中考数学复习专题讲与练位似

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 位似 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说： “别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 1.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似 中心．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2.把图 1 中的四边形 ABCD 缩小到原来的 ． 3.如图,已知 O 是坐标原点，B、C 两点的坐标分别为(3，-1)、 (2,1)． (1)以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍(即新 图与原图的相似比为 2)， 画出图形； (2)分别写出 B、C 两点的对应点 B′、C′的坐标； (3)如果△OBC 内部一点 M 的坐标为(x，y),写出 M 的对应点 M′的坐标． 4 如图，图中的小方格都是边长为 1 的正方形， △ABC 与△A′ B′ C′是关于点 0 为位似中 心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点 0； （2）求出△ABC 与△A′B′C′的位似比； （3）以点 0 为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC 的位似比等于 1.5． 2 1天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 1.下列两个图形不是位似图形的是( ) 2.如图 27-36 所示，按如下方法将△ABC 的三边缩小为原来的 ，任取一点 O，连 AO、BO、 CO，并取它们的中点 D、E、F，则下列说法： (1)△ABC 与△DEF 是位似形. (2)△ABC∽△DEF. (3)△ABC 与△DEF 周长的比为 2∶1 (4)△ABC 与△DEF 面积的比为 4∶1.其中正确的个数是( ) 图 27-36 A.1 B.2 C.3 D.4 3.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似 中心是( ) A.一定点 B.原三角形三边垂直平分线的交点 C.原三角形角平分线的交点 D.位置不定的一点 4.下列说法正确的个数是( ) ①位似图形一定是相似图形; ②相似图形一定是位似图形; ③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间; ④若五边形 ABCDE 与五边形 A＇B＇C＇D＇E＇位似，则其中△ABC 与△A＇B＇C＇也是位 似的且相似比相等. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE，记△AOB 与△CDE 对应边 的比为 k，则位似中心的坐标和 k 的值分别为( ) A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(2，2)，3 2 1 2 1天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 6.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的 ， 已知原正六边形一边为 3，则后来正六边形的边长为( ) A.9 B.3 C. D. 7.四边形 ABCD 和四边形 A＇B＇C＇D＇是位似图形，O 为位似中心，若 OA∶OA＇，=1∶2， 那么 AB∶A＇B＇=________，S 四边形 ABCD∶S 四边形 A＇B＇C＇D＇=________. 8.如图 27-34 所示，点 O 是等边△PQR 的中心，P，Q＇，R＇分别是 OP、OQ、OR 的中点，则△ P＇Q＇R＇与△PQR 是________，点 O 是_____，相似比是________. 图 27-34 图 27-35 9.如图 27-35 所示，矩形 AOBC 与 DOEF 是位似图形，且 O 为位似中心，相似比为 1∶ ， 若 A(0，1)、B(2，0)，则 F 点的坐标为________. 10.把△ABC 三点坐标 A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以 3 得△A＇B＇C＇，的坐标 A＇， (0，3)、B＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC 与△A＇B＇C＇是______图形，位似中心是 _______，相似比为________ 11.把△ABC 三点坐标 A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以-3，得△A＇B＇C＇，的坐标 A＇ (0，-3)、B(-6，0)、C＇(-9，-6)，那么△ABC 与△A＇B＇C＇是_____图形，位似中心是 _____，相似比为_____. 12．已知：如图，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(－4，2)，B(－2，－4)，C(6，－2)， D(2，4)．试以O 点为位似中心作四边形 A'B'C'D′，使四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的相似比为 1∶2，并写出各对应顶点的坐标． 3 1 3 3 32 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 13.正方形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A(1，1)，B(-1，1)，C(-1，2)，D(1，2)，以坐标原 点为位似中心，将正方形 ABCD 放大，使放大后的正方形 A＇B＇C＇D＇的边是正方形边的 3 倍. (1)写出 A＇B＇C＇D＇的坐标. (2)直线 AC 与直线 B＇D＇垂直吗?说明理由. 14．已知：如下图，是由一个等边△ABE 和一个矩形 BCDE 拼成的一个图形，其 B，C，D 点 的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)． (1)求 E 点和 A 点的坐标； (2)试以点 P(0，2)为位似中心，作出相似比为 3 的位似图形 A1B1C1D1E1，并写出各对应 点的坐标； (3)将图形 A1B1C1D1E1 向右平移 4 个单位长度后，再作关于 x 轴的对称图形，得到图形 A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少? 15．