中考数学复习专题讲与练一次函数

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 一次函数 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1： 已知一次函数 ，当函数值 时，自变量 的取值范围在数轴上表示正确 的是（ ） A B C D 例 2： 下列函数中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大的是 A、y=－x+1 B、y=x2－1 C、y= D、y=－x2+1 例 3： 一条直线 其中 ， ，那么该直线经过（　　） A．第二、四象限　 　 B．第一、二、三象限　　 y kx b= + 2−= xy 0>y x x 1 5k b+ = − 6kb = 0 2 － 2 00 2－2 － 2 0 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C．第一、三象限　 　 D．第二、三、四象限 例 4： 某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒，其运动速度 v(米/秒)关于时间 t(秒)的 函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前 3 秒运动的路程在数值上等于矩 形 AODB 的面积．由物理学知识还可知：该物体前 n(3＜n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩 形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和． 根据以上信息，完成下列问题： (1)当 3＜t≤7 时，用含 t 的代数式表示 v； (2)分别求该物体在 0≤t≤3 和 3＜t≤7 时，运动的路程 s(米)关于时间 t(秒)的函数关系 式；并求该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间． A 组 【理解正比例函数】 1.正比例函数 y=kx,当 k 时，y 随 x 的增大而增大 2.正比例函数 ，当 x=8 时，y= 3. 若正比例函数 的图像经过二、四象限，则 k= 【了解一次函数的意义】 4.下列函数中既是一次函数又是正比例函数的是（ ） A . B. C. D. 【会画一次函数图像】 5.画出一次函数 的图象，并回答：当函数值为正时， 的取值范围是 　　　　．2 4y x= − + x 7 10 v(米/秒) t(秒)O A B M C END 10 2 3 7n 1 2y x= 2 3( 1) ky k x −= − 25y x= − 5y x = 5 1y x= + 5y x= 1 1 O x y天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 【一次函数的性质】 6.一次函数 的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.　P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数 y= -x 图象上的两点，则下列判断正确的是 A．y1>y2 B．y1 kx+3 的解集： （2）设直线 与 x 轴交于点 A，求△OAP 的面积. 【根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解】 32.在直角坐标系中直接画出函数 y＝|x|的图象．若一次函数 y＝kx＋b 的图象分别过点 A(－1，1)、B(2，2)，请你依据这两个函数的图象写出方程组{y＝|x| y＝kx＋b的解． 33.如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ． （1）求 的值； （2）不解关于 的方程组 请你直接写出它的解； （3）直线 ： 是否也经过点 ？请说明理由． C 组 【一次函数解决实际问题】 34.为了鼓励节能降耗，某市规定每户家庭用电收费标准如下：每户每月的用电量不超过 120 度时，电价为 a 元/度；超过 120 度时，不超过部分仍为 a 元/度，超过部分为 b 元/ 度．已知某用户五月份用电 115 度，交电费 69 元；六月份用电 140 度，交电费 94 元． (1)求 a，b 的值； (2)设该用户每月用电量为 x（度），应付电费为 y（元）．分别求出当 和 时，y 与 x 之间的函数关系式． 35. 我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地， 我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相 xyl 2:1 = 3:2 += kxyl 2l 1l 1y x= + 2l y mx n= + ),1( bP b yx, 3l y nx m= + P 1200 ≤≤ x 120>x O x O y O P 1l 2l天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C B O A x y 交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点为 O(0，0)、 A(1，0)、 B(1，1)、 C(0，1)． (1)判断直线 y＝ 1 3x＋ 5 6与正方形 OABC 是否相交，并说明理由； (2)设 d 是点 O 到直线 y＝－ 3x＋b 的距离，若直线 y＝－ 3x＋b 与正方形 OABC 相交， 求 d 的取值范围． 