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2019—2020 学年高三年级下学期 开学验收测试（理科数学）学科答案 考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C B D A C A B B A A 13（1）.10. 13（2）.6 13（3）. 76 3  13（4）. 10200 14．解： （1）∵sin( ) 2cos cos 02B C B C+ + + = ， ∴sin( ) 2sin cos 0B C B C+ − = ，∴sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C+ − = ， ∴ cos sin sin cos 0B C B C−=，∴sin( ) 0BC−=.∴在 ABC 中， BC= . （2）设 的外接圆半径为 R ，由已知得 2 25 4R= ，∴ 5 2R = ， ∵ 3cos 5A = ，0 A ，∴ 4sin 5A = ，∴ 2 sin 4a R A==， ∵ ，∴bc= ， 由 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −  得 22616 2 5bb=−，解得 25b = ， ∴ 4 5 4abc+ + = + ，∴ 的周长为 4 5 4+ . 15. 解： （1）由直方图可知抽出产品为合格品的率为( )0.75 0.65 0.2 0.5 0.8+ +  = 即推出产品为合格品的概率为 4 5 ， 从产品中随机抽取 4 件.合格品的个数 的所有可能取值为 0，1，2，3，4， 且 ( ) 4110 ( )5 625P  = = = ， ( ) 13 4 4 1 161 ( )5 5 625PC = =  = ， ( ) 2 2 2 4 4 1 962 ( ) ( )5 5 625PC = =  = ， ( ) 33 4 4 1 2563 ( )5 5 625PC = =  = ， ( ) 44 2564 ( )5 625P  = = = . 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 1 625 16 625 96 625 256 625  的数学期望 4 164 55E =  = . （2） A 方案随机抽取产品不合格的概率是 a ，随机抽取15件产品，不合格个数 ( )15,X B a: ： 按 B 方案随机抽取产品不合格的概率是b ，随机抽取 25 件产品，不合格个数 ( )25,Y B b: 依题意 ( ) 15 2E X a==， ( ) 25 4E Y b==， 解得 2 15a = ， 4 25b = 因为 24 15 25 ，所以应选择方案 . 16. 解： (1)因为 BM ⊥平面 ABCD，则 AC BM⊥ . 又四边形 是菱形，则 AC BD⊥ ，又 BD BM B=I , 所以 AC ⊥平面 BMND ,因为 AC 在平面 EAC 内， 所以平面 EAC ⊥平面 . (2)设 AC 与 BD 的交点为O ，连结 EO . 因为 平面 ，则 AC OE⊥ ，又 O为 AC 的中点，则AE CE= ， 由余弦定理得 22 22 22cos 12 AE AE ACAEC AE − = = − ， ( )AEC 0, ．当 AE 最短时∠AEC 最大，此时 AE MN⊥ ， CE MN⊥ ， 2 3AEC =，因为 AC=2, 23 3AE = ,OE= 3 3 . 取 MN 的中点 H，分别以直线OA ，OB ，OH 为 x 轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系， 设 ND a= ，则点 ( )A 1,0,0 ， ( )N 0, 3,a− ( )M 0, 3,2a ， ( )1, 3,aAN = − − uuuv ， ( )1, 3,2aAM =− uuuuv ．设平面AMN 的法向量 ( ),,n x y z= r ， 则 0 0 AN n AM n  =  = uuuv v uuuuv v ,即 30 3 2 0 x y az x y az  − − + = − + + = ，取 1z = ，则 3a 3a, ,126n =− r ， 同理求得平面CMN的法向量 33, ,126 aam = − − v . 因为 2 3AEC =是二面角 A MN C−−的平面角，则 22 22 9314 36 1cos cos , 93 214 36 aa AEC m n aa − + +  =   = = ++ vv ，解得 15 10a = 或 6a 2= ． 由图可知 a