中考数学复习专题讲与练几何综合题—相似变换为主的题型

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 几何综合题（相似变换为主的题型） 一、知识梳理 二、教学重、难点 三、作业完成情况 四、典题探究 例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线 DC 于点 F，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B′ 处． （1）当 =1 时，CF=______cm， （2）当 =2 时，求 sin∠DAB′ 的值； （3）当 = x 时（点 C 与点 E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形 ABCD 公共部 分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）． CE BE CE BE CE BE天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 2 已知： 中， ， 中， , . 连接 、 ，点 、 、 分别为 、 、 的中点. (1) 如图 1，若 、 、 三点在同一直线上，且 ，则 的形状是 ________________，此时 ________； (2) 如图 2，若 、 、 三点在同一直线上，且 ，证明 ， 并计算 的值（用含 的式子表示）； (3) 在图 2 中，固定 ，将 绕点 旋转，直接写出 的最大值. 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4．动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同 时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 AB 返回．点 P， Q 运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止．连结 PQ，设运动时间为 t（t >0）秒． （1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达 A 点），若△APQ∽△ABC，求 t 的值； （2）伴随着 P，Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为直线 l． ①当直线 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 边于点 E，求 AE 的长； ②是否存在 t 的值，使得直线 l 经过点 B？若存在，请求出所有 t 的值；若不存在，请说明理 由． AOB△ 2AB OB= = COD△ 3CD OC= = ABO DCO=∠ ∠ AD BC M N P OA OD BC A O C 60ABO = ∠ PMN△ AD BC = A O C 2ABO α=∠ PMN BAO△ ∽△ AD BC α AOB△ COD△ O PM天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 4 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，D、E 分别为 AB、AC 上的点． （1）如图 1，CE=AB，BD=AE，过点 C 作 CF∥EB，且 CF=EB，连接 DF 交 EB 于点 G， 连接 BF，请你直接写出 的值； （2）如图 2，CE=kAB，BD=kAE， ，求 k 的值． 五、演练方阵 A 档（巩固专练） 1． 等边△ABC 边长为 6，P 为 BC 边上一点，∠MPN=60°，且 PM、PN 分别于边 AB、AC 交于点 E、F. （1）如图 1，当点 P 为 BC 的三等分点，且 PE⊥AB 时，判断△EPF 的形状； （2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且保持 PE⊥AB，设 BP=x，四边形 AEPF 面积的 y， 求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）如图 3，若点 P 在 BC 边上运动，且∠MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，求 PE 的 长. 2. 已知：如图，等边△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，点 F 是 AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点 M 在线段 DF 上，∠ABE＝∠DBM． EB DC 1 2 EB DC =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （1）猜想：线段 AE、MD 之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长 BM 到 P，使 MP＝BM，连接 CP，若 AB＝7，AE＝ ， 求 tan∠BCP 的值． 3. 在 中， ，点 在 所在的直线上运动，作 （ 按逆时针方向）． （1）如图 1，若点 在线段 上运动， 交 于 ． ①求证： ； ②当 是等腰三角形时，求 的长． （2）①如图 2，若点 在 的延长线上运动， 的 反向延长线与 的延长线相交于点 ，是否存在点 ，使 是等腰三角形？ 若存在，写出所有点 的位置；若不存在，请简要说明理由； ②如图 3，若点 在 的反向延长线上运动，是否存在点 ，使 是等腰三角形？ 若存在，写出所有点 的位置；若不存在，请简要说明理由． 4. 已知：△ABC，△DEF 都是等边三角形，M 是 BC 与 EF 的中点，连接 AD，BE. （1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 BE 的数量关系和位置关系； （2）△ABC 固定不动，将图 1 中的△DEF 绕点 M 顺时针旋转 （ ≤ ≤ ）角，如图 2 Rt ABC△ 90 2BAC AB AC∠ = = =， D BC 45ADE∠ =  A D E， ， D BC DE AC E ABD DCE△ ∽△ ADE△ AE D BC DE AC E′ D ADE′△ D D BC D ADE△ D 72 45 A B D C E 图 1 4545 C DB A E E′ C A BD E 图 2 图 3 α o0 α o90天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； （3）△ABC 固定不动，将图 1 中的△DEF 绕点 M 旋转 （ ≤ ≤ ）角，作 DH⊥BC 于点 H．设 BH＝x，线段 AB，BE，ED，DA 所围成的图形面积为 S．当 AB＝6，DE ＝2 时，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出相应的 x 的取值范围． 5. 已知 和 关于直线 对称(点 的对称点是点 )，点 、 分别是线段 和线段 上的点，且点 在线段 的垂直平分线上，联结 、 ， 交 于点 ． （1）如图（1），求证： ； （2）如图（2），当 时， 是线段 上一点，联结 、 、 ， 的延长线交 于点 ， ， ，试探究线段 和 之间的数量关系，并证明你的结论． B 档（提升精练） 1. 