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高三数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 {| 5 1 }A xx n n= =+∈N, ， {6 9 11 18}B = ,, , ，则集合 AB 中元素的个数为
A. 4 个 B.3个 C.2 个 D.1个
2.已知复数 z 满足 ( 2)(1 ) 2z ii+ += ，则 z =
A. 1 i−+ B. 1 i−− C.1 i− D.1 i+
3.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越
高.统计改革开放 40 年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
A.城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭
B.随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高
C.1996 年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于 50%
D.随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小
4.以抛物线 2 4yx= 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为
（1978-2018）历年中国城乡居民家庭恩格尔系数
%
75
50
25
0
1978年 1982年 1986年
城镇居民家庭恩格尔系数（% ） 农村居民家庭恩格尔系数（% ）
1990年 1994年 1998年 2002年 2006年 2010年 2014年 2018年
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A. 22( 2) 16xy− += B. 22( 2) 16yx− +=
C. 22( 1) 4xy−+= D. 22( 1) 4yx−+=
5.已知 3sin( )cos cos( )sin 5
βα β αβ β− −− =，α 为第三象限角，则 cos( )4
α π+=
A. 2
10
− B. 72
10
− C. 2
10
D. 72
10
6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量 E （单位：
焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg 4.8 1.5EM= + . 2011年 3月11日，日本东北
部海域发生里氏 9.0级地震与 2008 年 5月12日我国汶川发生里氏 8.0级地震所释放出来
的能量的比值为
A. 1.510 B.1.5 C.lg1.5 D. 1.510−
7.已知函数 ( ) sin( )( 0 | | )fx xω ϕω ϕ= + > >的左右两支上，且关于原点 O 对
称， C 的左焦点为 1F ，直线 1AF 与 C 的左支相交于另一点 M ，若 11| || |MF BF= ，且
1 0BF AM⋅= ，则 C 的离心率为
A. 10 B. 5
2 C. 5 D. 10
2
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
9.若 ab, 为正实数，则 ab> 的充要条件为
A. 11
ab> B. ln lnab> C. ln lnaabb< D. ababe e−< −
10.等差数列{}na 的前 n 项和记为 nS ，若 1 0a > ， 10 20SS= ，则
A. 0d < B. 16 0a < C. 15nSS≤ D.当且仅当 0nS < 时 32n≥
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11.如图直角梯形 ABCD ， AB CDC ， AB BC⊥ ， 1 22BC CD AB= = = ， E 为 AB 中
点，以 DE 为折痕把 ADED 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 23PC = .则
A.平面 PED ⊥平面 EBCD
B. PC ED⊥
C.二面角 P DC B−−的大小为 4
π
D. PC 与平面 PED 所成角的正切值为 2
12.设函数 cos2 cos2() 2 2xxfx −= − ，则
A. ()fx在 (0 )2
π, 单调递增 B. ()fx的值域为 33[]22
− ,
C. ()fx的一个周期为 π D. ()4fx π+ 的图像关于点 ( 0)4
π , 对称
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 a ， b 为单位向量， 2= −c ab，且 π
3< >=, a b ，则 < >=, a c ________.
14.若 24(1 ) (1 )ax x++展开式中 3x 的系数为12，则 a =________.
15.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 2
3 的鳖臑
ABCD 中，AB ⊥平面 BCD，且 2AB = ， 1CD = ，则该鳖臑外接球的表面积为________．
16.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划
建造总面积为 2400 2m 的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共
80间.每间蔬菜水果类店面的建造面积为 28 2m ，月租费为 x 万元；每间肉食水产店面的
建造面积为 20 2m ，月租费为 0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不
能超过总面积的 85%.①两类店面间数的建造方案为________种.②市场建成后所有店面
全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月
租费的 90%，则 x 的最大值为______万元.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
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四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）
在 ABC∆ 中，角 ,,ABC的对边分别是 ,,,abc已知 2cos 3 4cos 2AA−= ，且 A 为锐角.
（Ⅰ）求 A ；
（Ⅱ）若 6sin (sin sin )Aa B C= + ，且 ABC∆ 的面积为 3 ，求 ABC∆ 的周长.
18.（本小题满分 12 分）
记数列{}na 的前 n 项和为 nS ，已知 1 1a = ， 1 41nnSa+ = + .设 1 2nn nba a+= − .
（Ⅰ）证明：数列{}nb 为等比数列；
（Ⅱ）设 | 100 |nncb= − ， nT 为数列{}nc 的前 n 项和，求 10T .
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD− 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，
AD CD⊥ ， AD BCC ， 2PA AD CD= = = ， 3BC = .
过点 A 做四棱锥 P ABCD− 的截面 AEFG ，分别交
,,PD PC PB 于点 ,,EFG，已知 : 2:3PG PB = ，
E 为 PD 的中点.
（Ⅰ）求证： AG 平面 PCD ；
（Ⅱ）求 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值.
A D
B C
E F
G
P
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20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆
22
221( 0)xy abab
+ = >> 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 3( 1, )2P − 是椭圆上一点，
12FF 是 1PF 和 2PF 的等差中项.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 A为椭圆的右顶点，直线 AP 与 y 轴交于点 H ，过点 H 的另一直线与椭圆交
于 MN、 两点，且 6HMA PHNSS∆∆= ，求直线 MN 的方程.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 ( 1)(1 )( ) 2ln x mxfx x x
−+= − .
（Ⅰ）当 1m = 时，试判断 ()fx零点的个数；
（Ⅱ）若 1x ≥ 时， () 0fx≤ ，求 m 的取值范围.
22.（本小题满分 12 分）
新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验.现对某种新药
进行 5000次动物实验，一次实验方案如下：选取 3只白鼠对药效进行检验，当 3只白鼠中
有 2 只或 2 只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，
则再取 2 只白鼠进行二次检验，当 2 只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”,其余
情况则确定“实验失败”.设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为 p
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