数学试题（文史类）.pdf

第 1 页 共 4 页 2020 年 4 月 14 日 15:00---17:00 绵阳南山中学 2020 年绵阳三诊模拟考试数学试题（文史类） 命题人:董文宝 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1．设集合 2{ 1,0,1}, ={ | }M N x x x   ，则 =MN( ) A． {0} B．{0,1} C．{ 1,1} D．{ 1,0,1} 2．已知复数 32 aiz i   (aR ，i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值等于( ) A． 2 3 B． 3 2 C． 2 3 D． 3 2 3．已知 5 5sin),2,0(   ，则 cos 2 tan    ( ) A． 10 3 B． 10 3 C． 5 6 D． 5 6 4．下列叙述中正确的是( ) A．若 ,,a b c R ，则“ 2 0ax bx c   ”的充分条件是“ 2 40b ac” B．若 ,,a b c R ，则“ 22ab cb ”的充要条件是“ ac ” C．命题“对任意 xR ，有 2 0x  ”的否定是“存在 ，有 ” D． l 是一条直线， ,是两个不同的平面，若 ,ll，则 ∥  5．已知 3log 0.5a  ， 0.5log 0.6b  ， 0.23c  ，则（ ） A． b c a B． abc C．bac D．c a b 6．若平面向量 ,,abc两两所成角相等，且 1, 1, 3abc   ，则 abc 等于( ) A． 2 B． 5 C． 2 或 D． 2 或 5 7．德国数学家莱布尼兹( Leibniz，1646 年－1716 年)于 1674 年得 到了第一个关于 的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．在 我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明安图 (1692 年－1765 年)为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1736 年)开始，历时近 30 年，证明了包括这个公式在内的三个公式， 同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式，著有 《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算  开创了先河．如图 所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于  的级数展开式”计算  的第 2 页 共 4 页 近似值(其中 P 表示 的近似值)，若输入 10n  ，则输出的结果是( ) A． 1 1 1 14(1 )3 5 7 17P       B． 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P       C． 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P       D． 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P       8．设函数 ()fx在 R 上可导，其导函数为 ()fx ，且函数 ()fx在 2x  处取得极小值，则 函数 ()y xf x 的图象可能是( ) 9．在区间[0,2] 中随机取两个数，则两个数中较大的数大于 2 3 的概率为( ) A． 8 9 B． 7 9 C． 4 9 D．1 9 10．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C ， 90ABC  ， 1 2AB BC AA   ， 1BB 和 11BC 的中 点分别为 E 、 F ，则 AE 与CF 夹角的余弦值为( ) 11．已 知不等式 2230xy所表示 的平面区 域内一 点 ( , )P x y 到直线 3yx 和直线 3yx 的垂线段分别为 ,PA PB ，若 PAB 的面积为 33 16 ，则点 P 轨迹的一个焦点 坐标可以是( ) A． (2,0) B． (3,0) C．(0,2) D．(0,3) 12．函数 22( ) 3 , ( ) 2xf x x x a g x x      ，若 ( ( )) 0f g x  对 [0,1]x 恒成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A． ( 2], B． ( , ]e C． ( 2],ln D．[ 10, 2) 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） A． 3 5 B． 2 5 C． 4 5 D． 15 5 第 3 页 共 4 页 13．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速 区域，将测得的汽车的时速绘制成如图所示的频 率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过 50 /km h 的汽车的辆数为_______． 14．函数 3sin2 cos2y x x的图象向右平 移 (0 )2  个单位长度后，得到函数 ()gx的图象，若函数 ()gx为偶函数，则 的值为_______． 15．已知抛物线 2 4yx ，过焦点F 的直线与抛物线交于 ,AB两点，过 ,AB分别作 y 轴的 垂线，垂足分别为 ,CD，则| | | |AC BD 的最小值为________． 16．已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， P ABC 的顶点都在球 O 的球面上， 正三棱锥 P ABC 的体积为36，则球O 的表面积为________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17．如图(a)，在直角梯形 ABCD中， 90 ,ADC CD ∥ , 4, 2AB AB AD CD   ，将 ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC  平面 ABC ，得到几何体 D ABC ，如图(b)所示． （Ⅰ）求证： BC 平面 ACD； （Ⅱ）求点 A 到平面 BCD的距离 h ． 18．某商店为了更好地规划某种商品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了 8 组数据作为研究对象，如下表所示( x (吨)为该商品进货量， y (天)为销售天数)： /吨 2 3 4 5 6 8 9 11 y /天 1 2 3 3 4 5 6 8 （Ⅰ）根据上表提供的数据，求出 关于 的线性回归方程 y bx a； （Ⅱ）在该商品进货量 (吨)不超过 6 吨的前提下任取 2 个值，求该商品进货量 (吨)恰有 一个值不超过 3 吨的概率． 参考公式和数据： 88 21 22 11 1 , , 356, 241 n ii i i i in ii i i x y nxy b a y bx x x y x nx              ． 第 4 页 共 4 页 19．已知正项数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且 24 2 3n n nS a a   ． （Ⅰ）求数列{}na 的通项公式； （Ⅱ）设 * 1 1 ()n nn b n Naa ， nT 是{}nb 的前 项和，求使 2 15nT  成立的最大正整数 ． 20．已知椭圆 22 22: 1 ( 0)xyC a bab    的离心率为 22 3 ，左、右焦点分别为 12,FF，过 1F 的直线交椭圆于 ,AB两点． （Ⅰ）若以线段 1AF 为直径的动圆内切于圆 229xy，求椭圆的长轴长； （Ⅱ）当 1b  时，问在 x 轴上是否存在定点T ，使得 TA TB 为定值？如果存在，求出定点 和定值；如果不存在，请说明理由． 21．已知函数 2( ) (1 2 ) ln ( )f x ax a x x a R     ． （Ⅰ）当 0a  时，求函数 ()fx在区间 1[ ,1]2 上的最小值； （Ⅱ）记函数 ()y f x 图象为 曲线C ，设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 是曲线 C 上不同的两点， 点 M 为线段 AB 的中点，过点 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N ．试问：曲线C 在 点 N 处的切线是否平行于直线 AB ？并说明理由． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第 22 题) 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，圆 的参数方程为 5 2 cos 3 2 sin xt yt      ( t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐 标系中，直线l 的极坐标方程为 cos( ) 24    ． （Ⅰ）求圆 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 与 轴， y 轴分别交于 ,AB两点，点 P 是圆 C 上任一点，求 PAB 面积的 最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]设函数 ( ) | 1|,f x x x R   ． （Ⅰ）求不等式 ( ) 3 ( 1)f x f x   的解集； （Ⅱ）已知关于 x 的不等式 ( ) ( 1) | |f x f x x a    的解集为 M ，若 3(1, )2 M ， 求实数 a 的取值范围．