高三下学期第二次质检考试理科数学 第 1 页 共 5 页
河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期第二次质
检考试数学试题（理科） 命题人：魏华军 审核：赵海通 滕领涛
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和 II 卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟。
2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一. 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符
合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。
1.已知集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则 A∪B＝（ ）
A．[3，4） B．（﹣1，+∞） C．（3，4） D．（3，+∞）
2.已知复数 z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若 是实数，则实数 b 的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．0 D．
3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资
源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，
在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个
等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A. B. C. D.
4.设 1tan 2
， 4cos(π ) ( (0,π))5
，则 tan(2 ) 的值为（ ）
A． 7
24
B． 5
24
C． 5
24
D． 7
24
5.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传
统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.高三下学期第二次质检考试理科数学 第 2 页 共 5 页
已知该数列前 10 项是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式
为（ ） A.
2
2
n n
B.
2 1
2
n
C.
21
2
n
D.
2
2
n
6.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 4 的正方形，其侧视
图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的解析式可能是（ ）
A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|
C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x） |x|
8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、
角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，
可排成的不同音序有（ ）
A.20 种 B.24 种 C.32 种 D.48 种
9.已知函数 与 轴交于点 ，距离 轴最近的最大
值点 ，若 ，且 ，恒有 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则
的值为（ ）A. 4 B. C. D.
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一
象限内的交点为 M，若 ．则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．高三下学期第二次质检考试理科数学 第 3 页 共 5 页
12. 已知定义在 R 上的函数 ，若函数 恰有 2 个零点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。
13.若 ,x y 满足约束条件
2 2 0
3 3 0
0
x y
x y
x
，则 z x y 的最小值为______.
14.已知 *n N ，满足 ... ，则 2 n
x x y 的展开式中 5 2x y 的系
数为______.
15.四边形 ABCD 中，A=60°，cosB= ,AB=BC=7,当边 CD 最短时，四边形 ABCD 的面积为_____．
16.点 P 为棱长是 3 的正方体 的内切球 O 球面上的动点，点 P 满足
则动点 P 的轨迹的长度为__________．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 12 分）
已知等比数列 na 的公比 1q ，且 1 3 5 42a a a ， 3 9a 是 1 5,a a 的等差中项，数列 nb 的通项
公式
1
2
1 1
n
n
n n
b
a a
， *n N .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）求数列 nb 的前 n 项和 nS .
18．（本题满分 12 分）
如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1ABC B BC△ 与△ 是全等的等边三角形，
（1）求证： 1BC AB ； （2）若
4
1cos 1 BAB ，求二面角 ABBC 1 的余弦值．高三下学期第二次质检考试理科数学 第 4 页 共 5 页
19.（本题满分 12 分）
已知抛物线 2 2y x ，过点 (1,1)P 分别作斜率为 1k ， 2k 的抛物线的动弦 AB 、
CD ，设 M 、 N 分别为线段 AB 、CD 的中点．
（Ⅰ）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
（Ⅱ）若 1 2 1k k ，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标．
20.（本题满分 12 分）
由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，每人必须
在 1 分钟内完成，否则派下一个人．3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否
则淘汰出局．根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内解开
密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并
且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
①求该团队能进入下一关的概率；
②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小，并说明
理由．
21.（本题满分 12 分）
已知函数 ( ) xf x e x ．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若 1 2( ) ( )f x f x ， 1 2x x ，求证： 1 2 2x xe e ．高三下学期第二次质检考试理科数学 第 5 页 共 5 页
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅
笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos
3 3sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点O 为
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2cos .
（1）求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 3C 的极坐标方程为 （ 0 ， R ），点 A 是曲线 3C 与 1C 的交点，点 B 是
曲线 3C 与 2C 的交点， A 、 B 均异于原点O ，且| | 2 2AB ，求实数 的值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 2 3f x x a x ， 2 3g x x ．
1 解不等式 6g x ；
2 若对任意的 2x R ，均存在 1x R ，使得 1 2g x f x 成立，求实数 a 的取值范围．
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