中考数学复习专题讲与练勾股定理及其逆定理

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 勾股定理及其逆定理 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以 后，恐怕会吃不消的。” “天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！” 另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。” “天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。”小钟很轻 松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例 1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边 AB； 例 2：在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=60°，CD= ，求线段 AB 的长。 B A C D 3天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 例 3： 如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放 的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 例 4：如图，南北向 MN 为我国领域，即 MN 以西为我国领海，以东为公海.上午 9 时 50 分， 我反走私 A 艇发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通 知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B.已知 A、C 两艇的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇测得离 C 艇的距离是 12 海里.若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间 进入我国领海？ A 组 1．已知两条线段的长为 5cm 和 12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这 三条线段能组成一个直角三角形. B 组 2．下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（　　） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4, c=5 3、已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是方程 的两个实数根， 第三边 BC＝5。 （1） 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形； （2） 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。 4.图①是一个边长为 的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图① E B CA M N 023)32( 22 =++++− kkxkx k k ( )m n+天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 和图②能验证的式子是（ ） A． B． C． D． 5．如图 6，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于 C，AB＝3cm，PB＝4cm，则 BC＝ ． 6．已知：如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直 角三角形．若斜边 AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ． 7．如图，过原点的直线 l 与反比例函数 的图象交于 M，N 两点，1y x = − 2 2( ) ( ) 4m n m n mn+ − − = 2 2 2( ) ( ) 2m n m n mn+ − + = 2 2 2( ) 2m n mn m n− + = + 2 2( )( )m n m n m n+ − = − 图① 图② 第 4 题图天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 根据图象猜想线段 MN 的长的最小值是___________． 8．长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角（如图所示），则梯子 的顶端沿墙面升高了 m． 9．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm， 高为 6cm．如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短 需要 cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 圈到达点 B，那么所用 细线最短需要 cm． 10、如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点 D 是线 段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 作直线 ＝－ ＋ 交折线 OAB 于点 E． （1）记△ODE 的面积为 S，求 S 与 的函数关系式； （2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1，试探 究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积； 若改变，请说明理由. n B A 6cm 3cm 1cm y 1 2 x b b C D B AEO x y天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ B 组 1. 以下四个命题正确的是（　　） 　A．任意三点可以确定一个圆 　B．菱形对角线相等 　C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 　D．平行四边形的四条边相等 2. 如图，⊙O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切⊙O 于 A 点，则 PA=　　． 3. 如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下 列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　） 　A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2， 4. 如图，已知∠AOB=60°，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2， 则 OM=（　　） 　A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点 M、N 分别在 AB、 AD 边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则 tan∠MCN=（　　）天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 　A． B． C． D． ﹣2 6. 如图 1，有一个“顽皮虫”想从点A 沿棱长为 1cm 的正方体的表面爬到点 B，求它所爬过 的最短路程． 7. 在△ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm，求 AC 8. 已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。 ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 9. 判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形 （1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15 10. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以 灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法” 来证明，下面是小聪利用图 1 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图 1 所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2 D C BA天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 勾股定理及其逆定理 例 1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边 AB； 解：（1）S△ABC= （2） 例 2：在 Rt△ABC 中，∠BCA=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=60°，CD= ，求线段 AB 的长。 B A C D ( )21 1 2.1 2.8 2.942 2AC BC cm• • = × × = ( )cmBCACAB 5.325.1284.741.48.21.2 2222 ==+=+=+= 3 2 2 90 60 130 2 2 3 3 90 130 2 BCA A B CD BC BC BD BC CD CD AB CDA DCA AD AC ∠ = ∠ = ∴∠ = ∴ = ∴ = ∴ = − = ⊥ ∴∠ = ∴∠ = ∴ =       天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是 常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 Rt△ADC 或 Rt△BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= AB=3cm，则此题可解。 例 3：如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为 4cm，高为 15cm，问易拉罐内可放 的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 解答 如图，当搅拌棒在 AB 位置时最长，过 B 画底面直径 BC，则在 Rt△ABC 中，AC＝ 15cm， BC＝4×2＝8cm 根据勾股定理得 所以可放的最长搅拌棒为 17cm． 例 4：如图，南北向 MN 为我国领域，即 MN 以西为我国领海，以东为公海.上午 9 时 50 分， 我反走私 A 艇发现正东方向有一走私艇 C 以 13 海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通 知正在 MN 线上巡逻的我国反走私艇 B.已知 A、C 两艇的距离是 13 海里，A、B 两艇的距离是 5 海里；反走私艇测得离 C 艇的距离是 12 海里.若走私艇 C 的速度不变，最早会在什么时间 进入我国领海？ 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇 C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇 C 最早会 ( )cmBCACAB 17815 2222 =+=+= E B CA M N 2 2 2 , 2 (2 ) ( 3) 1 AD x AC x x x x = = = + = 设 则 2 3 1AB BD AD= + = + 2 1天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解. 解：设 MN 交 AC 于 E，则∠BEC=900. 又 AB2+BC2=52+122=169=132=AC2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=900. 又∵MN⊥CE，∴走私艇 C 进入我领海的最近距离是 CE， 则 CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得 26CE=288， ∴CE= . ÷ ≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9 时 50 分+51 分=10 时 41 分. 答：走私艇最早在 10 时 41 分进入我国领海. 1．【答案】13 或 2．【答案】A 3、【答案】（1）2；（2） ＝4 或 3，当 ＝4 时，面积为 12。 4.【答案】B 5．【答案】 6． 【答案】 ． 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】10， （或 ） 10、 【答案】（1）由题意得 B（3，1）． 若直线经过点 A（3，0）时，则 b＝ 12 5 2 9 2 2 2( 3 2)− 22 9 16n+ 236 64n+ 13 144 13 144 169 144 119 k k C D B AEO x y 3 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 若直线经过点 B（3，1）时，则 b＝ 若直线经过点 C（0，1）时，则 b＝1 1.若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1＜b≤ ，如图 25-a， 此时 E（2b，0） ∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b ②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 ＜b＜ ，如图 2 此时 E（3， ），D（2b－2，1） ∴S＝S 矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝ ∴ （2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M，OA 与 C1B1 相交于点 N，则矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形 DNEM 为平行四边形 5 2 3 2 D E x y C B AO 图 2 1 2 1 2 3 2 5 2 3 2b − 1 2 1 2 5 2 b− 1 2 3 2b − 25 2 b b− 2 31 2 5 3 5 2 2 2 b b S b b b  < ≤=   − <