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x
y
O
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2020 年丹东市高三总复习质量测试（一）
文科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔
书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则 A∪B＝
A．(－1，2) B．(0，1) C．(－1，0) D．(1， 2)
2．已知向量 a＝(1，2)， b＝(－2，3)，c＝(1，1)，若(a＋λb)⊥c，则实数 λ＝
A．－1
5 B．1
5 C．－3 D．3
3．设 a∈R，若(1＋i)(1－ai)＞0，则 a＝
A． 1 B．－1 C．0 D．2
4．从字母 a，b，c，d，e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为
A．
1
4 B．
2
5 C．
3
5 D．
3
4
5．中国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日增等尺，七日织二十
八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为一十五尺”，则该女子第六日所织
A．5 尺 B．6 尺 C．7 尺 D．8 尺
6．右图是相关变量 x，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关
分析，分析一：由图中所有数据，得到线性回归方程 y＝b1x＋a1，
相关系数为 r1．分析二：剔除点 P，由剩下数据得到线性回归直线方
程 y＝b2x＋a2，相关系数为 r2．那么
A．0＜r1＜r2＜1
B．0＜r2＜r1＜1
C．－1＜r1＜r2＜0
D．－1＜r2＜r1＜0
7．已知双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与圆(x－a)2＋y2＝b2
4 相切，则 C 的离
心率为
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
8．已知实数 a，b，c 分别满足 2a＝－a，log2b＝－b，log2c＝ c，那么
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
9．在空间中，l，m，n 是三条两两不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则 m∥n 的一个
绝密★启用前____________________________________________________________________________________________
充分条件是
A．m⊥l，n⊥l B．m∥α，n∥α
C．α∥β，m⊂α，n⊂β D．m∥α，m⊂β，α∩β＝n
10．已知函数 y＝|1－2cos2ωx|(ω＞0)的最小正周期为 4，则函数 y＝sinω(x＋1)cosω(x＋1)在
区间[0，2]上
A．是单调递增函数 B．是单调递减函数
C．先单调递增，后单调递减函数 D．先单调递减，后单调递增函数
11．已知函数 f (x)是定义域为(－1，1)的单调递减函数，若 f (x)图象关于点(0，1)对称，则
满足 f (x－1)＋f (x)＜2 的 x 的取值范围是
A．(－1，0) B．(0，1) C．(－1，1
2) D．(1
2，1)
12．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 S2＝3，an＋1＝Sn＋1，则 S8＝
A．255 B．256 C．127 D．128
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若 x，y 满足约束条件{x＋y ≥ －1，
2x－y ≤ 1，
y ≤ 1．
则 z＝3x－y 的最小值为________．
14．曲线 y＝ln(1＋x)在 x＝0 处的切线方程为 y＝f (x)，则 f (x)＝_______．因此当|x|很小时，
ln(1＋x)≈f (x)，由于 ln2≈0.6931，于是 ln2
ln(1＋x)≈ 0.7
f (x)＝ 70
100 f (x)．某金融业的一
种长期理财品种采用复利方式计算利息，年利率为 3.3%，按照上面的近似等式，
本息和不小于本金的 2 倍，至少需经过________年．
（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
15．抛物线 C：y2＝12x 的焦点为 F，A 为 C 上在第一象限内的一点，以 F 为圆心，FA 为
半径的圆与 C 的准线相交于 B，D 两点，若 A，F，B 三点共线，则|AF|＝________．
16．已知平面直角坐标系 xOy 内有点 A(0，1)，B(－4，4)，C(1，4)，D(1，1)，将四边形 ABCD
绕直线 y＝1 旋转一周，所得到几何体的表面积为________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱
DD1⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，
AB＝1，AC＝ 3，BC＝2．
（1）求证：AC⊥C1D；
（2）若 BB1＝BC，求四棱锥 A-BB1C1C 的体积．
18．（12 分）
A B
B1
C1D1
A1
CD____________________________________________________________________________________________
某省高考实行新方案，将采用“3+1+2”模式，其中“3”为全国统考科目语文、数学、
外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择一科；“2”为再
选科目，考生可在化学、生物、地理、思想政治 4 个科目中选择两科．
某学校高一年级的 600 名学生的首选科目都已确定，该学校为了解这 600 名学生的再选
科目的意向，随机选取 50 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
选择人数首选科目 再选科目
化学 生物 地理 政治
确定的有 20 人 9 14 6 11物理 待确定的有 10 人 2 5 1 4
确定的有 15 人 3 6 8 13历史 待确定的有 5 人 0 2 1 1
（1）估计该学校高一年级再选科目确定的学生中，选考生物的学生人数；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%以上的把握认为“再选科目确定
的学生中，是否选考生物与首选科目的选择有关”？
再选生物 不再选生物 合计
首选物理
首选历史
合计
19．（12 分）
已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个条件：
①A＝π
3； ②cosB＝－
2
3； ③a＝7； ④b＝3．
其中 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求△ABC 的面积．
20．（12 分）
已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的焦距为 4，且过点 A (2， 2)．
（1）求 C 的方程；
（2）过点 B(2，0)作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，设 P，Q 是轨迹为 C 与 x 轴的交点，
分别记△PQM，△PQN 的面积为 S1，S2，求|S1－S2|的最大值．
21．（12 分）
已知 a＞1，设函数 f (x)＝x－alnx－a2．
（1）若 a＝2，证明：f (x)＞－4；
（2）证明：函数 f (x)有两个不同的零点．
附： P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
， K2 ＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)____________________________________________________________________________________________
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的直角坐标方程为x2
3＋y2＝1，以坐标原点为极点，以 x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋π
4)＝2 2．
（1）写出 C1 的参数方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b，c 为实数．
（1）证明：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
（2）若 a＋b＋c＝1，求(a－1)2＋(b－2)2＋(c－3)2 的最小值．
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