36. 如图， 直线与 轴、 轴分别交于点 ，点 ．点 从点 出发，以每 秒 1 个单位长度的速度沿 → 方向运动，点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度 沿 → 的方向运动．已知点 同时出发，当点 到达点 时， 两点同时停 止运动， 设运动时间为秒． （1）设四边形 MNPQ 的面积为 ，求 关于的函数关系式，并写出的取值范围． （2）当为何值时， 与平行？ x y )0,8(M )6,0(N P N N O Ｑ O O M ＱP、 Ｑ M ＱP、 S S ＱP lＱ Qq O M N x y P天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 一次函数 例 1： 已知一次函数 ，当函数值 时，自变量 的取值范围在数轴上表示正确 的是（ ） A B C D 【答案】：B 【解析】由 得， ， 【易错警示】要注意“＜、＞”“≥、≤”对应的数轴表示的圆点“空心”和“实心”。 例 2： 下列函数中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大的是 A、y=－x+1 B、y=x2－1 C、y= D、y=－x2+1 【答案】B 【解析】A、函数 y=－x+1 ，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小；B、函数 y=x2－1 ，当 x>0 （对称轴 y 轴右侧）时，y 随 x 的增大而增大；C、函数 y= ，当 x>0（第－象限）时， 双曲线一分支 y 随 x 的增大而减小； D、抛物线 y=－x2+1，当 x>0（对称轴 y 轴右侧）时， y 随 x 的增大而减小. 【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质.解答本题需要了解各 函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断. 例 3： 一条直线 其中 ， ，那么该直线经过（　　） A．第二、四象限　 　 B．第一、二、三象限　　 C．第一、三象限　 　 D．第二、三、四象限 【答案】 D． 【解析】∵直线 其中 ， ，∴k= －5－b，即 b（－5－b）=6，解 y kx b= + 2−= xy 0>y x 0>y 2x > x 1 x 1 5k b+ = − 6kb = y kx b= + 5k b+ = − 6kb = 0 2 － 2 00 2－2 － 2 0 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 之 ，再代入 k= －5－b， .∴ 当 k= －3，b= －2 时，直 线过第二、三、四象限　；当 k= －2，b= －3 时，直线过第二、三、四象限　.综上所之， 直线第二、三、四象限.故选 D. 【方法指导】判断一次函数图象经过的象限取决于 k、b 符号.直线 y=kx+b（k、b 为常数、 k、b 均不等于 0）经过三个象限，①当 k＞0，b＞0，直线在第一、二、三象限　；②当 k＞ 0，b＜0，直线在第一、三、四象限　；③当 k＜0，b＜0，直线在第一、二、四象限　；④ 当 k＜0，b＜0，直线在第二、三、四象限.　 例 4：某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒，其运动速度 v(米/秒)关于时间 t(秒)的函 数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前 3 秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积．由物理学知识还可知：该物体前 n(3＜n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和． 根据以上信息，完成下列问题： (1)当 3＜t≤7 时，用含 t 的代数式表示 v； (2)分别求该物体在 0≤t≤3 和 3＜t≤7 时，运动的路程 s(米)关于时间 t(秒)的函数关系式； 并求该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间． 【思路分析】(1)利用待定系数法求一次函数的解析式； (2)根据题意即物理学知识求出分段函数 s 的解析式，并列一元二次方程求出题中所需时 间． 【解】(1)设直线 BC 的解析式为 v＝kt＋b．∵点 B，C 的坐标为(3，2)，C(7，10)． ∴ 解得 ． ∴v＝2t－4(3＜t≤7)． (2)①依题意可知，当 0≤t≤3 时，s＝2t； 当 3＜t≤7 时，s＝6＋ [2＋(2t－4)](t－3)＝t2－4t＋9． 综上所述，s＝ ②当 t＝7 时，s＝72－4×7＋9＝30．即总路程为 30 米． 令 t2－4t＋9＝30× ．整理得 t2－4t－12＝0． 解得 t1＝－2(不合题意，舍去)，t2＝6． 