在已知三角形内求作内接正方形． 16．在已知半圆内求作内接正方形．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 17.如图 27-42 所示，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是 32d m2，两边空白各 0.5 dm，上下空白各 1 dm，设印刷部分从上到下长是 xdm，四周空白的面积为 Sdm2. (1)求 S 与 x 的关系式. (2)当要求四周空白处的面积为 18 dm2 时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多 少? (3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么? 图 27-42 . 18．如图，四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′ 位似，位似比 ，四边形 A′B′C′D′ 和四边形 A″B″C″D″位似，位似比 ．四边形 A″B″C″D″和四边形 ABCD 是位似图 形吗？位似比是多少？ 1 2k = 2 1k =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 19．如图，已知△ABC 中，AB=12，BC=8，AC=6，点 D、E 分别在 AB、AC 上，如果以 A、D、E 为顶点的三角形和以 A、B、C 为顶点的三角形相似，且相似比为 ． （1）根据题意确定 D、E 的位置，画出简图； （2）求 AD、AE 和 DE 的长． 20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点间连线为边的三角 形称为“格点三角形”，图中的 是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点 的 坐标为（ ）． （1）把 向左平移 8 格后得到 ，画出 的图形并写出点 的坐标； （2）把 绕点 按顺时针方向旋转 后得到 ，画出 的 图形并写出点 的坐标； （3）把 以点 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为 ，画出 的图形． 1 3 ABC△ B 1 1− −， ABC△ 1 1 1A B C△ 1 1 1A B C△ 1B ABC△ C 90 2 2A B C△ 2 2A B C△ 2B ABC△ A 1: 2 3 3AB C△ x y O A B C天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 位似参考答案 典题探究 1.解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图 （1）中的点 A ，图（2）中的点 P 和图（4）中的点 O．（图（3）中的点 O 不是对应点连线 的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形） 2.（1）在四边形 ABCD 外任取一点 O； （2）过点 O 分别作射线 OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线 OA，OB，OC，OD 上取点 A′、 B′、C′、D′， 使得 ； （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′， 得到所要画的四边形 A′B′C′D′，如图 2． 3.（1）延长 BO 到 B′，使 B′O=2BO，延长 CO 到 C′，使 C′O=2CO，连结 B′、C′.则△OB′C′即 为△OBC 的位似图形（如图 3）. （2）观察可知 B′(-6,2)，C′(-4,-2) （3）M′(-2x．-2y). 图 3 4.解：(1)连结 A′A 并延长，连结 C′C 并延长，A′A 的延长线与 C′C 的延长线的交点， 即为位似中心 0. （2）因为 = ，所以△ABC 与△A′B′C′的位似比 1:2 ； （3）如图 4，所示,此时 . 图 4 2 1 OD DO OC CO OB BO OA AO =′=′=′=′ A OA ′O 2 1 2 3111 === OC OC OB OB OA OA天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 演练方阵 1.A 2.D 3.D 4.B 5．C． 6.C 7. 1∶2 1∶4 8.位似图形 位似中心 1∶2 9. ( ， ) 10.位似 原点 O 3 11.位似 原点 O 3 12．A＇(－2，1)，B＇(－1，－2)，C＇(3，－ 1)，D＇(1，2)． 13.(1)A(3，3)、B(-3，3)、C(-3，6)、D(3， 6)或 A(-3，-3)、B(3，-3)、C(3，-6)、 D(-3，-6)； (2)垂直 14．(1) (2) B1(3，2)，C1(3，－1)，D1(9，－1)，E1(9，2)； (3) B2(7，－2)，C2(7，1)，D2(13，1)，E2(13，－2)． 15．方法 1：利用位似形的性质作图法(图 16) 图 16 作法：(1)在 AB 上任取一点 G＇，作 G＇D＇⊥BC； (2)以 G＇D＇为边，在△ABC 内作一正方形 D＇E＇F＇G＇； (3)连结 BF＇，延长交 AC 于 F； (4)作 FG∥CB，交 AB 于 G，从 F，G 各作 BC 的垂线 FE，GD，那么 DEFG 就是所求作的内 接正方形． 方法 2：利用代数解析法作图(图 17) 图 17 (1)作 AH(h)⊥BC(a)； (2)求 h＋a，a，h 的比例第四项 x； 22 2 );32,2(),2,3( +AE ).332,6(1 +A ),332,10(2 −−A天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (3)在 AH 上取 KH＝x； (4)过 K 作 GF∥BC，交两边于 G，F，从 G， F 各作 BC 的垂线 GD，FE，那么 DEFG 就是所 求的内接正方形． 16．提示： 正方形 EFGH 即为所求． 17. (1)S=2x+2；(2)长 10 dm,宽 5 dm； (3)提示:说明满足位似图形的三个条件 18．是位似图形，位似比为 ． 19．（1）两种情况，图略；（2）第一种情况：AD=4，AE=2，DE= ；第二种情况：AD=2， AE=4，DE= ． 20．（1）画图略，点 的坐标为（ ）； （2）画图略，点 的坐标为（ ）； （3）画图略． 1 2 8 3 8 3 1B 9, 1− − 2B 5,5