已知：在△ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 边的中点，点 F 是 AB 边上一点，点 E 在线段 DF 的延长线上，点 M 在线段 DF 上，且∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM． （1） 如图 1，当∠ABC＝45°时，线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图 2，当∠ABC＝60°时，线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 ； （3）① 如图 3，当 （ ）时，线段 DM 与 AE 之间的数量关系 是 ； ② 在（2）的条件下延长 BM 到 P，使 MP＝BM，连结 CP，若 AB＝7，AE＝ ， 求 sin∠ACP 的值． ABD∆ CBD∆ BD A C E F BC BD F EC AF AE AE BD G ABDEAF ∠=∠ ADAB = M AG BM ED MF MF ED N BAFMBF ∠=∠ 2 1 ADAF 3 2= FM FN α o0 α o90 ABC α∠ = 0 < < 90α° ° 2 7天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2. 如图 1，将三角板放在正方形 上，使三角板的直角顶点 与正方形 的顶点 重合．三角板的一边交 于点 ，另一边交 的延长线于点 （1）求证： ； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 始终在正方形 的对角线 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过 点 ，其他条件不变，若 ， ，求 的值． 3. 在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点 P 处，三角 板的两直角边分别能与 AB、BC 边相交于点 E、F，连接 EF． （1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长； （2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点A 重合时停止，在 这个过程中，请你观察、探究并解答： ① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由； ② 直接写出从开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路线长． 4. 如图 1，在△ABC 中，AB＝AC， . 过点 A 作 BC 的平行线与∠ABC 的平分线 交于点 D，连接 CD． P D C(F) A B(E) F P D C A B E ABC α∠ = ABCD E ABCD A CD F CB .G EF EG= E ABCD AC ABCD ABCD B AB a= BC b= EF EG天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 图 1 图 2 （1）求证： ； （2）点 为线段 延长线上一点，将射线 GC 绕着点 G 逆时针旋转 ，与射线 BD 交于 点 E． ①若 ， ，如图 2 所示，求证： ； ②若 , ，请直接写出 的值（用含 的代数式表示）． 5. 已知如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形． （1）求证：梯形 是等腰梯形； （ 2 ） 动 点 、 分 别 在 线 段 和 上 运 动 ， 且 保 持 不 变 ． 设 求 与 的函数关系式； （3）在（2）中，当 取最小值时，判断 的形状，并说明理由． C 档（跨越导练） 1. 在△ 中，∠ ＝ ．经过点 的直线 l（l 不与直线 重合）与直线 的夹角 等于 ，分别过点 、点 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 、点 ． （1）若 ， =（如图），则 的长为 ； （2）写出线段 、 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线 、 交于点 ， ， =4，求 的长． AC AD= G CD β β α= 2GD AD= 2DEG BCDS S∆ ∆= 2β α= GD kAD= DEG BCD S S ∆ ∆ k ABCD 2 4AD BC AD BC= =∥ ， ， ， M AD MBC△ ABCD P Q BC MC 60MPQ = °∠ PC x MQ y= =， ， y x y PQC△ ABC ACB 90° B AB BC ABC∠ C A D E 45ABC∠ = ° CD AE AE CD CE AB F 5 6 CF EF = CD BD天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 2. 如图⑴，两块等腰直角三角板 ABC 和 DEF，∠ABC ＝∠DEF ＝ 90°，点 C 与 EF 在同一 条 直 线 l 上 ， 将 三 角 板 A B C 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 角 ( ) 得 到 △ ．设 EF＝2，BC＝1，CE＝x． ⑴如图⑵，当 ，且点 C 与点 F 重合时，连结 ，将直线 绕点 E 逆时针旋转 45°，交直线 于点 M，请补全图形，并求证： ＝DM． ⑵如图⑶，当 ，且点 C 与点 F 不重合时，连结 ，将直线 绕点 E 逆时 针旋转 45°，交直线 于点 M，求 的值（用含 x 的代数式表示）． 3. 已知：在△ABC 中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD 交线段 AB 于点 E． （1）如图 l，当∠ACB=90°时，直接写出线段 DE、CE 之间的数量关系； （2）如图 2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 是 BC 边的中点，连接 DF，DF 与 AB 交于 G，△DKG 和△DBG 关于直线 DG 对称（点 B 的对称点是点 K），延长 DK 交 AB 于点 H．若 BH=10， 求 CE 的长. 4. 如图 1，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点 E 在 AD 上，点 F 在 DC 上， 且∠BEF=∠A. （1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)； （2）当 AB＝AD 时，猜想线段 ED、EF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）当 AB≠AD 时，将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上，且 AE＞AB，AB＝ α °≤