2, 4. k b =  = − 32 21 −=−= bb ， 23 21 −=−= kk ， 7 10 v(米/秒) t(秒)O A B M C END 10 2 3 7n 3 2, 7 10. k b k b + =  + = 1 2 2 2 (0 3), 4 9 (3 7). t t t t t   − + ≤ ≤ ＜ ≤ 7 10天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 答：该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间是 6 秒．[中&国教育*%出#@版网] 【方法指导】此题涉及一次函数、分段函数、一元二次方程等知识．解决第(2)问的关键根 据题意理解求路程的方法． 答案：1.>0 2. 4 3. -2 4.D 5. 6.B 7.C 8. y=x+1（不唯一） 9. 增大 10. y=x+2 （不唯一） 11. 答案：12.B 13. B 14.D 15.D 16.解（1）由题意，把 代入 中，得 ∴ 将 A、B 代入 中得 ∴ ∴一次函数解析式为： （2）C（0，1） （3） 17.解：（1）设反比例函数解析式为 y = (k≠0)，把 M（1，3）点代入 y= 解得 k=3 ∴反比例函数解析式为 y= 设一次函数解析式为 y=kx＋2 (k≠0)，把 M（1，3）点代入 y=kx＋2 解得 k=1 ∴一次函数解析式为 y=x＋2 （2）x 的取值范围是 0＜x＜ 1 18.答案：（1）y=-2x+3；（2）y 最大=9. 19.解：（1） A 点的坐标为（1，1），两条直角边 AB、AC 分别平行于 轴、 轴，AB=3， AC=6，∴B（4，1），C（1，7）.∴直线 AB 的方程为： . （2）把 代入 整理得 . 由于 ，解得： . ∴ 的最大正整数为 . ( 2) ( 2 )A m B n−， ， ， 2y x = (1 2) ( 2 1)A B −， ， ，－ y kx b= + 2 2 1 k b k b + = − + = − 1y x= + 1 11 12 2AOCS∆ = × × = 7 10 2x < 1m > 1 1 m n =  = − 1 1 k b =  = x k x k x 3  x y 2 9y x= − + ky x = 2 9y x= − + 22 9 0x x k− + = 2 4 81 8 0b ac k∆ = − = − ≥ 81 8k ≤ k 10天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 20.答案： 21.解：（1）∵正比例函数 和反比例函数 的图象都经过点 ， ∴ ，∴ ∴正比例函数为 ，反比例函数为 . ∵点 在反比例函数 的图象上，∴ 即 . （2）∵直线 向下平移后得直线， ∴设直线的解析式为 .又∵点 在直线上， ∴ .∴ ∴直线的解析式为 . 22.解：点（2，0）在直线 y=-2x+m 上，∴ 0=-2×2+m. ∴ m=4. 由直线 l 与直线 y=3x 平行，可设直线 l 的解析式为 y=3x+n. ∵ 点（2，0）在直线 l 上, ∴ 0=3×2+n. ∴ n=-6. 故直线 l 的解析式为 y=3x-6. 23.解：（1）由 ，解得 ，所以 　 （2） ， ．在 △OCD 中， ， ， ∴ ． （3）取点 A 关于原点的对称点 ， 则问题转化为求证 ． 由勾股定理可得， ， ， ， ∵ ， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴ ．　∴ ． 24.解：根据题意，得： ， 在 △ 中， ， ， ∴ ， 3 23y x= + y kx= my x = (3 3)A ， 3 3 , 3 3 mk= = 1, 9.k m= = y x= 9y x = (6 )B n， 9y x = 9 3.6 2n = = (6 )B 3， 2 y kx= y x b= + (6 )B 3， 2 36 2b+ = 9 .2b = − 9 2y x= −    += +−=− bk bk 3 21      = = 3 5 3 4 b k 3 5 3 4 += xy 5( 0)4C − ， 5(0 )3D ， Rt 3 5=OD 4 5=OC OCD∠tan 3 4== OC OD (21)E ， °=∠ 45BOE 5=OE 5=BE 10=OB 222 BEOEOB += °=∠ 45BOE 135AOB∠ = ° )0,2(A )32,0(B Rt AOB 4)32(2 22 =+=AB °=∠ 30DBA °=∠ 30DCA 6=+= ABOAOC B D C A O 1 1 y x E天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ △ 中， ∴ ， 设直线 的解析式为： ∴ ，解得 所以直线 的解析式为 25.解（1）∵ 经过 ，∴ ．∴ 点 的坐标为 . ∵ 直线 经过点 ，∴ ． （2）依题意，可得直线 的解析式为 ． ∴直线 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ．∴ .∴ .设直线与 轴相交于 ．依题意，可得 . ∴ . 在△ 中， , . ∴ .∴ 点 的坐标为 .设直线的解析 式为 ． ∴ ∴ 直线的解析式为 26.解：I）依题意，设 y＝kx＋b( )． 　　　　 