即 0mx= ， ∴ 0( ) ( )f m f x= 0 0 02 2 2ln 2 ( 11 10)x x x= − + = − −  − −， ， 文科数学参考答案 第 5 页（共 5 页） 20·LK2·QG 即 11 ( ) 10fm−   − ． 22．解：（1）∵ C 的直角坐标方程为 x2+y2=4， ∴ 点 Q(x0，y0)满足 x2+y2=4(y≥0)． 设 M(x，y)，则 002 22 xyxy+==， ，即 x0=2x-2，y0=2y， ∴ (2x-2)2+(2y)2=4(y≥0)， 整理得 C1 的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(y≥0)． （2）直线 l 过点 A(-1，0)， 所以直线 l 的参数方程为 1 cos sin xt yt   = − +  = ， ， (θ 为参数，θ 为倾斜角， [0 )6   ， ) 代入 C1： 2 4 cos 3 0tt− + = ， 则 12 12 4cos 3 tt tt +=  = ， ， ∴ 12 12 | | 2cos 3 22 (]| | | | 3 3 3 tt AD AE AF t t  + = =  ， ． 23．解：（1）∵ |x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4， ∴ a2-3a≥4， 解得 a≥4，或 a≤-1（舍去）． ∴ a 的最小值为 4． （2）∵ ab ba + -( ab+ )= a a b b a b b a ab + − − = ( ) ( )a a b b a b ab − − − = ( )( )a b a b ab −− = 2( ) ( )a b a b ab −+≥0 ∴ ≥( )．