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2020 年丹东市高三总复习质量测试（一）
理科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔
书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则 A∪B＝
A．(－1，2) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1，2)
2．已知向量 a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(1，1)，若(a＋λb)⊥c，则实数 λ＝
A．－1
5 B．1
5 C．－3 D．3
3．设 a∈R，若(a＋i)(1－ai)＞0，则 a＝
A．－1 B．1 C．0 D．±1
4．中国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，七日织二十
八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”，则该女子第六日所织
A．5 尺 B．6 尺 C．7 尺 D．8 尺
5．右图是相关变量 x，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关
分析，分析一：由图中所有数据，得到线性回归方程 y＝b1x＋a1，
相关系数为 r1．分析二：剔除点 P，由剩下数据得到线性回归直线
方程 y＝b2x＋a2，相关系数为 r2．那么
A．0＜r1＜r2＜1
B．0＜r2＜r1＜1
C．－1＜r1＜r2＜0
D．－1＜r2＜r1＜0
6．已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－a)2＋y2＝b2
4 相切，则 C 的离
心率为
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
7．已知实数 a，b，c 分别满足 2a＝－a，log0.5b＝b，log2c＝ c，那么
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
8．已知 m，n 是两条异面直线，直线 l 与 m，n 都垂直，则下列说法正确的是
A．若 l⊂平面 α，则 m⊥α
B．若 l⊥平面 α，则 m∥α，n∥α
C．存在平面 α，使得 l⊥α，m⊂α，n∥α
D．存在平面 α，使得 l∥α，m⊥α，n⊥α
绝密★启用前____________________________________________________________________________________________
9．已知函数 f (x)＝
x3
ex，那么
A．f (x)有极小值，也有大极值 B．f (x)有极小值，没有极大值
C．f (x)有极大值，没有极小值 D．f (x)没有极值
10．已知 ω＞0，在函数 f (x)＝ 2sinωx 和函数 g (x)＝ 2cosωx 的图象的交点中，距离最短的
两个交点的距离为 2 2，下述四个结论：
①ω＝π
2 ②f (x)在[0，2π]有 3 个零点
③任意连续三个交点组成的三角形面积为 8
④为了得到 y＝g (x)的图象，只需把 y＝f (x)的图象向左平移 1 个单位
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
11．已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，点 M 在 C 上，点 N 在 l 上，直线 MN 经
过点 P(0，4)，若 MF⊥NF，则|MF|＝
A．8 B．10 C．12 D．16
12．已知函数 f (x)＝1－x＋ln
1－x
1＋x，则满足 f (x－1)＋f (x)＜2 的 x 的取值范围是
A．(－1，0) B．(0，1) C．(－1，1
2) D．(1
2，1)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．(1＋x2)(1＋x)4 展开式中含 x5 项的系数为________．
14．曲线 y＝ln(1＋x)在 x＝0 处的切线方程为 y＝f (x)，则 f (x)＝_______．因此当|x|很小时，
ln(1＋x)≈f (x)，由于 ln2≈0.6931，于是 ln2
ln(1＋x)≈ 0.7
f (x)＝ 70
100 f (x)．某金融业的一
种长期理财品种采用复利方式计算利息，年利率为 3.3%，按照上面的近似等式，
本息和不小于本金的 2 倍，至少需经过________年．
（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
15．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 S2＝3，an＋1＝Sn＋1，则 Sn＝________．
16．四面体 ABCD 中，AB⊥AC，AC⊥CD，AB 与 CD 所成角为 30º，AB＝5，AC＝4，
CD＝3，则四面体 ABCD 的体积为________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱
AA1⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，
AB＝1，AC＝ 3，BC＝2．
（1）求证：AC⊥平面 AA1B1B；
（2）若 BB1＝BC，求二面角 A-C1D-C 的余弦值．
18．（12 分）
已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个条件：
①A＝π
3； ②cosB＝－
2
3； ③a＝7； ④b＝3．
A B
B1
C1D1
A1
CD____________________________________________________________________________________________
其中 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求 cos(C－π
3)的值．
19．（12 分）
某省高考实行新方案，将采用“3+1+2”模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学、
外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择一科；“2”为再
选科目，考生可在化学、生物、地理、思想政治 4 个科目中选择两科．
某学校高一年级的 600 名学生的首选科目都已确定，该学校为了解这 600 名学生的再选
科目的意向，随机选取 30 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
选择人数首选科目 再选科目
化学 生物 地理 政治
确定的有 10 人 7 6 3 4物理 待确定的有 8 人 3 2 0 1
确定的有 8 人 2 4 2 8历史 待确定的有 4 人 0 2 0 2
（1）估计该学校高一年级再选科目确定的学生中，选考生物的学生人数；
（2）从首选物理的再选科目确定的 10 人中随机选出 1 人，从首选历史的再选科目确定
的 8 人中随机选出 1 人，求这两人的再选科目都含有生物的概率；
（3）从首选历史的再选科目确定的 8 人中随机选出 2 人，设随机变量 X 满足
X＝Error!
求 X 的分布列和数学期望．
20．（12 分）
已知点 A(－ 2，0)，B( 2，0)，△ABC 的周长为 4＋2 2，顶点 C 的轨迹为 E．
（1）求 E 的方程；
（2）直线 l：y＝kx＋m 与曲线 E 交于 M，N 两点（M，N 不在 x 轴上），若点 P 在 E 上，
且△PMN 的重心是坐标原点 O．
（i）求 m 与 k 满足的等式关系；
（ii）求证：△PMN 的面积为定值．
21．（12 分）
已知 a≠0，设函数 f (x)＝alnx＋x－a2．
（1）若 a＝－2，证明：f (x)＞－4；
（2）若 f (x)只有一个零点，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的直角坐标方程为x2
3＋y2＝1，以坐标原点为极点，以 x____________________________________________________________________________________________
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋π
4)＝2 2．
（1）写出 C1 的参数方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b，c 为实数．
（1）证明：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
（2）若 a＋b＋c＝1，求(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2 的最小值．
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