函数图象过(0,400)和(2,1600)两点, b=400,2k＋b=1600, 解方程组，得 b=400,k=600. y＝600x＋400 (x≥0)． （II）当 x＝1.2 时，y＝600×1.2＋400＝1120(元) 　　　即 5 月份的收入为 1120 元． Rt DOC 32tan =∠= DCOOCOD )0,6(C )32,0( −D CD 32−= kxy 3260 −= k 3 3=k CD 323 3 −= xy xy 4= ( ,4)C m 1=m C )4,1( y x n= + C )4,1( 3=n AB 3+= xy 3+= xy x )0,3(−A y )3,0(B OA OB= 45BAO∠ = ° y D °=∠ 15BAD 30DAO∠ = ° AOD °=∠ 90AOD tan 3tan30 3 ODDAO OA ∠ = ° = = 3=OD D )3,0( )0( ≠+= kbkxy    =+− = .03 ,3 bk b    = = .3 ,3 3 b k 33 3 += xy 0≠k ∴ ∴ l D天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 27.答案： 28.答案：（-3，0），（0，-3） 29.答案：（1） . （2） 30.B 3 1 . 解 ： （ 1 ） x > 1 ； （ 2 ） 把 代 入 ， 得 . ∴ 点 P （ 1 ， 2 ） ∵ 点 P 在 直 线 上 ， ∴ . 解得 . ∴ . 当 时 ， 由 得 . ∴ 点 A （ 3 ， 0 ） ∴ . 32.解：由图象可知，方程 的解为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 33.解：（1）∵ 在直线 上， ∴当 时， ． （2）解是 （3）直线 也经过点 ∵点 在直线 上， ∴ ，∴ ,这说明直线 也经过点 ． y x y kx b  = = + 2 1 2 1 x x y y = = −   = =  或 2 3(0, ), ( 2,0)3A B − 2 1y x= − 3 1b− ≤ ≤ − 1=x xy 2= 2=y 3+= kxy 32 += k 1−=k 3+−= xy 0=y 30 +−= x 3=x 3232 1 =××=∆OAPS ),1( b 1+= xy 1=x 211 =+=b    = = .2 ,1 y x mnxy += P P )2,1( nmxy += 2=+ nm 2 1n m= × + mnxy += P O-1 1 2 1 -2 y x天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 34.解：依题意，得 ， 解得 ， ∴ 、 的值分别为 0.6 和 1.1 ． （2）当 时， ； 当 时， ， 整理得 ． ∴　 　　　　　　 35.解：(1)相交. ∵ 直线 y＝ 1 3x＋ 5 6与线段 OC 交于点(0， 5 6)同时直线 y＝ 1 3x＋ 5 6与线段 CB 交 于点( 1 2，1)， ∴ 直线 y＝ 1 3x＋ 5 6与正方形 OABC 相交. (2)解：当直线 y＝－ 3x＋b 经过点 B 时，即有 1＝－ 3＋b，∴ b＝ 3＋1. 即 y＝－ 3x＋1＋ 3. 记直线 y＝－ 3x＋1＋ 3与 x、y 轴的交点分 别为 D、E. 则 D( 3＋ 3 ，0)，E(0，1＋ 3). 法 1：在 Rt△BAD 中，tan∠BDA＝ BA AD ＝ 1 ＝ 3， ∴ ∠EDO＝60°， ∠OED＝30°. 过 O 作 OF1⊥DE，垂足为 F1，则 OF1＝d1.在 Rt△OF1E 中，∵∠OED＝30°， ∴ d1＝ ＋1 2 . 法 2：∴ DE＝ 2 3(3＋ 3). 过 O 作 OF1⊥DE，垂足为 F1，则 OF1＝d1. ∴ d1＝ 3＋ 3 ×(1＋ 3)÷ 2 3(3＋ 3) ＝ ＋1 2 . ∵ 直线 y＝－ 3x＋b 与直线 y＝－ 3x＋1＋ 3平行. 法 1：当直线 y＝－ 3x＋b 与正方形 OABC 相交时，一定与线段 OB 相交，且交点不与 点 O、 B 重合.故直线 y＝－ 3x＋b 也一定与线段 OF1 相交，记交点为 F，则 F 不与 点 O、 F1 重合，且 OF＝d.    =−+ = 94)120140(120 69115 ba a    = = 1.1 6.0 b a a b 1200 ≤≤ x xy 6.0= 120>x 1.1)120(6.0120 ×−+×= xy 601.1 −= xy    >− ≤≤= )120(601.1 )1200(6.0 xx xxy天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ 当直线 y＝－ 3x＋b 与正方形相交时， 有 0＜d＜ ＋1 2 . 法 2：当直线 y＝－ 3x＋b 与直线 y＝x(x＞0)相交时， 有 x＝－ 3x＋b，即 x＝ b 1＋. ① 当 0＜b＜1＋ 3时，0＜x＜1， 0＜y＜1. 此时直线 y＝－ 3x＋b 与线段 OB 相交，且交点不与点 O、 B 重合. ② 当 b＞1＋ 3时，x＞1， 此时直线 y＝－ 3x＋b 与线段 OB 不相交. 而当 b≤0 时，直线 y＝－ 3x＋b 不经过第一象限，即与正方形 OABC 不相交. ∴ 当 0＜b＜1＋ 3时，直线 y＝－ 3x＋b 与正方形 OABC 相交. 此时有 0＜d＜ ＋1 2 . 36.解：（1）依题意，运动总时间为 秒，要形成四边形 ，则运动时间为 ． 当 P 点在线段 NO 上运动秒时， ∴ = 此时四边形 的面积 = = ∴ 关于的函数关系式为 （2）当 与平行时， ∽ 即 ∴ ，即 ∴当 秒时， 与平行． 42 8 ==t MNPQ 40