数学（文） 试题.pdf

1 2019—2020 学年高三年级下学期 开学验收测试（文科数学）学科试卷 考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合    2 2 3 0 , ln( )A x x x B x y x       , 则 AB A．[ 3,0] B．[ 3,1] C．[ 3,0) D．[ 1,0) 2．已知复数 3 2 (1 ) iz i  , 则 z 在复平面内对应点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 ABC 中, 10AB  , 6AC  , 8,BC M 为 AB 边上的中点, 则CM CA CM CB        A．0 B．25 C．50 D．100 4．桌子上有 5 个除颜色外完全相同的球, 其中 3 个红球, 2 个白球, 随机拿起两个球放入一个盒子中, 则放 入的球均是红球的概率为 A． 3 10 B． 2 10 C． 3 5 D． 2 5 5. 已知函数 ( ) ln ln(2 )f x x x   ，则 A． ()fx在 02（ ， ）单调递增 B． 在(0, 2) 单调递减 C． ()y fx 的图像关于直线 1x  对称 D． 的图像关于点(1, 0) 对称 6. 记不等式组 6, 20 xy xy    表示的平面区域为D．命题 : ( , ) ,2 9p x y D x y    ；命题 : ( , ) ,2 12q x y D x y    ．下面给出了四个命题：① pq ；② pq ；③ pq ； ④ pq  这四个命题中，所有真命题的编号是 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 2 7．已知 3()f x x x a   ，若曲线 ()y f x 在 xb 处的切线为 4yx ，则||ab A．0 B．1 C．2 D．3 8．若 1cos 34  （ ） ，则cos( 2 )3   A． 3 4 B． 1 2 C． 7 8 D． 7 8 9．已知正方形 ABCD的对角线 AC 与 BD 相交于 E 点, 将 ABC 沿对角线 折起, 使得 平面 ABC  平面 ADC （如图）, 则下列命题中正确的为 A．直线 AB 直线CD , 且直线 AC 直线 B．直线 平面 BCD, 且直线 平面 BDE C．平面 平面 , 且平面 ACD  平面 D．平面 ABD  平面 , 且平面 平面 10．已知函数   2sin( ) 1 ( 0, )2f x x         , 其图象与直线 1y  相邻两个交点的距离为 , 若   1fx 对于任意的 ,12 3x （ ）恒成立, 则 的取值范围是 A． ,63   B． ,12 2   C． ,12 3   D． ,62    11. 已知双曲线 22 2 14 xy b 0b  的左右焦点分别为 1F 、 2F ,过点 的直线交双曲线右支于 A 、 B 两点, 若 1ABF 是等腰三角形,且 120A  ．则 的周长为 A．16 3 83  B．  4 2 1 C． 43 83  D．  2 3 2 12．已知数列 na 的前 n 项和为 nS , 满足  21n n na S a, 且 0na  , 则下列结论： ①数列 2 nS 是等差数列；② 2nan ；③ 1 1nnaa  ,其中 A．仅有①②正确 B．仅有①③正确 C．仅有②③正确 D．①②③均正确 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13．某市对某活动中的 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图, 但是年龄组为[25, 30) 的数据不慎丢失 (如图)， 试据此图估计 800 名志愿者中，年龄在[25, 35) 的人数为________． 14． 如图，一座山的高度 300BC km ，在一个热气球Q 上观测到山顶C 仰角为15 ，山脚 A 的俯角为 45 ， 且 60BAC ，则此热气球离地面的高度 PQ 为___________ km . 15．设函数 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5( ) ( 10 )( 10 )( 10 )( 10 )( 10 )f x x x c x x c x x c x x c x x c           , 已知集合  1 2 9{ ( ) 0} , , ,M x f x x x x N     , 设 1 2 3 4 5c c c c c    , 则 15cc 的值为__________. 16．已知抛物线  2: 2 0C y px p的焦点为 F , 直线l 与C 交于 A , B 两点, AF BF , 线段 AB 的中 点为 M , 过点 作抛物线 的准线的垂线, 垂足为 N , 记 || || ABt MN , 则 2t 的最小值为_________． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答. 第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 4 17．（本小题满分 12 分） 至 2018 年底，我国发明专利申请量已经连续8 年位居世界首位，下表是我国 2012 年至 年发明 专利申请量以及相关数据. 注：年份代码1～ 7 分别表示 ～ . （1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？ （2）建立 y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破 200 万件的年份. 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 11 22 11 () ˆ () ( ) ( ) nn i i i i ii nn ii ii x x y y x y nxy b x x x x          ， .ˆˆa y bx 18．（本小题满分 12 分） 如图，点C 在以 AB 为直径的圆上运动，PA 平面 ABC ，且 PA AC ，点 ,DE分别是 PC 、PB 的中点． （1）求证： PC AE ； （2）若 22AB BC，求点 D 平面 PAB 的距离． 5 19．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足 1 2 5a  , 且 * 113 2 2 0, Nn n n na a a a n    , 数列 nb 为正项等比数列,且 123bb, 3 4b  . （1）求数列 和 的通项公式； （2）令 2 n n n bc a , 12nnS c c c    , 求证： 101 nS. 20．（本小题满分 12 分） 已知函数    ln 0f x a x bx c a    有极小值. （1）试判断 a ,b 的符号,求  fx的极小值点； （2）设 的极小值为 m , 求证： 24 4 ac bma a  . 21．（本小题满分 12 分） 椭圆 22 221( 0)yx abab    的上、下焦点分别为  1 0,Fc，  2 0,Fc ，右顶点为 B ，且满足 120BF BF   （1）求椭圆的离心率 e； （2）设 P 为椭圆上异于顶点的点，以线段 PB 为直径的圆经过点 2F ，问是否存在过 1F 的直线与该圆 相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由． （二）选考题：共 10 分，请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分， 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑． 6 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是曲线 1C ： 22( 2) 4xy   上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋 转90 得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线 2C .以坐标原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 ， 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点 (3, )2M  ，射线 ( 0)6 与曲线 ， 分别相交于异于极点 的 ,AB两 点，求 MAB 的面积. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 如图， AB 是半圆直径， 为 的中点， DO AB ，C 在 上，且 AC x ， BC y . （1）用 ， y 表示线段OD ，CD 的长度； （2）若 0a  ， 0b  ， 1ab，求 44ab 的最小值.